Ⅰ：二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，
這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．
式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，
Ⅱ：二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：
①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；
②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；
③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；
④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．
Ⅲ：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：
①（）
②
Ⅳ：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：
公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．
易錯(cuò)提醒：在二項(xiàng)式定理的問題要注意的系數(shù)為，在展開求解時(shí)不要忽略.
例、已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則（ ）
A． B． C．6 D．
變式1：在的展開式中，的系數(shù)是 ．
變式2：展開式的常數(shù)項(xiàng)為 .
變式3：的展開式中的系數(shù)為 .
1．的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（ ）
A．560B．35C．-35D．-560
2．若的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．6B．8C．28D．56
3．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55B．C．65D．
4．若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)（非零），則正整數(shù)的可能值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．1C．D．
6．在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．21C．189D．
7．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
8．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則 .
9．在的展開式中，的系數(shù)為 ．
10．的展開式中，按的升冪排列的第3項(xiàng)的系數(shù)為 ．
11．在的展開式中的的系數(shù)是 .
12．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ．
13．的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135，則 ．
易錯(cuò)點(diǎn)二：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤（三項(xiàng)展開式的問題）
求三項(xiàng)展開式式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法
第一步：通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解
第二步：兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解
第三步：由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量
易錯(cuò)提醒：對(duì)于三項(xiàng)式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再展開的辦法進(jìn)行求解，但在轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的時(shí)候，又有不同的處理策略：一是如果三項(xiàng)式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進(jìn)行因式分解，則可通過對(duì)分解出來的兩個(gè)二項(xiàng)展開式分別進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平方的形式，也不能進(jìn)行因式分解時(shí)，可直接將三項(xiàng)式加括號(hào)變?yōu)槎?xiàng)式，套用通項(xiàng)公式展開后對(duì)其中的二項(xiàng)式再利用通項(xiàng)展開并進(jìn)行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進(jìn)行合理的變形，以利于求解.
例、的展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．120 B．240 C．320 D．480
變式1：在的展開式中，含的系數(shù)為 .
變式2：展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
變式3：在的展開式中，形如的所有項(xiàng)系數(shù)之和是 ．
1．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．588B．589C．798D．799
2．在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．24B．32C．36D．40
3．的展開式中的系數(shù)為12，則（ ）
A．B．C．D．
4．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．60C．D．120
5．設(shè)，已知的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80B．60C．D．
7．已知展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．270B．C．330D．
8．的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（ ）
A．1B．4或1C．4或0D．6或0
9．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
10．展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
11．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
12．在的展開式中，的系數(shù)為 .
13．的展開式中，的系數(shù)為10，則 .
14．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字做答）
15．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
16．的展開式中的系數(shù)為 ．
17．的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
易錯(cuò)點(diǎn)三：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤（系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題）
Ⅰ：二項(xiàng)式展開式中的最值問題
1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．
2.系數(shù)的最大項(xiàng)
求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
Ⅱ：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
（1）設(shè)，
二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
（2）若，則
①常數(shù)項(xiàng)：令，得．
②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
易錯(cuò)提醒：二項(xiàng)式定理的問題要注意：項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（求所有項(xiàng)的系數(shù)只要令字母值為1）.
例、設(shè)的展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為36，試求含的項(xiàng)．
變式1：求的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)．
變式2：計(jì)算的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)．
變式3：求的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值和對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)．
1．在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng)B．第4項(xiàng)
C．第5項(xiàng)D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
2．已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（ ）
A．B．C．D．
3．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)是B．各項(xiàng)系數(shù)和為
C．第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32
4．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B．第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為D．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1
5．已知2，n，8成等差數(shù)列，則在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項(xiàng)為40D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x
6．下列關(guān)于的展開式的說法中正確的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)為－160
B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大
C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
7．若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開式中的系數(shù)為 .
8．已知常數(shù)，在的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，設(shè)，則 ．
9．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為 ．
10．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）.
11．已知的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則 .
12．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 .
13．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 .
14．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 .
15．已知，若展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1024，則的值為 ．
16．已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和是64，則展開式中x的系數(shù)為 ．
17．已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 .
18．已知的展開式中第7項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
易錯(cuò)點(diǎn)四：混淆虛部定義致錯(cuò)（求復(fù)數(shù)虛部）
Ⅰ：復(fù)數(shù)的概念
= 1 \* GB3 ①?gòu)?fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別是它的實(shí)部和虛部，叫虛數(shù)單位，滿足
（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi為實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi為虛數(shù)；
（3）當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，a＋bi為純虛數(shù)．其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計(jì)算公式
Ⅱ：復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
易錯(cuò)提醒：1、求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b.2、復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq \x\t(z)；③z∈R?z2≥0 3、復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是純虛數(shù)?z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2＜0
例、復(fù)數(shù)虛部是（ ）
A. B. C. D.
變式1：已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
變式2：已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
變式3：已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為 ， ．
1．的虛部為（ ）
A．4B．C．D．2
2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
3．已知 ， 則的虛部是（ ）
A．2B．
C．D．
4．的虛部為（ ）
A．B．C．D．
5．若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
6．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．－2B．－1C．6D．2
7．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．iB．1C．D．
8．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
9．若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
10．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
11．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1B．C．D．
12．已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
13．已知，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
易錯(cuò)點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯(cuò)誤（復(fù)數(shù)有關(guān)模長(zhǎng)的求算）
復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計(jì)算公式
易錯(cuò)提醒：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)復(fù)數(shù)差的?？梢岳斫鉃閮牲c(diǎn)之間的距離.
例、若，且，則最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
變式1：已知復(fù)數(shù)z滿足，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為 .
變式2：已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 .
變式3：已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 ．
1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．若復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．若復(fù)數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位），則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．+1
5．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
9．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．的虛部為
B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
D．若復(fù)數(shù)滿足，則
10．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是 ．
11．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最大值為 ．
12．若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
13．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
14．已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 ．
15．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是 ．
16．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
17．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為 ．

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新高考專用備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題精選專題14二項(xiàng)式定理復(fù)數(shù)教師版：

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專題14 二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）：

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備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題精選專題14二項(xiàng)式定理復(fù)數(shù)(學(xué)生版+教師版)：

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