【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 題型02 函數(shù)的4大基本性質(zhì)（解題技巧）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

技法01 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及解題技巧
在考查函數(shù)單調(diào)性時(shí)，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運(yùn)算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計(jì)算也是高考重點(diǎn)，常以小題形式考查.
知識(shí)遷移
同一定義域內(nèi)
①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗ ②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘
③為↗，則為↘，為↘ ④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗
⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘ ⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù),則（）
A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減
在定義域內(nèi)是增函數(shù)，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
所以在單調(diào)遞增
【答案】A
1．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)且是增函數(shù)B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)且是增函數(shù)D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)單詞性判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，AB錯(cuò)誤，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上遞增，則函數(shù)在R上遞減，所以函數(shù)是增函數(shù)，D錯(cuò)誤，C正確.
故選：C
2．（2021·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則（）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【答案】C
【分析】首先確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又有，可知為偶函數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可確定時(shí)，單調(diào)遞減，由對(duì)稱性可知時(shí)，單調(diào)遞增，由此得到結(jié)果.
【詳解】由得：，定義域?yàn)椋?br>又，
為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，可排除BD；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可排除A；
為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的判斷的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的范圍得到的解析式，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即“同增異減”的方法確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)真數(shù)大于零，可得函數(shù)的定義域；結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】由得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?br>令，則是單調(diào)遞減函數(shù)
又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.
技法02 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.
知識(shí)遷移
①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）
②奇偶性的定義：
奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱
③奇偶性的運(yùn)算
例2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則．
由題知為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>【法一】奇偶性的運(yùn)算
只需即可
【法二】尋找必要條件（特值法）
所以，即，
則，故
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?為偶函數(shù)，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.
【詳解】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.
4．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則，．
【答案】；．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性
若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
技法03 函數(shù)周期性的應(yīng)用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.
知識(shí)遷移
①若，則的周期為：
②若，則的周期為：
③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）
④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）
例3．（全國(guó)·高考真題）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則
A．B．C．D．
因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即，所以周期為4
【答案】C
1．（2023上·海南省·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，，則（）
A．B．0C．3D．6
【答案】A
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，，再根據(jù)求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期即可得解.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，
因?yàn)?，所以，則，
所以，
所以是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，
所以
.
故選：A．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)椋羁傻茫?，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所?br>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則．
【答案】
【分析】利用賦值法依次求得，再利用賦值法推得的周期為12，從而利用函數(shù)的周期性即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，有，則或．
若，則令，，
有，得，與已知矛盾，所以．
令，有，
則，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，
所以的周期為12．
又因?yàn)椋?br>所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用賦值法推得的周期性，從而得解.
技法04 函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數(shù)對(duì)稱性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉對(duì)稱性的定義，若能熟悉對(duì)稱性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.
知識(shí)遷移
軸對(duì)稱
①若，則的對(duì)稱軸為
②若，則的對(duì)稱軸為
點(diǎn)對(duì)稱
①若，則的對(duì)稱中心為
②若，則的對(duì)稱中心為
例4-1．（全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是
A．B．C．D．
【法一】函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過(guò)此點(diǎn)．
故選項(xiàng)B正確
【法二】關(guān)于x=1對(duì)稱即，即
【答案】B
例4-2．（2016·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則
A．0B．C．D．
【詳解】[方法一]：直接法.
由得關(guān)于對(duì)稱，
而也關(guān)于對(duì)稱，
∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)，
∴，故選B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨設(shè)因?yàn)?，與函數(shù)的交點(diǎn)為
∴當(dāng)時(shí)，，故選B．
[方法三]：構(gòu)造法.
設(shè)，則，故為奇函數(shù).
設(shè)，則，故為奇函數(shù).
∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn).
將，代入，即得
∴，故選B．
[方法四]：
由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,
所以兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱,
對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)和，都有.
從而.故選B.
【答案】B
例4-3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）
A．B．C．D．
因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)?，所以，即，所?
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)椋?
所以.
【答案】D
1．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知曲線與曲線交于點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由和可確定兩曲線均關(guān)于中心對(duì)稱；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和極值，結(jié)合的單調(diào)性可確定兩曲線在上的圖象，由此可確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.
【詳解】令，
則，
，
，關(guān)于中心對(duì)稱；
，關(guān)于中心對(duì)稱；
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
極小值為，極大值為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，；
作出與在時(shí)的圖象如下圖所示，
由圖象可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知：與在上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的解析式，確定兩函數(shù)關(guān)于同一對(duì)稱中心對(duì)稱，結(jié)合兩函數(shù)圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)后，即可根據(jù)對(duì)稱性求得交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和.
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】由題意，從而是周期函數(shù)，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由，從而即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>從而可得，所以，所以函數(shù)的一個(gè)周期為6．
因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于“系數(shù)不為1”的復(fù)合型函數(shù)，一般情況下，內(nèi)函數(shù)多為一次函數(shù)型，涉及奇偶性（圖象的對(duì)稱性）時(shí)處理方法有：①利用奇偶性（圖象的對(duì)稱性）直接替換題中對(duì)應(yīng)的變量；②類比三角函數(shù)；③引入新函數(shù)，如令，則．本題中，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，則，從而，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，不能誤認(rèn)為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
3．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）（多選）已知函數(shù)，則（）
A．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．的所有零點(diǎn)為
D．是以為周期的函數(shù)
【答案】AC
【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱軸的定義分析證明；對(duì)于B：舉例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉例說(shuō)明即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B錯(cuò)誤.
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>注意到，
令，得，即，
故的所有零點(diǎn)為，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋圆皇堑闹芷?，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．是函數(shù)的一個(gè)周期
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1
【答案】ABD
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用周期定義即可判斷B項(xiàng)，結(jié)合A項(xiàng)、B項(xiàng)即可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用完全平方公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合換元法即可求得函數(shù)的最小值進(jìn)而可判斷D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?
又，所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，由A項(xiàng)知，
所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，
令，
又，則，所以，即，
所以，（），
又在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
技法05 函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應(yīng)用及解題技巧
縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點(diǎn)，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運(yùn)算，則可提升解題速度，做到快速求解.
知識(shí)遷移
周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題
①若，，其中，則的周期為：
②若，，其中，則的周期為：
③若，，其中，則的周期為：
奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題
①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：
②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：
例5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.
【答案】B
1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．
【詳解】[方法一]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)?，所以?br>令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)?，所以?br>令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問(wèn)題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果．
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．若，則（）
A．B．0C．2D．2024
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性即可得函數(shù)周期性，進(jìn)而可求解.
【詳解】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且關(guān)于直線軸對(duì)稱，
故，
所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，由．得，
所以．
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于直線與軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．
（2）若函數(shù)的圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．
（3）若函數(shù)的圖像既關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，又關(guān)于直線軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若，則．
【答案】5
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析得出該函數(shù)的對(duì)稱性，借助雙對(duì)稱性的周期將求轉(zhuǎn)換為求即可得.
【詳解】由為奇函數(shù)，
可得，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又的定義域?yàn)椋瑒t有．
由為偶函數(shù)得，
則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則，
從而，則，
則，
故是周期為4的偶函數(shù)，所以．
而，
所以，，故.
故答案為：5.
4．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 .
【答案】
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，
則，，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，，，
所以，，則，
所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則，，，
，，，
，，
所以，，
又因?yàn)椋裕?
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：
（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.

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