數(shù)學(xué)試題
（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（ ）
A．245B．244C．242D．241
4．洪崖洞是具有重慶特色的吊腳樓式建筑，它的屋頂可近似看作一個多面體，右圖是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，和△FBC是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角，，則該屋頂?shù)膫?cè)面積為（ ）

A．80B．C．160D．
5．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作⊙O,P為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過作⊙O的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（ ）
A．B．C．D．
6．在不等式組所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點到此三角形的三個頂點的距離均大于1的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知與都是非零有理數(shù)，則在，，中，一定是有理數(shù)的有（ ）個.
A．0B．1C．2D．3
8．定義，對于任意實數(shù)，則的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。
9．已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，則（ ）
A．函數(shù)在上的最大值為3B．，
C．函數(shù)在上沒有零點D．函數(shù)的極值點有2個
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標(biāo)原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（ ）
A．為定值
B．
C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為
D．不存在直線使
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知正三角形的邊長為2，點滿足，且，，，則的取值范圍是 .
13．從教學(xué)樓一樓到二樓共有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級，，第11級），學(xué)生甲一步能上1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是 ．
14．若函數(shù)存在唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形．
(1)求證：平面平面；
(2)若，，，求平面和平面夾角的余弦值.
16．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
17．三峽之巔景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．
(1)若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．
(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．
（i）試用含m的代數(shù)式表示p；
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．
18．已知橢圓的左、右頂點分別為，直線的斜率為，直線與橢圓交于另一點，且點到軸的距離為．
(1)求橢圓的方程．
(2)若點是上與點不重合的任意一點，直線與軸分別交于點．
①設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍．
②判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．
19．重慶江北國際機(jī)場T3B航站樓預(yù)計于今年完工，該建筑的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段AB，其弧長為，當(dāng)動點從A沿曲線段AB運動到B點時，A點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段AB的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義曲線在點處的曲率計算公式為，其中．

(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；
(2)已知函數(shù)，求曲線的曲率的最大值；
(3)已知函數(shù)，若曲率為0時x的最小值分別為，求證：．
重慶烏江新高考協(xié)作體2024屆高考模擬監(jiān)測（一）
數(shù)學(xué)答案
（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）
1．C2．D3．B
4．D5．A6．C
7．D【分析】令，分別用表示，，，進(jìn)而求得在，，中一定是有理數(shù)的個數(shù).
8．A【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值進(jìn)而得，化簡即可求解.
9．AB【分析】根據(jù)基本不等式可判定A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定B，根據(jù)基本不等式、對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.
10．AC【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，.因為在上遞增，根據(jù)函數(shù)零點的存在性判斷零點在之間，設(shè)為，再代入計算可以求出函數(shù)在上的最值，判斷AB的真假；求的導(dǎo)數(shù)，得，，利用其單調(diào)性得至多一解，可判斷D；再根據(jù)函數(shù)零點的存在性，可判斷C的真假.
11．BD【分析】對于A，根據(jù)，取垂直于x軸的直線，結(jié)合條件可判斷A；對于B，設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解得，，結(jié)合弦長公式可判斷B；對于C，設(shè)，可得P到兩漸近線距離可判斷C；由題可得恒成立可判斷D.
12．
13．
14．
15．
（1）∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，∴．
∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，
又平面，∴，
又∵，平面，平面，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，
過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，得，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，得，，所以，
所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為．
16．
（1）依題意為奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，
可得，解得，由于,故，1，2，
當(dāng)和時，，此時為奇函數(shù)，符合要求，
當(dāng)時，，此時為偶函數(shù)，不符合要求，；
（2）不等式，即，
又在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，所以，則，所以實數(shù)的取值范圍為．
17．
（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，
故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．
（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．
（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，
所以，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為．
由，且，得．
當(dāng)時，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．
18．
（1）由題意知，．由直線的斜率為，得，所以．
直線的方程為．設(shè)，則．
由點到軸的距離為，得．由點在直線上，得，所以．
由點在橢圓上，得，解得．所以．
所以橢圓的方程為．
（2）

①設(shè)（或）．
由（1）知，，則，
所以．
由或，
得或，
所以或．
故的取值范圍是．
②由①知，即．設(shè)．因為三點共線，
所以，得．
因為三點共線，所以，
得．
所以．
故為定值16．
19．
（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，
根據(jù)定義可得平均曲率
（2）由可得，
又可得；所以，
易知，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立；
所以，
即曲線的曲率的最大值為.
（3）由可得，
記，則；
同理由可得，
記，則，
若曲率為0時，即，可得，
化簡可得；
令，則，由可得，
則當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，且；
則的圖象如下圖所示：
又，結(jié)合的圖象可得有兩解，
設(shè)這兩解分別為，且，
又，
因為最小，因此，
由，可設(shè)，
故，
化簡可得，則，
要證，即證，
即，也即，
即證，
令，則，
所以在在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，故.

相關(guān)試卷

重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期模擬監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題（Word版附答案）：

這是一份重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期模擬監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題（Word版附答案），共12頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年重慶市烏江新高考協(xié)作體高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)含答案

2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)含答案
2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆重慶市烏江新高考協(xié)作體高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案
2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含答案

2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含答案
2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2024重慶市烏江新高考協(xié)作體高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部