一、單選題
1．用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。? ）
A．8人B．6人C．4人D．2人
2．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）

A．B．C．D．
4．拋物線的焦點為F，且拋物線C與橢圓在第一象限的交點為A，若軸，則（ ）
A．2B．1C．D．
5．如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角向中心點翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個紙風(fēng)車示意圖，則（ ）
A．B．
C．D．
6．設(shè)A，B為兩個事件，已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓與射線的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xy中，給定兩點，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是（ ）
A．2B．6C．2或6D．1或3
8．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知直線l，m，平面，，則下列說法錯誤的是（ ）.
A．，，則
B．，，，，則
C．，，，則
D．，，，，，則
10．已知，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若，則
11．若滿足，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
12．若復(fù)數(shù)，則
13．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 ．
14．已知是雙曲線上任意一點，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點到焦點距離的最小值為 ．
四、解答題
15．已知在中，三邊所對的角分別為，已知．
(1)求；
(2)若外接圓的直徑為4，求的面積．
16．某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時間（小時/每周）和他們的語文成績（分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
表一
(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語文成績的平均數(shù)和方差；
(2)基于上述調(diào)查，學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語文成績的關(guān)系，抽樣調(diào)查了200位學(xué)生．按照是否喜歡閱讀古典名著與語文成績是否優(yōu)秀統(tǒng)計，得到下列數(shù)據(jù)，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”是否有關(guān)．
表二
17．如圖，四棱錐中，，，，，與交于點，過點作平行于平面的平面.

(1)若平面分別交，于點，，求的周長；
(2)當(dāng)時，求平面與平面夾角的正弦值.
18．已知橢圓：，為坐標(biāo)原點，若橢圓與橢圓的離心率相同，焦點都在同一坐標(biāo)軸上，橢圓的長軸長與橢圓的長軸長之比為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點在橢圓上，點A，B在橢圓上，若，則四邊形的面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.
19．若一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”.
(1)求證：對任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；
(2)若，且為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值.
編號
1
2
3
4
5
學(xué)習(xí)時間
2
4
7
7
10
語文成績
82
93
95
108
122
語文成績優(yōu)秀
語文成績不優(yōu)秀
合計
喜歡閱讀
75
25
100
不喜歡閱讀
55
45
100
合計
130
70
200
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
參考答案：
1．D
【分析】由分層抽樣的概念，求出男、女居民選取的人數(shù)即可得解.
【詳解】由題可知，男居民選取人，女居民選取人，
則女居民比男居民多選取2人.
故選：D.
2．D
【分析】求對數(shù)型函數(shù)值域可得集合M，結(jié)合集合交運算即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以定義域為，
所以，即，
所以.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)梯形中位線定理，結(jié)合圓臺體積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，
所以平地降雪厚度的近似值為.
故選：C
4．C
【分析】根據(jù)題設(shè)可得，再由點在橢圓上，代入求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，且在第一象限，軸，則，
又在橢圓上，故，而，故.
故選：C
5．C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項；對于C項，理解折紙過程知點是線段的中點，易得結(jié)論；對于D項，合并其中兩個向量后，只需判斷余下的兩向量能否共線即可.
【詳解】不妨設(shè)，則，
對于A項，顯然與方向不一致，所以，故A項錯誤；
對于B項，由圖知是鈍角，則，故B項錯誤；
對于C項，由題意知點是線段的中點，則易得：,即得：，故C項正確；
對于D項，由，而與顯然不共線，故．即項錯誤．
故選：C．
6．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.
【詳解】由，得，顯然，
因此，所以．
故選：B
7．A
【分析】利用米勒問題的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為點為過，兩點且和軸相切的圓與軸的切點，求出切點的橫坐標(biāo)即可.
【詳解】由題意知，點為過，兩點且和軸相切的圓與軸的切點，
已知，則線段的中點坐標(biāo)為，直線斜率為，
線段的垂直平分線方程為，即.
所以以線段為弦的圓的圓心在直線上，
所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為，
又因為圓與軸相切，所以圓的半徑，又因為，
所以，解得或，
即切點分別為和，兩圓半徑分別為.
由于圓上以線段（定長）為弦所對的圓周角會隨著半徑增大而圓周角角度減小，
且過點的圓的半徑比過的圓的半徑大，
所以，故點為所求，
所以當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是.
故選：A.

8．D
【分析】令，，，，，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.
【詳解】令，，，
，，
則，
令，，當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
所以在時單調(diào)遞減，所以，所以；
當(dāng)時，，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
綜上，.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查比較大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小，考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.
9．ABC
【分析】由線面平行，面面平行的判定可判斷各選項的正誤.
【詳解】選項A中，m可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯誤；
選項B中，與也可能相交，故B錯誤；
選項C中，與也可能相交，故C錯誤；
選項D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確.
故選：ABC.
10．ACD
【分析】運用輔助角公式化簡，得到，再結(jié)合正弦型圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)圖象的平移變換逐項判斷即可.
【詳解】由，得，
對于：最小正周期為，所以正確；
對于：將函數(shù)的圖象上所有點向右平移，
所得圖象的函數(shù)解析式為，
而為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，所以錯誤；
對于：令，，化簡得，
當(dāng)時，，又因為，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以正確；
對于選項：因為，所以，
所以，所以，
即得，也就是，
所以正確.
故選：．
11．ABD
【分析】令，代入已知條件，再由判別式可求得的范圍，從而可判斷A,B選項，將已知條件變形為，再由均值不等式可得的范圍，再利用代入法并化簡即可判斷C,D選項.
【詳解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得 , 所以 A 正確. B 正確；
由 可變形為 ,
因為 , 將代入上式可得：
,
解得 , 所以不正確, D正確.
故選：.
12．
【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求出求從而可求解.
【詳解】因為，所以．
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項即得.
【詳解】數(shù)列中，，，顯然，
則有，即，而，
因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】所求的雙曲線方程為，則漸近線方程為，
設(shè)點，則，
點到的兩條浙近線的距離之積為，
解得：，故雙曲線方程為：，
故，故雙曲線上的點到焦點距離的最小值為．
故答案為：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形中三內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系消去角，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得邊，再由余弦定理求出邊，利用面積公式即得.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，，
因為，所以，
因為．
所以，
又，則，因為，所以．
（2）由正弦定理，，則，由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面積．
16．(1)平均數(shù)為100，方差為189.2
(2)可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”有關(guān)
【分析】（1）由平均數(shù)以及方差的計算公式，即可求得答案；
（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算的值，與臨界值表比較，根據(jù)獨立性檢驗的原則，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意得，
，
所以語文成績的平均數(shù)為100，方差為189.2.
（2）零假設(shè)為：喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀無關(guān)．
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得，
所以依據(jù)的獨立性檢驗，不成立，
故可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”有關(guān)．
17．(1)4
(2).
【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，，，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)計算可得；
（2）首先證明平面平面，取的中點，即可得到平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）由題意可知，四邊形是直角梯形，
∴與相似，又，
∴，，
因為過點作平行于平面的面分別交，于點，，
即平面平面，平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
由面面平行的性質(zhì)定理得，，，
所以與相似，相似比為，即，
因為的周長為6，所以的周長為.

（2）∵平面平面，∴平面與平面的夾角與平面與平面的夾角相等，
∵，，，∴，
∴，又，，平面，∴平面，
平面，∴平面平面，
取的中點，因為為等邊三角形，∴，平面平面，
平面，∴平面，
以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
取，則，
∵平面，∴是平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
18．(1)
(2)面積是定值，為2.
【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)計算即可；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形面積公式計算即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意易知兩橢圓焦點都在軸上，不妨設(shè)，
易知橢圓的長軸長，所以橢圓的長軸長，
橢圓的離心率，
故橢圓的方程；
（2）是定值，理由如下：
設(shè)，根據(jù)點在橢圓上可知，
因為，所以四邊形是平行四邊形，且，
即①，
又②，
①-②得：，
因為，
所以，即，
易得直線，所以點B到直線的距離為，
所以平行四邊形的面積為，顯然面積是定值，定值為2.

【點睛】本題第二問利用設(shè)點法設(shè)，通過向量的線性運算得出四邊形是平行四邊形，利用點坐標(biāo)滿足橢圓方程通過化簡得出橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，而難點在于構(gòu)造得出，繼而得到，余下利用點到直線的距離和面積公式計算即可.計算技巧性比較強(qiáng)，需要多去領(lǐng)悟總結(jié).
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè),從而有即可證明；
（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而分類討論即可求解.
【詳解】（1）證明：設(shè)，且為整數(shù)，
∴
∵，且為整數(shù)，∴是正整數(shù)，
∴一定是20的倍數(shù)；
（2）∵，且為正整數(shù)，∴，
當(dāng)時，，沒有滿足條件的，
當(dāng)時，，
∴滿足條件的有或，
解得或，∴或，
當(dāng)時，，沒有滿足條件的，
當(dāng)時，，
∴滿足條件的有，解得，∴，
當(dāng)時，，沒有滿足條件的，
當(dāng)時，，
∴滿足條件的有或，
解得或，∴或，
∴小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值為.

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