秘密★啟用前 2023年高考沖刺模擬試卷數(shù)學(xué)試題（八） 本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。 一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，函數(shù)，且有4個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．        B．     C．    D．2．設(shè)為虛數(shù)單位，，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的A．充分而不必要條件            B．必要而不充分條件C．充分必要條件                  D．既不充分也不必要條件3．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形．奧地利數(shù)學(xué)家皮克在研究格點(diǎn)多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)計(jì)算其面積的公式：，其中表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)．已知一個(gè)格點(diǎn)三角形的邊界上和內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)的和為12，面積為9，若從這12個(gè)格點(diǎn)中隨機(jī)抽取2個(gè)格點(diǎn)，則至少有1個(gè)格點(diǎn)在三角形內(nèi)部的概率為A．         B．           C．             D．4．已知平面向量，，，，若向量在向量方向上投影向量的坐標(biāo)為，則 A．     B．6               C．    D．5．已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/span>來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則的最大值為A．    B．    C．    D．6．已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是A．      B．       C．       D．7．已知點(diǎn)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，若的內(nèi)心是，且，則橢圓的離心率為A．          B．             C．          D．8．在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動點(diǎn)，且總滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡的長度為，三棱錐的外接球的表面積為，則A．            B．       C．          D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題， 每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題正確的有A．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則B．8個(gè)樣本數(shù)據(jù)4，5，6，6，7，7，8，9的第75百分位數(shù)為C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為2110．已知函數(shù)，下列說法正確的有A．為奇函數(shù)                 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小正周期為         D．在上所有零點(diǎn)之和為11．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，則下列說法正確的是 A．的最小值為B．若，則點(diǎn)的軌跡是圓 C．若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積為 D．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為 12．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對于任意，滿足，方程有且僅有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正整數(shù)的取值可以是A．4            B．5             C．6               D．7三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________．14．某圓弧形拱橋的水面跨度是m，拱高為m．現(xiàn)有一船寬m，在水面以上部分高m，通行無阻．近日水位暴漲了m，為此，必須加重船載，降低船身，當(dāng)船身至少降低________m時(shí)，船才能安全通過橋洞．15．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱．若曲線在處的切線斜率為2，則曲線在處的切線方程為_______．16．過拋物線：的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的射影，是圓：上的動點(diǎn)，則的最大值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，內(nèi)角，，的對邊長分別為，，，已知．（1）求邊；（2）若，，求的面積． 18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：． 19．（12分）某醫(yī)院用，兩種療法治療某種疾病，采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)： 未治愈治愈合計(jì)療法155267療法66369合計(jì)21115136（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析種療法的效果是否比種療法效果好；（2）為提高臨床醫(yī)療安全性，提高疾病的治愈率及好轉(zhuǎn)率，同時(shí)降低醫(yī)療費(fèi)用，降低患者醫(yī)療負(fù)擔(dān)．該醫(yī)院對于，兩種療法進(jìn)行聯(lián)合改進(jìn)，研究了甲、乙兩種聯(lián)合治療方案，現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成，兩組，組用甲方案，組用乙方案．一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為，，．若一個(gè)療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高療法越好，請問甲、乙哪種聯(lián)合治療方案更好？參考公式及數(shù)據(jù)：0.0500250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828，，． 20．（12分）在四棱錐中，底面是梯形，，，，側(cè)棱．（1）證明：平面平面；（2）若，是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．  21．（12分）已知，分別為雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，， 在雙曲線的右支上且位于軸兩側(cè)的兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線的斜率為，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）直線，分別與直線交于點(diǎn)，，若，求證：，，三點(diǎn)共線．  22．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，求的值；（2）若在上存在最小值，求的取值范圍．
2023年高考沖刺模擬試卷數(shù)學(xué)試題（八）參考答案 一、單項(xiàng)選擇題，二、多項(xiàng)選擇題：題號123456789101112答案CCDABDBAABCABDABCD 三、填空題13．      14．        15．        16． 1．C2．C3．D 【解析】由題意得解得所以隨機(jī)抽取2個(gè)格點(diǎn)，則至少有1個(gè)格點(diǎn)在三角形內(nèi)部的概率為，故選D．4．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，所以，設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，可得，所以，故選A．5．B  【解析】因?yàn)?/span>，可得，因?yàn)?/span>在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以，根據(jù)題意可得，則有，綜上可得的取值范圍為，即的最大值為，故選B．6．D【解析】因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，因?yàn)?/span>對恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，取，所以，所以，即．令，，則，令，得，令，得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故對恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，取，所以，因?yàn)?/span>，所以．綜上，，故選D．7．B【解析】設(shè)點(diǎn)到各邊的距離為，則，即，由橢圓定義知，，則有，所以橢圓的離心率，故選B．8．A【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，可得，又，所以為正三角形，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，可得平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以在三棱錐表面上，滿足的點(diǎn)的軌跡是，所以點(diǎn)軌跡的長度．分別在，取點(diǎn)，，使得，，再過點(diǎn)，分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為外接球的球心，連接，，則，所以三棱錐的外接球的表面積，所以，故選A．9．ABC10．ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因?yàn)?/span>，所以，因此不是函數(shù) 的周期，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)楹瘮?shù)在上的零點(diǎn)就是函數(shù)與在上圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以作函數(shù)與在上圖象，由圖象知函數(shù)與在上有、、、、、、共7個(gè)交點(diǎn)，其中，，，，，因此，所以函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為，故D正確．故選ABD．11．AB【解析】連接，則過點(diǎn)，且平面，設(shè)垂足為，則平面，所以的最小值為，故A正確；因?yàn)?/span>，且平面，所以點(diǎn)的軌跡是圓，故B正確；因?yàn)?/span>，，可得，點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積為，故C錯(cuò)誤；異面直線與所成的角即為與所成的角，而與平面所成的角為，且，故D錯(cuò)誤，故選AB.12．CD 【解析】因?yàn)?/span>是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對于任意，滿足，所以為常數(shù)，令，則且，即，即，令，因?yàn)?/span>，故，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，方程有且僅有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程根的個(gè)數(shù)可看成與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，故，即，當(dāng)時(shí)，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意．故選CD．13． 【解析】，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．14．0.8【解析】以水位未漲前的水面的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)圓拱所在圓的方程為，因?yàn)?/span>圓經(jīng)過點(diǎn)，，所以解得所以圓的方程是，令，得，故當(dāng)水位暴漲m后，船身至少應(yīng)降低(m)，船才能安全通過橋洞．15． 【解析】為奇函數(shù)，，則，即，可得，兩邊求導(dǎo)得，又的圖像關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于軸對稱，即，兩邊求導(dǎo)得，則，，可得和都是以為周期的周期函數(shù)，，由，取，可得，即，得，．曲線在處的切線方程為，即．16． 【解析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線：，，聯(lián)立方程，整理得，，，所以或，解得或（舍），故直線的方程為，恒過定點(diǎn)，又因為，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則的最大值為．17．解：（1），由正余弦定理可得，（2分）整理可得，解得．（4分）（2），，，，，，．（5分），即，，可得，，（6分），（8分）又，在中，由正弦定理可知，，．（10分）18．解：（1）由題意得，當(dāng)，，（1分）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，（3分）所以，又不滿足上式，所以．（5分）（2）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，（6分）當(dāng)時(shí)，，（9分）所以令，又，所以．（12分） 19．解：（1）零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒有差異. （4分）（2）設(shè)組中采用甲方案康復(fù)的人數(shù)為，則，所以，設(shè)組的積分為，則，所以，（7分）設(shè)組中采用乙方案康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為：0，1，2，3，，，，，故的分布列為：0123所以，（10分）設(shè)組的積分為，則，所以.（11分）因?yàn)?/span>，所以甲種聯(lián)合治療方案更好. （12分）20．解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，因?yàn)?/span>，所以，（2分）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，（4分）因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．（5分）（2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，，，，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量．（8分）因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量，（9分）所以，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值為．（12分）21．解：（1）當(dāng)軸時(shí)，，所以①，②，（2分）又③，聯(lián)立①②③，解得，，，所以雙曲線的方程．（4分）（2）證明：顯然直線不與軸垂直，設(shè)的方程為，則，，聯(lián)立方程消去得，設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，，．因?yàn)?/span>，所以方程為，令，得，同理，（6分）所以．（9分）因?yàn)?/span>，所以，解得，（11分）即直線方程為，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．（12分）22．解：（1）設(shè)，因?yàn)?/span>在上遞增，，，所以存在唯一，使得（2分）當(dāng)時(shí)，由，，所以，，曲線在點(diǎn)處的切線為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得．（5分）（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其中，即， 當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則在上是減函數(shù)．（7分）① 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，在上是減函數(shù)，所以在上不存在最小值，不合題意；② 當(dāng)時(shí)，，，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，所以適合；（9分）③ 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，，遞增；當(dāng)時(shí)，，，遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，要使在上存在最小值，則，因?yàn)?/span>，所以，，所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（12分） 
  

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