【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 題型25 8類(lèi)排列組合與4類(lèi)二項(xiàng)式定理（解題技巧）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

排列組合是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)和分類(lèi)加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).
知識(shí)遷移求解排列應(yīng)用問(wèn)題方法匯總
例1-1．（2023春·重慶·高三?？迹┯?名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（）
A．36種B．48種C．72種D．108種
不同排法種數(shù)為種
例1-2．（2023秋·黑龍江·高三?？迹┘住⒁?、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）
A．12B．36C．48D．72
先排丙、丁、戊三人，共有種排法，甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，共有種排法，故排法種數(shù)為．
例1-3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，到，，，，這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求地只能派男司機(jī)，地只能派女司機(jī)，則不同的方案種數(shù)是（）
A．360B．720C．1080D．2160
第一步，先從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，共有種方法，
第二步，從抽取到的司機(jī)中，派1名男司機(jī)去地，派一名女司機(jī)去地，共有種方法，
第三步，剩下3名司機(jī)隨機(jī)去，，三地，共有種方法，故不同方案種數(shù)為，
例1-4．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）2022年在貴州省黔東南州臺(tái)盤(pán)鄉(xiāng)舉辦的貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，經(jīng)由短視頻火爆全網(wǎng)，被稱(chēng)為“村BA”，中國(guó)駐美大使及外交部發(fā)言人在海外媒體發(fā)文推薦．某高三班主任從網(wǎng)上找到6個(gè)與此相關(guān)的短視頻，，，，，，準(zhǔn)備從這6個(gè)短視頻中再選出3個(gè)向?qū)W生推薦，則，，至少選1個(gè)的方法種數(shù)為（）
A．8B．18C．19D．24
不同選法種數(shù)為.
例1-5．（2023·甘肅·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了10個(gè)相同的籃球分配給高三年級(jí)6個(gè)班，要求每個(gè)班至少一個(gè)籃球，則不同的分配方法有（）
A．126種B．84種C．72種D．48種
將10個(gè)籃球排成一排，形成9個(gè)空，插入5個(gè)擋板將籃球分成6組，所以不同的分配方案有種.
例1-6．（2023·浙江·高三統(tǒng)考）將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)共有( )
A．B．C．D．
將甲、乙、丙等六位同學(xué)進(jìn)行全排可得種，甲、乙、丙的排列為種，
因?yàn)榧?、乙在丙的兩?cè)，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數(shù)共有種．
例1-7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知有6本不同的書(shū).分成三堆，每堆2本，有種不同的分堆方法.
6本書(shū)平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.
例1-8．（2022·安徽·高三?？迹┯?種不同顏色的涂料，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（）
A．1512種B．1346種C．912種D．756種
1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F(xiàn)區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．
2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F(xiàn)分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．
故不同的涂色方法共有756種．
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某社區(qū)活動(dòng)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（）
A．72種B．81種C．144種D．192種
【答案】D
【分析】先計(jì)算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.
【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，
若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，
由間接法可知，滿(mǎn)足條件的排法種數(shù)為種.
故選：D.
2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門(mén)口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（）
A．144B．864C．1728D．2880
【答案】C
【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.
【詳解】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，
最后將兩個(gè)家庭的整體全排列，有種站法，
則所有不同站法的種數(shù)為．
故選：C
3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號(hào)為、、、、的個(gè)賽場(chǎng)，每個(gè)賽場(chǎng)只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號(hào)為、的賽場(chǎng)，編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（）
A．種B．種C．種D．種
【答案】D
【分析】對(duì)女志愿者甲是否被選中進(jìn)行分類(lèi)討論，分別確定各賽場(chǎng)的人員安排，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】分以下兩種情況討論：
①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數(shù)為，
則女志愿者甲可安排在號(hào)或號(hào)或號(hào)賽場(chǎng)，另一位女志愿者安排在號(hào)賽場(chǎng)，
余下個(gè)男志愿者隨意安排，此時(shí)，不同的安排種數(shù)為；
②女志愿者甲沒(méi)被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數(shù)為，
編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號(hào)賽場(chǎng)，
余下人可隨意安排，此時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.
故選：D.
4．（2023·江蘇·高三?？迹┠承＝M織一次認(rèn)識(shí)大自然的活動(dòng)，有10名同學(xué)參加，其中有6名男生?4名女生，現(xiàn)要從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（）
A．192種B．120種C．96種D．24種
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用排除法、組合應(yīng)用問(wèn)題列式計(jì)算作答.
【詳解】從10名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)有種方法，抽取的人全是男生的有種，全是女生的有種，
所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（種）.
故選：C
5．（2023·河北·高三?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)去文具店購(gòu)買(mǎi)文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價(jià)均為一元一本，小明只有元錢(qián)且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有（）
A．種B．種C．種D．種
【答案】B
【解析】將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，允許有空盒，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有個(gè)球，利用隔板法可得出結(jié)果.
【詳解】問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，允許有空盒.
進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有個(gè)球.
由隔板法可知，不同的選購(gòu)方法有種.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用隔板法解決實(shí)際問(wèn)題，將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A?C?D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（）
A．100B．120C．300D．600
【答案】A
【分析】利用間接法和縮倍法求解.
【詳解】不考慮限制條件共有種，最先匯報(bào)共有種，
如果不能最先匯報(bào)，而?C?D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰）有.
故選：A.
7．（2023·福建·高三?？茧A段練習(xí)）為提高教學(xué)質(zhì)量，教育廳派6位教研員，平均分成3組，去某地3所重點(diǎn)高中調(diào)研，且甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排方案有（）種．
A．66B．72C．85D．96
【答案】B
【分析】首先不考慮甲、乙兩位教研員利用平均分組分配問(wèn)題的方法求出總安排數(shù)，再減去甲、乙兩位教研員去同一所高中的情況.
【詳解】依題意若不考慮甲、乙兩位教研員則有種安排方法，
若甲、乙兩位教研員去同一所高中則有種安排方法，
綜上可得不同的調(diào)研安排方案有種.
故選：B
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數(shù)為 .
【答案】240
【分析】將甲、乙視為一個(gè)整體，根據(jù)圓排列的方法確定其排列數(shù)，再排甲、乙即可.
【詳解】將甲、乙看成一個(gè)整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，
甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）.
故答案為：.
9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（）
A．72B．96C．108D．144
【答案】B
【詳解】設(shè)四種顏料為，
①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；
②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；
③再涂區(qū)域E，有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；
④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D、F填涂顏色1，4，或4，3，
若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D、F填涂顏色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，
綜合①②③④，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的填涂法．故選B．
10．（2023春·湖北武漢·高三武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谀┤鐖D，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（）

A．120B．180C．221D．300
【答案】B
【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色兩種情況討論，結(jié)合分布乘法原理即可得解.
【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，
Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，
Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法，
綜上共有種不同的著色方法.
故選：B.
技法02 項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積解題技巧
二項(xiàng)式定理是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)和項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積等結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).
知識(shí)遷移
1．二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：
(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)．
(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)．
(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)．
(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)．
注1．二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第k＋1項(xiàng)．
注2．易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”“項(xiàng)的系數(shù)”“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)僅指Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
二項(xiàng)式系數(shù)和
(a＋b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝.
例2-1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為（）
A．160B．C．D．
在的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為.
例2-2．（山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）
A．B．C．D．
第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，
例2-3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）．
A．B．C．40D．80
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
令得，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為
例2-4．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）
A．B．10C．D．30
【詳解】可以看做個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有，，三個(gè)元素，
現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，
所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
故展開(kāi)式中的系數(shù)為.
例2-5．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（）
A．5B．10
C．15D．20
展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（且）
所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第_____項(xiàng)
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【詳解】試題分析：由二項(xiàng)式定理可知,展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是使的項(xiàng),解得為第19項(xiàng),答案選C.
考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎恼归_(kāi)式中，第三項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則 .
【答案】5
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的概念以及組合數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.
【詳解】依題意可得，得，即.
故答案為：.
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)即可求得指定項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以．則
又因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，所以展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為．
故選：B.
4．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．1680B．210C．－210D．－1680
【答案】A
【分析】相當(dāng)于在7個(gè)因式中有3個(gè)因式選，余下的4個(gè)因式中有2個(gè)因式選，最后余下2個(gè)因式中選，把所選式子相乘即可得項(xiàng)，求解即可.
【詳解】相當(dāng)于在7個(gè)因式中有3個(gè)因式選，有種選法，
余下的4個(gè)因式中有2個(gè)因式選，有種選法，
最后余下2個(gè)因式中選，把所選式子相乘即可得項(xiàng)，
而，所以項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：A.
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問(wèn)題除法處理
對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
對(duì)于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問(wèn)題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq \\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法種eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
間接法
正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法
分組分配
平均分組、部分平均分組
1．對(duì)不同元素的分配問(wèn)題
(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．
(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．
(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
隔板法
將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那個(gè)盒子
環(huán)排問(wèn)題
(1) 把個(gè)不同的元素圍成一個(gè)環(huán)狀，排法總數(shù)為
(2) 個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為
(3) 個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為
涂色問(wèn)題
涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。
性質(zhì)
內(nèi)容
對(duì)稱(chēng)性
與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即
增減性
當(dāng)k＜eq \f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；
當(dāng)k＞eq \f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小
最大值
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n－1,2)＋1項(xiàng)和第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，最大值為或

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