高一數(shù)學試題
（分數(shù)：150分，時間：120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知，且，則實數(shù)（ ）
A．1B．-3C．-2D．-1
2．在，，0，，，0.618這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
3． 已知向量、的夾角為60°，，若，則=
A．B．C．D．
4．已知向量，，，則等于（ ）
A．3B．4C．15D．21
5．在平面四邊形中，△ABC為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知為平面外一點，到兩邊的距離都為，則到面的距離（ ）
A．B．C．D．
7．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結論正確的是（ ）
A．勒洛四面體最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點，則的最大值為
C．勒洛四面體的體積是
D．勒洛四面體內切球的半徑是
8．在△ABC中，為上一點，且，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。
9．下列命題中，真命題為（ ）
A．復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是
B．復數(shù)的共軛復數(shù)為
C．復數(shù)的虛部為
D．復數(shù)，則
10．已知，，是平面上三個非零向量，下列說法正確的是（ ）
A．一定存在實數(shù)，使得成立
B．若，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．在菱形中，，，將菱形沿對角線折成大小為的二面角，若折成的四面體內接于球，則下列說法正確的是（ ）．
A．四面體的體積的最大值是
B．的取值范圍是
C．四面體的表面積的最大值是
D．當時，球的體積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．復數(shù)的模是 .
13．在60°二面角的一個面內有一個點，若它到二面角的棱的距離是10，則該點到另一個面的距離是 .
14．已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．在△ABC中，角的對邊分別為已知.
(1)求角的大小;
(2)若，求的面積;
(3)若為BC的中點，求AD的長.
16．設復數(shù)．
(1)在復平面內，復數(shù)對應的點在實軸上，求；
(2)若是純虛數(shù)，求.
17．已知正方體中，，點M，N分別是線段，的中點．
(1)求點M到平面的距離；
(2)判斷，M，B，N四點是否共面，若是，請證明；若不是，請說明理由．
18．如圖，在三棱柱中，側面為矩形．
(1)設為中點，點在線段上，且，求證：平面；
(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．
19．個有次序的實數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個維向量，其中，2，，稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，，，稱為維信號向量．設，，則和的內積定義為，且．
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
(2)證明：不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．
(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．
2023-2024學年（下）期中學業(yè)質量聯(lián)合調研抽測
高一數(shù)學答案
（分數(shù)：150分，時間：120分鐘）
1-4．BCDD5-8．CBDD
9．BCD10．BC11．ACD
12．3
13．
14．
15．（1），
，即.
由正弦定理得，由余弦定理得，；
（2），
由余弦定理得，
；
（3）

在△ABC中，由余弦定理得，
即，又，得，為BC的中點，，
兩邊平方得，
，即中線AD的長度為.
16．（1）由，得，
而由已知是實數(shù)，
于是，解得，
所以；
（2）依題意，是純虛數(shù)，
因此，解得，
所以，.
17．（1）記點M到平面的距離為h，
易知為正三角形，且，所以，
又，
所以，
因為，所以，即，
解得，即點M到平面的距離為.
（2），M，B，N四點共面，證明如下：
連接，因為M，N分別是線段，的中點，所以，
由正方體性質可知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以，M，B，N四點共面.
18．（1）連接交于，連接，
因為側面為矩形，
所以，又為中點，
所以，又因為，所以．
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）在平面中，過點作射線，
因為底面為矩形，所以，
所以為二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，過點作，垂足為，連接，
因為平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
則即為直線和平面所成的角，
于是為點到平面的距離，且，
設直線和平面所成角為，又，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
19．（1）依題意，可寫出4個兩兩垂直的4維信號向量為：
，，，．
（2）假設存在6個兩兩垂直的6維信號向量，
因為將這6個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，
所以不妨設，
因為，所以有3個分量為，
設的前3個分量中有個，則后3個分量中有個，，
則，
，則，矛盾，
所以不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．
（3）任取，計算內積，
將所有這些內積求和得到，則，
設的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為，
所以，
則，所以，故.

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