注意事項(xiàng)：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置。
3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，F(xiàn)為拋物線E的焦點(diǎn)，且，則（ ）
A．3B．6C．12D．
3．已知圓臺(tái)的上、下底面的直徑分別為8和4，若p為“圓臺(tái)的體積不大于”，則p的充分不必要條件可以為（ ）
A．圓臺(tái)的母線長為B．圓臺(tái)的母線長為
C．圓臺(tái)的母線長為D．圓臺(tái)的母線長為
4．已知函數(shù)，其中a，b均為正數(shù)．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，圓上存在點(diǎn)P，使得，則a的最大值為（ ）
A．B．C．3D．4
6．如圖，直線與函數(shù)的圖象的三個(gè)相鄰的交點(diǎn)分別為A，B，C，其橫坐標(biāo)分別為，，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且在上可導(dǎo)，若恒成立，則（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知首項(xiàng)為6的數(shù)列滿足（，且），若存在正整數(shù)k，使得成立，則k的值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．若隨機(jī)變量滿足，則
B．若隨機(jī)變量，且，則
C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)
D．?dāng)?shù)據(jù)40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位數(shù)為32
10．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面
B．存在點(diǎn)，使平面
C．三棱錐的體積為
D．經(jīng)過四點(diǎn)的球的表面積為
11．已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知函數(shù)滿足條件：的最小正周期為，且，則函數(shù)的解析式是 .
13．某高中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，決定每天減少一節(jié)學(xué)科類課程，增加一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校開設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書法、小提琴4門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，從高一到高三3個(gè)學(xué)年將4門選修課程學(xué)完，則每位同學(xué)的不同選修方式有 種，若已知某同學(xué)高一學(xué)年只選修了舞蹈與書法兩門課程，則這位同學(xué)高二學(xué)年結(jié)束后就修完所有選修課程的概率為 ．
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線的斜率分別為，若，則橢圓E的離心率為 ．
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．年菜一詞指舊俗過年時(shí)所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費(fèi)者對年菜開支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計(jì)了1000名消費(fèi)者對年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格的分位數(shù)（精確到0.1）；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計(jì)總體，求所有消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率．
參考數(shù)據(jù)：若，則，．
16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍．
17．如圖，在直三棱柱中，，，三棱錐的體積為，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線CD與平面所成角的正弦值．
18．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且傾斜角為的直線為，過且傾斜角為的直線為，已知，之間的距離為．
(1)求C的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線l與C的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），判斷是否存在實(shí)數(shù)k使得．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
19．已知．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若且有2個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．
參考答案：
1．A
【分析】解絕對值不等式化簡集合A，求函數(shù)值域化簡集合B，然后根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】，
又，所以.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的值.
【詳解】由題意，，拋物線的焦半徑公式得，故，
故選：B.
3．C
【分析】借助圓臺(tái)體積公式可得圓臺(tái)的體積不大于時(shí)的母線長度的范圍，結(jié)合充分不必要條件定義即可得解.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長為，則圓臺(tái)的高為，
，
若圓臺(tái)的體積不大于，即有，解得，
又，故，即，
由，，，故A、B、D錯(cuò)誤，
，故C正確.
故選：C.
4．C
【分析】求出后可求參數(shù)的值，再結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)可求的值.
【詳解】，故，
故.
故選：C.
5．B
【分析】首先求點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，即可列式求解.
【詳解】設(shè)，，，若，
則，
即，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，
由條件可知，圓與圓有交點(diǎn)，
則，解得：，
所以的最大值為.
故選：B
6．A
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性可得，故可求.
【詳解】因?yàn)?，故?br>故中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故，且，
故，而，故，
故選：A
7．D
【分析】借助復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算與函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得函數(shù)的周期性，結(jié)合賦值法計(jì)算即可得解.
【詳解】由，則，
即，
由函數(shù)為奇函數(shù)，故，
則，
則，
即，
即，故為周期為的周期數(shù)列，
故，
對，令，有，即，
故.
故選：D.
8．A
【分析】由遞推關(guān)系可得，利用裂項(xiàng)相消法可求的值.
【詳解】由遞推關(guān)系可得.
因?yàn)?，?
因?yàn)?，故?br>故，故即
故可化為：
，
整理得到：，解得，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知遞推關(guān)系時(shí)討論數(shù)列的性質(zhì)，往往需要把已知的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，再依據(jù)所得結(jié)果求和、求通項(xiàng)等.
9．BC
【分析】由方差性質(zhì)判斷A,由正態(tài)分布對稱性判斷B,由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)判斷C,由百分位計(jì)算判斷D.
【詳解】對A,由方差的性質(zhì)可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
對B,由正態(tài)分布圖象的對稱性可得，故選項(xiàng)B正確．
對C,線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)C正確．
對D,先將所有數(shù)從小到大進(jìn)行排序27，30，31，32， 38，40，50，54，由于為整數(shù)，
求出第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以第50百分位數(shù)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選:BC．
10．ABC
【分析】由題意，當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，即可判斷A；根據(jù)平行的傳遞性可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷B；利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可判斷C；易知經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長方體的外接球，求出球的半徑即可判斷D.
【詳解】A：如圖，在正方體中，連接．
因?yàn)镹，P分別是的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)?，所以?br>所以四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，故A正確；
B：連接，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，故B正確；
C：連接，因?yàn)椋瑒t
，故C正確；
D：分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，
則經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長方體的外接球．
設(shè)所求外接球的直徑為，則長方體的體對角線即為所求的球的直徑，
即，
所以經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
11．ACD
【分析】利用賦值法，可判斷A項(xiàng)；令，可判斷B項(xiàng)；令并結(jié)合奇函數(shù)的定義可判斷C項(xiàng)；令可判斷D項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，所以令，得，故A正確；
令，得，所以，
令，得，所以，故B錯(cuò)誤；
令，得，又，所以，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；
令，得，
又，，所以，故D正確；
故選：ACD.
12．或
【分析】根據(jù)最小正周期、對稱軸求解析式中參數(shù)，即可得解析式.
【詳解】由題意，則，
又，即的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則.
故答案為：或.
13． 54 /
【分析】利用分組分配的方法，計(jì)算求值；利用樣本空間的方法，求條件概率.
【詳解】由題意可得三個(gè)學(xué)年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，
則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2．
先將4門選修課程按1，1，2分成三組，有種方式，再分到三個(gè)學(xué)年，有種不同方式，
由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的選修方式共有種．
同理，將4門選修課程按0，2，2分成三組，再排列，有種，
所以共有種不同的選修方式；
若將“某同學(xué)高一學(xué)年只選修了舞蹈與書法兩門課程”記為事件A，將“高二學(xué)年結(jié)束后就修完所有選修課程”記為事件B．
根據(jù)題意，滿足事件A的所有選課情況共4種情況，其中包含高二選修完或高三選修完其他2門，或是高二，高三各選1門，共4種情況，
其中同時(shí)滿足事件B的僅有1種情況．根據(jù)條件概率公式，可知所求概率為．
故答案為：54；
14．/
【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意得到，再由橢圓的第二定義得到，解出，然后由等面積法得到，最后利用解出即可.
【詳解】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)M，N，T，
所以，
所以，
即，所以．
由橢圓的第二定義可知，
所以，所以，
由等面積法得到，
所以．
因?yàn)?，所以，所以，即?br>故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能利用橢圓的第二定義得到后再結(jié)合橢圓的性質(zhì)和求出.
15．(1)
(2)0.16
【分析】（1）利用分位數(shù)左邊矩形的面積和為0.75可求得樣本的分位數(shù)；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出概率即可
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，
，
所以這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)是．
（2）由，
所以，
所以，
故所有消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率為0.16．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算即可求解；
（2）由（1）可得，結(jié)合錯(cuò)位相減求和法計(jì)算可得，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，得，即，①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①-②得，，又也滿足，
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以，，
兩式相減得，，
即，則，
故．
由，得，即，
依題意，不等式恒成立，
因?yàn)殡S著n增大而減小，
所以，即的取值范圍為．
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，在矩形中有，再次利用線面垂直的判定定理可得平面ACD，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.
【詳解】（1）在直三棱柱中，，
因?yàn)?，，平面?br>所以平面，又平面，所以.
由，得．
在矩形中，，，
所以，又，所以，
所以，又，平面ACD，
所以平面ACD，又平面，
所以平面平面．
（2）因?yàn)锳B，AC，兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，則有，得，取，得，
設(shè)直線CD與平面所成角為，則，
所以直線CD與平面所成角的正弦值為．
18．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由題意可得，解出c，結(jié)合解得b即可；
（2）易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：，，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，由兩點(diǎn)距離公式表示，化簡計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，之間的距離為，
所以，，則，
所以C的方程為．
（2）由（1）知，易知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l：，，，
聯(lián)立方程組，消去x，得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，同理．
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，
所以M，N兩點(diǎn)在x軸同側(cè)，∴，此時(shí)，即．
所以
，
所以．
所以存在，使得．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
19．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分、、和四種情況討論，結(jié)合的正負(fù)，進(jìn)而得單調(diào)性；
（2）把原不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性求出最值進(jìn)行比較大小即可
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>由題可得，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，
若，則，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，或時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，則，在上單調(diào)遞增；
若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，或時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知時(shí)，恒有2個(gè)極值點(diǎn)，，且，，
所以，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值，證得命題成立.

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