第2課時(shí)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、楊輝三角和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都處于世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝(約13世紀(jì))所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三角形解釋(a＋b)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)． 問題：觀察上表，你能借助二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析上表中的數(shù)嗎？ [提示]　利用組合數(shù)性質(zhì)Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m＋1,n)＝Ceq \o\al(m＋1,n＋1)觀察二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 知識(shí)點(diǎn)1　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n； (2)Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝2n－1． 即①二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n． ②奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，且都等于2n－1． 1．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)的和的比值為64，則n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C　[令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為4n，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，則eq \f(4n,2n)＝64，解得n＝6．] 知識(shí)點(diǎn)2　楊輝三角具有的性質(zhì) (1)每一行都是對(duì)稱的，且兩端的數(shù)都是1； (2)從第三行起，不在兩端的任意一個(gè)數(shù)，都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和． (3)利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知，二項(xiàng)式系數(shù)Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，Ceq \o\al(2,n)，…，Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n)是先逐漸變大，再逐漸變小的，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大． 2．在(a＋b)10二項(xiàng)展開式中與第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是(　　) A．第8項(xiàng)　 B．第7項(xiàng) C．第9項(xiàng)　 D．第10項(xiàng) C　[由二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)與首末等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．] 3．(對(duì)接教材)觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是________． 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 6　[由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6．] 類型1　求展開式的系數(shù)和 【例1】　設(shè)(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025·x2 025(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 025的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值． [思路點(diǎn)撥]　先觀察所求式子與展開式各項(xiàng)的特點(diǎn)，利用賦值法求解． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(－1)2 025＝－1． ① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 025＝32 025． ② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝－1－32 025， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝eq \f(－1－32 025,2)． (3)∵Tr＋1＝Ceq \o\al(r,2 025)(－2x)r＝(－1)r·Ceq \o\al(r,2 025)·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025． 1．解決二項(xiàng)式系數(shù)和問題思維流程 2．“賦值法”是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項(xiàng)，令x＝1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差． [跟進(jìn)訓(xùn)練] 1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6． [解]　(1)令x＝0，則a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129． (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256． (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128． 類型2　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【例2】　已知f(x)＝(eq \r(3,x2)＋3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992． (1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． [思路點(diǎn)撥]　求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用性質(zhì)知展開式中中間項(xiàng)(或中間兩項(xiàng))是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，必須將x，y的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括“＋”“－”． [解]　令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，由題意知，4n－2n＝992． ∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5． (1)由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是 T3＝Ceq \o\al(2,5)(xeq \s\up12(eq \f(2,3)))3(3x2)2＝90x6， T4＝Ceq \o\al(3,5)(xeq \s\up12(eq \f(2,3)))2(3x2)3＝270xeq \s\up12(eq \f(22,3))． (2)展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)3r·xeq \s\up12(eq \f(2,3)(5＋2r))． 假設(shè)Tr＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(5！,?5－r?！r！)×3≥\f(5！,?6－r?！?r－1?！)，,\f(5！,?5－r?！r！)≥\f(5！,?4－r?！?r＋1?！)×3，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq \f(7,2)≤r≤eq \f(9,2)， ∵r∈N，∴r＝4．∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝Ceq \o\al(4,5)xeq \s\up12(eq \f(2,3)) (3x2)4＝405xeq \s\up12(eq \f(26,3))． 1．求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． 2．求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組、解不等式組的方法求得． [跟進(jìn)訓(xùn)練] 2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))n的展開式中的各二項(xiàng)式系數(shù)的和比各項(xiàng)系數(shù)的和小240，則n＝________；展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)是________． 4　108x5　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展開式中的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n．令x＝1，則各項(xiàng)系數(shù)的和為(3＋1)n＝22n，依題意得22n－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，2n＝16，n＝4． 所以二項(xiàng)式為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)，其展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq \o\al(r,4)·(3x2)4－r·(x－1)r＝34－r·Ceq \o\al(r,4)·x8－3r， 所以展開式中的系數(shù)為34－r·Ceq \o\al(r,4)． 令r＝0，1，2，3，4，得系數(shù)的取值為34＝81，33·Ceq \o\al(1,4)＝108，32·Ceq \o\al(2,4)＝54，3Ceq \o\al(3,4)＝12，30·Ceq \o\al(4,4)＝1，所以展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)是34－1·Ceq \o\al(1,4)·x8－3＝108x5．] 類型3　與“楊輝三角”有關(guān)的問題 【例3】　如圖所示，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…．記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值． [思路點(diǎn)撥]　由圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是Ceq \o\al(2,2)，第2項(xiàng)是Ceq \o\al(1,2)，第3項(xiàng)是Ceq \o\al(2,3)，第4項(xiàng)是Ceq \o\al(1,3)，…，第17項(xiàng)是Ceq \o\al(2,10)，第18項(xiàng)是Ceq \o\al(1,10)，第19項(xiàng)是Ceq \o\al(2,11)． [解]　S19＝(Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(1,2))＋(Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(1,3))＋(Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(1,4))＋…＋(Ceq \o\al(2,10)＋Ceq \o\al(1,10))＋Ceq \o\al(2,11)＝(Ceq \o\al(1,2)＋Ceq \o\al(1,3)＋Ceq \o\al(1,4)＋…＋Ceq \o\al(1,10))＋(Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(2,3)＋…＋Ceq \o\al(2,10)＋Ceq \o\al(2,11))＝(2＋3＋4＋…＋10)＋Ceq \o\al(3,12)＝54＋220＝274． 解決“楊輝三角”問題的一般方法 [跟進(jìn)訓(xùn)練] 3．如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3． 34　[由題意設(shè)第n行的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，它等于二項(xiàng)展開式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比，所以Ceq \o\al(13,n)∶Ceq \o\al(14,n)＝2∶3，即eq \f(14,n－13)＝eq \f(2,3)，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比是2∶3．] 類型4　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 1．不用計(jì)算器，你能用二項(xiàng)式定理求0.9986的近似值，使誤差小于0.001嗎？ [提示]　把0.998變成1－0.002，然后應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開． 因?yàn)?.9986＝(1－0.002)6＝1－Ceq \o\al(1,6)×0.002＋Ceq \o\al(2,6)×0.0022－Ceq \o\al(3,6)×0.0023＋…＋Ceq \o\al(6,6)×0.0026． 第三項(xiàng)T3＝15×0.0022＝0.000 06

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