2022屆江蘇省南京市田家炳高級中學高三上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，集合，則A∩B等于（    ）A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1<x<2} D．{x|x≥2}【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)的定義域，求出和，進而求出.【詳解】由得：，故，由得：，故，故.故選：A2．設復數(shù)z滿足，則z等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設復數(shù)，再根據(jù)求解即可.【詳解】設復數(shù)，因為，所以，解得，.所以.故選：B3．“”是“，”成立的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先根據(jù)二次不等式恒成立得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】，，則，解得.因為，所以“”是“，”成立的充分不必要條件.故選：A4．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.【詳解】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質應用是解題的關鍵，屬于中檔題.5．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，則（    ）A．-18 B．-12 C．-8 D．-6【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的奇偶性求解即可.【詳解】由題知：，所以當時，，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以.故選：D6．已知，且，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再利用同角三角函數(shù)關系求解即可.【詳解】，，整理得：，解得或.因為，所以，，.故選：C7．已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出t，再利用向量的坐標運算求解向量夾角的余弦.【詳解】，，解得，則，故選：B.8．已知函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)A的值為（    ）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【分析】先證明的圖象關于直線對稱，結合條件列方程求實數(shù)A的值.【詳解】∵ ∴  ，又，則，∴  函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關于對稱，∴ 函數(shù)的圖象關于對稱，∴函數(shù)的圖象關于對稱，又函數(shù)有且只有一個零點，∴函數(shù)的零點為2，∴  ，即，∴  ,∴  .故選：C. 二、多選題9．已知實數(shù)x，y滿足（0<a<1），則下列關系式恒成立的有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先根據(jù)題干條件，得出，再進行判斷，BD選項可以通過舉出反例進行證明，AC選項可以通過函數(shù)的單調性進行證明.【詳解】因為，所以是單調遞減函數(shù)，因為，所以，而是定義在R上單調遞增函數(shù)，故，A正確；當，時，滿足，此時，故B錯誤；因為，所以，所以，C正確；當，時，，，所以，D錯誤.故選：AC10．已知函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，則實數(shù)a的取值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】當得到恒成立，即可得到，當時，恒成立，當得到恒成立，即可得到，從而得到，再結合選項求解即可.【詳解】因為函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，當時，恒成立，即恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以.當時，恒成立.當時，恒成立，即恒成立，設，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，所以，綜上所述：.故選：ABC11．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復進行上述運算，經過有限次步驟，必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如果對于正整數(shù)m，經過n步變換，第一次到達1，就稱為n步“雹程”.如取m=3，由上述運算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經過7個步驟變成1，得n=7.則下列命題正確的有（    ）A．若n=2，則m只能是4； B．當m=17時，n=12；C．隨著m的增大，n也增大； D．若n=7，則m的取值集合為{3，20,21,128}.【答案】ABD【分析】根據(jù)“冰雹猜想”逐一驗證各選項的對錯.【詳解】若，則數(shù)經過第一,步變換的結果必須為2，所以，A正確，當時，變換過程為，所以，B正確，當時，變換過程為，此時，當時，變換過程為，此時，C錯誤，由已知可得當時，第7次變換為，第6次變換為，第五次變換為，第四次變換為，第三次變換為或，由此可得下列情況；由可得，由可得由可得，由可得，D正確，故選：ABD.12．已知函數(shù)，下列敘述正確的有（    ）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【分析】AB選項，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項，在區(qū)間上，化簡整理得到，，進而得到在區(qū)間的單調性；D選項可以取特殊值代入，證明其不成立.【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯誤，B正確；當時，，因為，在次區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間上單調遞減，C正確；當時，，，，即，D選項錯誤.故選：BC 三、填空題13．已知等比數(shù)列的前n項和為Sn，且，則___________.【答案】【分析】令，，結合等比數(shù)列的性質，求出或，兩種情況下，求出相應的公比，排除不當答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為（），當時，，即，當時，，即，兩式結合，，解得：或，當時，（舍去），當時，，符合題意，綜上：故答案為：214．已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】##【分析】對求導，再代入，進行求解.【詳解】，，即，解得：故答案為：15．已知是腰長為1的等腰直角三角形，角為直角，點為平面上的一點，則的最小值為_________.【答案】##【分析】以以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標系，設，利用向量數(shù)量積的坐標表示列關于的表達式，即可求最值，注意取值條件.【詳解】以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標系，則，，設，則，，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故答案為： 四、雙空題16．函數(shù)的零點個數(shù)為___________，當時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】          【分析】根據(jù)二次函數(shù)的零點的定義判斷其零點個數(shù)，由可得，根據(jù)其在上恒成立，化簡求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】方程的判別式為，所以方程有兩個解，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2，不等式可化為，所以，當時，不等式顯然成立，當，不等式組可化為，由已知當時，恒成立，所以且，其中，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，函數(shù)在上增函數(shù)，所以，∴  ∴  實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：2，. 五、解答題17．在①?②兩個條件中任取一個填入下面的橫線上，并完成解答.①在上有且僅有4個零點；②在上有且僅有2個極大值點和2個極小值點.設函數(shù)，且滿足___________.(1)求ω的值；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，求在（0，2π）上的單調遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）選①，根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到；選②，根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到；（2）根據(jù)題意得到，再求解單調區(qū)間即可.【詳解】（1）選①因為，所以，若函數(shù)在上有且僅有4個零點，則，即，又，所以；選②因為，所以，若函數(shù)在上有且僅有2個極大值點和2個極小值點，則，即，又，所以.（2）因為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，單調遞減區(qū)間為，，即，，因為，所以單調遞減區(qū)間有，.18．我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).(1)請寫出一個圖象關于點（-1，0）成中心對稱的函數(shù)解析式；(2)利用題目中的推廣結論，求函數(shù)圖象的對稱中心.【答案】(1)（注：答案不唯一，只要滿足為奇函數(shù)）(2) 【分析】(1)由推廣結論可得為奇函數(shù)，由此寫出符合要求的函數(shù)解析式；(2) 設為圖象的對稱中心，為奇函數(shù)，設，利用為奇函數(shù)，則，即可得出結果.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，所以為奇函數(shù)，只要設，則.（注：答案不唯一，只要滿足為奇函數(shù)）（2）設函數(shù)圖象的對稱中心為，則，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以得，解得，.19．在銳角三角形ABC中，已知.(1)求角A的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根據(jù)給定條件切化弦，借助二倍角的正弦、余弦化簡變形求出的值即可得解.(2)利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質即可計算作答.【詳解】（1）因，即，則，銳角中，，即，則，化簡得，即，所以角A的值.（2）由(1)及正弦定理得：，得，而,則有，銳角中，，，于是得，，故有，，即，所以的取值范圍是：.20．在△ABC中，已知，，，D為BC的中點，E為AB邊上的一個動點，AD與CE交于點O.設.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根據(jù)向量的線性運算得到和，從而得到，，即可得到.（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)，，得到，從而得到，再求解最小值即可.【詳解】（1）因為C，O，E三點共線，所以有，即，得，同理可設，所以得，，解得.所以，即.（2）解：，由（1）可知，，所以，所以，令，則，等號當且僅當，即時，的最小值為.21．已知正項數(shù)列的前項積為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求n的最小值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用前n項積對題干中的條件變形消去，得到，再利用構造法得到，得到數(shù)列為等比數(shù)列；（2）結合第一問的結論，得到的通項公式，然后進行放縮，求出，再結合，得到，綜上，求出n的最小值.【詳解】（1）因為，所以，即，同理得所以，因為，所以，所以得，則，因為當時，，得，所以不恒等于0，所以，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，即.（2）由（1）可得，所以，所以，所以當時，，當時，，所以的最小值為.【點睛】數(shù)列與不等式相結合的題目，要充分使用數(shù)列的通項公式，要進行適當?shù)姆趴s，而放縮的方法通常可以利用分離常數(shù)法，放縮為等比數(shù)列，或放縮為裂項相消法等，朝著我們熟悉的方向或者求和好處理的思路來進行.22．1.已知函數(shù)（m≥0）.(1)當m=0時，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；(2)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；（2）對導函數(shù)再次求導，判斷其單調性，結合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】（1）當時，因為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.（2）因為，令，因為，所以在上單調遞增，當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，所以總存在一個，使得，且當時，；當時，，所以，令，因為，所以單調遞減，又，所以時，所以，即. 

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