高一數(shù)學(xué)試題
（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)z滿足(其中為虛數(shù)單位)，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
3．與向量=（12，5）垂直的單位向量為( )
A．（，）B．（-，-）
C．（，）或（，-）D．（±，）
4．已知等邊，邊長(zhǎng)為，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的形狀是
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1B．2C．1-iD．2-i
7．在中，，的中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度為3的線段（在的左側(cè)）在直線上移動(dòng)，則的最小值為
A．B．
C．D．
8．已知平面向量滿足，則以下說(shuō)法正確的有個(gè).
①；
②對(duì)于平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使；
③若，且，則的范圍為；
④設(shè)，且在處取得最小值，當(dāng)時(shí)，則；
A．1B．2C．3D．4
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。
9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，則（ ）
A．B．C．D．
10．下列敘述中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則與的方向相同或相反
C．若，，則
D．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量
11．已知△ABC面積為12，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則B．的最大值為
C．的值可以為D．的值可以為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知a=1,2，b=x,2，若a⊥b，則 .
13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
14．若點(diǎn)在以為圓心，為半徑的弧AB（包括、兩點(diǎn)）上，，且，則的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．已知在△ABC與△A'BC中，與在直線的同側(cè)，，直線與直線交于.
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：.
16．已知復(fù)數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，表示實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，表示純虛數(shù).求的值.
(2)復(fù)數(shù)的長(zhǎng)度記作，求的最大值.
17．蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國(guó)四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細(xì)膩的針?lè)ㄐ纬闪俗陨淼莫?dú)特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國(guó)際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國(guó)際金獎(jiǎng)，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點(diǎn)D為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，．
(1)若，求三角形手巾的面積；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)幫設(shè)計(jì)師計(jì)算BD的長(zhǎng)．
18．在英語(yǔ)中，實(shí)數(shù)是Real Quantity，一般取Real的前兩個(gè)字母“Re”表示一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部；虛數(shù)是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前兩個(gè)字母“Im”表示一個(gè)復(fù)數(shù)的虛部.如：，；，.已知復(fù)數(shù)z是方程的解.
(1)若，且（a，，i是虛數(shù)單位），求；
(2)若，復(fù)數(shù)，，且，，求t的取值范圍.
19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
(1)求；
(2)若，設(shè)點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
(3)設(shè)點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
2023-2024學(xué)年（下）第一階段性學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)
高一數(shù)學(xué)答案
（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）
1．A2．D3．C4．C5．D
6．C由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，設(shè)出復(fù)數(shù)，結(jié)合模長(zhǎng)公式，以及共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法，可得答案.
7．B先根據(jù)正弦定理求得，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)間的距離公式，求得所求的最小值.
8．C根據(jù)題意，利用向量知識(shí)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.
9．AD根據(jù)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得復(fù)數(shù)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.
10．ABC本題利用向量平行的定義、零向量的方向以及單位向量的定義即可求解.
11．AD利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合面積、余弦定理可得，計(jì)算出可判斷A的正誤，而利用余弦定理、基本不等式可得關(guān)于的三角函數(shù)不等式，從而可判斷B的正誤，對(duì)于C，求出的范圍后可判斷其正誤，對(duì)于D，由可得的值，結(jié)合已知條件可判斷三角形是否存在.
12．
13．
14．
15．
（1）在△ABC中，因?yàn)?，所以，設(shè)，
由于，所以，由余弦定理得，
所以，從而，故；
（2）
連結(jié)，記，在中由正弦定理知，要證明，只需證明.設(shè)，，由題意知，從而在與中由余弦定理得
所以，故.
16．
（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，表示實(shí)數(shù)，所以，所以.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)表示純虛數(shù)，所以，且
所以.
從而.
（2）因?yàn)?
.
當(dāng)時(shí)，，則取得最大值，此時(shí)的最大值為.
17．
（1）在△ACD中，，，故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，故,
故三角形手巾的面積為
（2）設(shè)，則，
則在中，，
在△ACD中，，
故
，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，
即取到最小值即取最小值時(shí)，，即此時(shí).
18．
（1）因?yàn)閦是方程的根，解得，
Im（），，
，，
，解得，；
（2）Im（），復(fù)數(shù)，，且Re（），Im（）
，又，
，
Re（），Im（）
，解得.
所以t的取值范圍為.
19．
（1）由已知△ABC中，即，
故，由正弦定理可得，
故△ABC直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
.
（3）點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.

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