技法01 橢圓、雙曲線中的定義法求離心率
技法02 焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率
技法03 斜率乘積求橢圓、雙曲線的離心率
技法04 定比分點求橢圓、雙曲線的離心率
技法05 余弦定理求橢圓、雙曲線的離心率
技法06 構(gòu)造齊次方程求橢圓、雙曲線的離心率
技法01 橢圓、雙曲線中的定義法求離心率
定義法求離心率是最本質(zhì)和常規(guī)的方法，也是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)
知識遷移 橢圓公式1: ，公式2: 變形，雙曲線公式1:，公式
例1-1．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
，所以，．
例1-2．（2023·江蘇模擬）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
.
1．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的右焦點為，P為橢圓的左頂點，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列式解得，進而可得.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以C的離心率為.
故選：A.
2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】根據(jù)已知可知：，再代入離心率公式即可.
【詳解】由題知：，即.
.
故答案為：
【點睛】本題主要考查離心率的求法，根據(jù)題意找到關(guān)系式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.
3．（2023·河南·馬店第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，其右焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求出，并根據(jù)離心率公式求解即可.
【詳解】由于對稱性，右焦點到兩條漸近線的距離都為2，
由題可知，過一三象限的漸近線為，即，
所以右焦點到漸近線的距離為，
又，∴，
∴．
故答案為: .
4．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知橢圓經(jīng)過點和，則橢圓的離心率為 .
【答案】/0.5
【分析】通過已知兩個點求出橢圓方程即可得到離心率.
【詳解】將兩個點代入橢圓方程得：，解得，故.
故答案為：
技法02 焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率
焦點三角形中求離心率方法較多，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，難度較小，需強化練習(xí)
知識遷移
已知棚圓方程為,兩焦點分別為,
設(shè)焦點三角形,,則橢圓的離心率
公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,則
例2．（全國·高考真題）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，
∠=，則C的離心率為
A．B．C．D．
【法一】 離心率e＝
【法二】計算即可
已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)
A. B. C. D.
2．（全國·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進行計算即可得解.
【詳解】雙曲線的焦點為，，則，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
雙曲線過點，由雙曲線的定義可得，
解得離心率，
3．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合雙曲線的定義和直角三角形的幾何性質(zhì)，列式運算可得其離心率的值.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
由題意可得：，
因為，整理得.
故選：D.
4．（天津紅橋·高二統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 (a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若線段MF1的中點在此雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A．＋1B．4＋2
C．D．－1
【答案】A
【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標(biāo)的表達式，進而可求得三角形的高，則點的坐標(biāo)可得，進而求得邊的中點的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得，和的關(guān)系式化簡整理求得關(guān)于的方程求得．
【詳解】解：依題意可知雙曲線的焦點為，，，
三角形高是，，
邊的中點，，代入雙曲線方程得：，
整理得：，
，，
整理得，求得，
，.
故選：A.
技法03 斜率乘積求橢圓、雙曲線的離心率
已知斜率乘積求離心率是新高考卷的常考內(nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)
例3．（2023·吉林·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
，求解即可
1．（2022秋·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谀┮阎p曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進而求得離心率．
【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因為，所以，
所以，則
故選：C.
2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考模擬預(yù)測）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作斜率為的直線與橢圓：()相交于
?兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由點差法運算可得，再由離心率公式即可得解.
【詳解】設(shè)，則， ，
所以，作差得，
所以，即，
所以該橢圓的離心率.
故選：A.
技法04 定比分點求橢圓、雙曲線的離心率
已知定比分點求離心率是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)
知識遷移
點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則
當(dāng)曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點在軸上時,
注:或者而不是或
例4．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為
A．B．C．D．
計算即可
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意知，，設(shè)，由解得點坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡即可求得離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的焦點在軸上，方程為，，，
設(shè)，由，且，
故，，
由點在橢圓上，故，整理得，
故離心率，
故選：B.
2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則
A．1B．C．D．2
【答案】B
【詳解】因為，所以，從而，則橢圓方程為．依題意可得直線方程為，聯(lián)立可得
設(shè)坐標(biāo)分別為，則
因為，所以，從而有 ①
再由可得，根據(jù)橢圓第二定義可得，即 ②
由①②可得，所以，則，解得．因為，所以，故選B
3．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.
【詳解】
不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，
令，解得，即.
設(shè)，又，，，
由可得：，解得，
又在橢圓上，即，
整理得，解得.
故選：A
技法05 余弦定理求橢圓、雙曲線的離心率
用余弦定理求離心率是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)
例5．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線的右支于、兩點．點滿足，且，者，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】如下圖所示，取線段的中點，連接，

因為，則，
因為為的中點，則，且，
由雙曲線的定義可得，
所以，，則，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，該雙曲線的離心率為.
1．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）雙曲線的左?右焦點分別為，以1．（2023·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于兩點，設(shè)橢圓的右焦點為，已知，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，得到四邊形為平行四邊形，設(shè)，在中，利用余弦定理，求得，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求解.
【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為，連接，
由橢圓的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，
設(shè)，則，，
由余弦定理得：．
因為，，
所以橢圓的離心率.
故選：D．
2．（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左右焦點分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，點滿足，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由、結(jié)合正弦定理可得，又，故，再結(jié)合余弦定理計算即可得離心率.
【詳解】由橢圓定義可知，由，故，，
點滿足，即，則，
又，，
即，又，
故，則，即，
即平分，又，故，
則，則，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于由、，得到平分，結(jié)合，從而得到.
3．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知圓經(jīng)過橢圓的兩個焦點，圓和橢圓在第二象限的交點為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)圓與軸的交點求出橢圓的焦點，然后利用圓周角的性質(zhì)求出，進而根據(jù)余弦定理及橢圓的定義可求出，則離心率可得.
【詳解】對于圓，
即，圓心為，半徑為
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即如圖點
即橢圓的兩個焦點為，即，
又圓和橢圓在第二象限的交點為，
由圓周角的性質(zhì)可得，
則
又由
得，
又得，解得，
所以離心率.
故選：C.
技法06 構(gòu)造齊次方程求橢圓、雙曲線的離心率
構(gòu)造其次方程求離心率是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)
例6．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標(biāo)原點），且，則橢圓的離心率為（ ）．
A．B．C．D．
【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，
則直線，直線，
聯(lián)立，解得，即，
因為，故．
因為，所以點在橢圓上，
將代入橢圓的方程得，即，
即，解得或（舍去）.
1．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓的上頂點，線段的延長線交橢圓于點．若，則橢圓的離心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得點B的坐標(biāo)，再根據(jù)求解.
【詳解】由題意得，
則直線的方程為，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，
所以，
因為，則，
因為，化簡得，
即，可得，所以.
故選：B.
2．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）橢圓：（）的左、右焦點分別為，，過作垂直于軸的直線，交于A，兩點，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知直線：，結(jié)合方程可得，進而求離心率.
【詳解】因為，且直線垂直于軸，可知直線：，
將代入橢圓方程可得，解得，所以，
又因為，則，即，
可得，則，解得.
故選：A.
3．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在上，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用焦點三角形得面積表示出，借助找到斜率之間得關(guān)系，計算即可.
【詳解】設(shè)，，
由，解得，
又因為在橢圓上，
所以，解得，
因為，
可得，即，
記直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,
因為,所以,
即，
即，
整理得：，解得,
故選:B.

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