易錯點一：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍（求動點軌跡方程）
求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：
第一類：直接法求動點的軌跡方程
利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：
第一步：建系：建立適當?shù)淖鴺讼?br>第二步：設點：設軌跡上的任一點
第三步：列式：列出有限制關系的幾何等式
第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡
注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．
第二類：定義法求動點的軌跡方程
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．
第三類：相關點法求動點的軌跡方程
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．
第四類：交軌法求動點的軌跡方程
在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．
易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準確確定范圍，應充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應的限制條件，避免因考慮不全面致錯．
例．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.
求曲線的方程；
【詳解】圓的圓心為，半徑，
因為，所以，又因為，所以
所以
所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上
設雙曲線的方程為，則，
所以，，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為
變式1．在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為. 求曲線的方程；
【詳解】設動點的坐標為，由已知得，
化簡得：，故曲線的方程為
變式2．已知y軸右側一動圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.
求動圓圓心Q的軌跡M的方程；
【詳解】圓P：，所以圓P的圓心坐標為，半徑為1
設，依題意有
化簡整理得：，故所求動圓圓心Q的軌跡M的方程為
變式3．已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關于的對稱點為．
求的軌跡的方程；
【詳解】方法1：設
因為，所以，即
又，所以，所以
方法2：如圖，設關于的對稱點為，由已知得，互相垂直平分
所以四邊形為菱形，所以
因為為中點，所以，即點在定直線上，因為，所以與直線垂直，即點到定點的距離等于點到定直線的距離
所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡的方程為
1．已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內切、一個外切．
求動圓圓心的軌跡的方程．
【詳解】設點的坐標為，圓的半徑為．
由已知條件，得．
①當動圓與圓外切，與圓內切時，，
從而．
②當動圓與圓內切，與圓外切時，，
從而．
綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓．
易得圓與圓交于點與，
所以動圓圓心的軌跡的方程為．
2．在平面直角坐標系中，點到點的距離等于點到直線的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
【詳解】設，依題意，得，
化簡得，故的方程為．
3．設拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點．
(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；
(2)設是點關于頂點O的對稱點，是拋物線上的動點，求的最大值；
(3)設是兩條互相垂直，且均經過點F的直線，與拋物線交于點,與拋物線交于點，若點G滿足，求點G的軌跡方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）可令，代入拋物線方程，計算可得弦長繼而得；
（2）根據(jù)拋物線定義轉化線段比值，結合直線與拋物線的位置關系計算即可；
（3）設坐標及方程，與拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理以及兩直線垂直的條件，結合向量的坐標表示，以及消元轉化，可得所求軌跡方程．
【詳解】（1）由可得，由題意可知；
（2）易知，則，拋物線準線為，

如圖所示，過作準線，垂足為B，
由拋物線定義可知，故，
設直線為，，
則，
欲求的最大值，即求的最小值，
顯然當直線與拋物線相切時，取得最大，此時其余弦最小，
聯(lián)立拋物線方程可得，
由直線和拋物線相切可得，
結合拋物線對稱性，不妨取，此時，即；
（3）
由已知可知，則，
設，，
則，
與拋物線聯(lián)立可得：，
即有，
同理則有，
因為點G滿足，
即，
故，
可得，
則G的軌跡方程為．
4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.
說明是什么曲線，并求的方程；
【答案】
【詳解】根據(jù)題意可知圓可化為，
所以可知圓心，半徑，
易知和兩點關于原點對稱，且，
所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，
即，可得；
因此曲線的方程為.
5．已知為圓：上任一點，，，，且滿足.
求動點的軌跡的方程；
【答案】
【詳解】
如圖，由，可得，
因為，所以，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
所以動點的軌跡的方程為.
6．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．
求點的軌跡的方程；
【答案】
【詳解】由得，其半徑為4，
因為線段的垂直平分線與直線交于點，

故，則,
而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，
則，
故點的軌跡的方程為.
7．已知圓，一動圓與直線相切且與圓C外切．
(1)求動圓圓心P的軌跡T的方程；
(2)若經過定點的直線l與曲線相交于兩點，M是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，方程為
【分析】（1）利用直接法，設出點坐標根據(jù)相切關系找到等量關系即可求動圓圓心P的軌跡T的方程；
（2）由題意設直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用，從而由向量的數(shù)量積的坐標運算于韋達定理可得，即可求出直線方程．
【詳解】（1）由題意知圓的圓心，半徑；
設，易知點在直線右側，
所以到直線的距離為，又，
由相切可得，即
化簡可得動圓圓心P的軌跡T的方程為；
（2）如下圖所示：

設，．
由題意，設直線l的方程為聯(lián)立T的方程可得
則，由韋達定理可得，，
所以，，
假設存在，使得,
則，又，所以；
，
由可得，
所以，
代入化簡可得，解得，
∴存在直線，使得.
8．圓，圓心為，點，作圓上任意一點與點連線的中垂線，交于.
求的軌跡的方程；
【答案】
【詳解】連接，則，
其中，則，
所以，
故的軌跡為以兩點為焦點，長軸長為4的橢圓，
其中，故，，
所以的方程為；
9．已知，，對于平面內一動點，軸于點M，且.
求點Р的軌跡C的方程；
【答案】當，；當，
【詳解】設，則，
從而
由，有，
若，化簡整理得；
若，化簡整理得.
10．在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.
求C的方程；
【答案】
【詳解】因為點、，的內切圓與直線相切于點，
所以，
因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，
設點的軌跡C的方程為，焦距為，
所以，，
所以，，，
所以點的軌跡方程C為
易錯點二：忽略了給定條件對e范圍的限定（離心率的求算）
求離心率范圍的方法
建立不等式法：
技巧1：建立關于和的一次或二次方程與不等式．
技巧2：利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
技巧3：利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
技巧5：涉及的關系式利用基本不等式，建立不等關系．
易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.
例．已知雙曲線：的右焦點為，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析方案】由，令且，，則，根據(jù)題設有、、，進而有，將它們整理為關于的齊次方程求離心率即可
【詳解】由題設，令且，，則，且①
由，即②
由，即
又C在雙曲線上，則③
由①得：，代入③并整理得：
由①②及得：
所以，即
顯然，則，故選：B
變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
【分析方案】根據(jù)雙曲線定義得到，由三角形面積公式和余弦定理求出，兩邊同除以得到，求出離心率
【詳解】∵分別是雙曲線的左、右焦點，
為雙曲線右支上一點，∴，，又∵在中，
∵，∴，則
又
∴，即，故，解得：
∵，∴故選：A
變式2．已知雙曲線的上焦點為，點P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2或B．3或C．2D．3
【分析方案】根據(jù)雙曲線定義將轉化為，數(shù)形結合即可求解
【詳解】設雙曲線的下焦點為，可知，則，即
則
當且僅當三點共線時，等號成立，由題意可得，且
因為在上單調遞增，且，
所以方程，且，解得，則，所以雙曲線E的離心率為，故選：D
變式3．過雙曲線：的右焦點作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．或C．D．
【分析方案】根據(jù)題意，可得，兩種情況，分別求解，結合雙曲線的性質，代入離心率公式，即可得到結果
【詳解】
如圖①，當時，設，則，設，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設，，，因為，所以
又，所以，所以，，，
則，則，且，
即，解得，所以，
如圖②，當時，設，，設，則，
，在中，，設，，，因為，所以，又，所以，所以，，，，則，，，所以
，則，所以，即，解得，所以故選：B
1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】連接、、，則，，設點，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.
【詳解】連接、、，則，，
由切線長定理可知，，
又因為，，所以，，
所以，，則，
設點，則，且，
所以，，
所以，，故，
故選：B.
2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.
【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，
得，根據(jù)這兩個方程解得，
則，得，所以雙曲線的方程為.
故選：B.
3．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設，結合雙曲線的定義得到，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)法求解.
【詳解】解：因為，，
∴，
又，∴．
設，則，，
∴，
∴，則，
∴．
∴，則，
設，則，
∴在上單調遞增，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
故選：B．
4．已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，，由得到，的關系，結合韋達定理得到，，之間的關系式，進而求出離心率.
【詳解】設，，則，．
由，得．
直線l的方程為，即，
代入雙曲線的方程中，得，
即，
∴，，
∴，，
∴，
整理得．又，∴．
故選:B．
5．雙曲線的左、右焦點分別為，，點是其右支上一點．若，，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量法得：，然后結合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.
【詳解】由雙曲線的幾何性質，可知點是線段的中點，則，
即:，
所以：，解得：，
所以：，故，
由，解得：，
所以：，故B項正確.
故選：B.
6．已知直線與雙曲線交于兩點，點是雙曲線上與不同的一點，直線的斜率分別為，則當取得最小值時，該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】聯(lián)立方程求出的坐標，通過運算得到，代入，利用二次函數(shù)的知識求得取最小值時，的值，即可求解.
【詳解】將代入雙曲線方程中，
整理得，得，
設，
則，，
所以，
所以．當時，取得最小值，
此時,
所以，解得，
所以.
故選：C．
7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應用勾股定理列方程求得，進而求離心率.
【詳解】中，中，
所以，，
又，則，又，
所以，令，則，，
而，由，則，，
可得，即.
故選：D
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點，若雙曲線上的點滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設，由雙曲線的定義結合題意可得，又由，表示出，，在中，由余弦定理可求得，解方程即可求出答案.
【詳解】如圖，連接，由題意知，
設，由雙曲線的定義可得．
又由題可得，所以，即．
在中，，由，得，
由雙曲線的定義可得．因為，所以，
所以，在中，，
又由余弦定理可得，
即，所以．
又因為，所以，
所以，故，
所以雙曲線的離心率．

故選：A.
9．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡得到，結合，化簡得到，進而求得雙曲線的離心率.
【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.
設，聯(lián)立方程組，解得.
因為，所以，即，可得.
又因為點在雙曲線上，所以，
將代入，可得，
由，所以，所以，即，
化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.
故選：B.

10．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由雙曲線的性質可得四邊形為矩形，然后結合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結果.
【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，

又因為，所以，
所以四邊形為矩形，
設，則，
由雙曲線的定義可得：，，
又因為為直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因為為直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故選：D.
易錯點三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）
知識點一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設點設線聯(lián)立化解韋達判別）
（1）橢圓與直線相交于兩點，設，
，
橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，
（2）拋物線與直線相交于兩點，設，
聯(lián)立可得，時，
特殊地，當直線過焦點的時候，即，
拋物線與直線相交于兩點，設，
聯(lián)立可得，時，
知識點二、根的判別式和韋達定理
與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：
1.如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
2.直線和雙曲線聯(lián)立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
易錯提醒：求最值問題時一般轉化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）
例．已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上任一點，則的取值范圍是 ．
【分析方案】求出焦點坐標，設出（），利用向量的數(shù)量積的坐標表示和橢圓方程表達出，結合的取值范圍，得到的取值范圍
【詳解】由，，解得：，所以
不妨令，，因為P是橢圓E上任一設點，設（）
則，即，其中
因為，所以，，所以的取值范圍是
故答案為：
變式1．已知橢圓的左焦點為是C上的動點，點，若的最大值為6，則C的離心率為 ．
【分析方案】設出右焦點,將轉化成，最后利用三點共線表示最大值求出，進而求出離心率
【詳解】設右焦點，由橢圓定義，，
當且僅當三點共線時，取等號，.又，，
，故答案為：
變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一個動點，為圓上一個動點，則的最大值為
【分析方案】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結合的方法分析知共線時有最大值，進而求目標式的最大值
【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得，∴
圓變形得，即圓心，半徑
要使最大，即最大，又
∴使最大即可，如圖所示：
∴當共線時，有最大值為
∴的最大值為
∴的最大值，即的最大值為11+1=12
故答案為：12
變式3．設，分別為橢圓（）的左，右焦點，為內一點，為上任意一點，若的最小值為，則的方程為 .
【分析方案】由題意知，，則；由三角形的三邊關系可知，從而可求出，由橢圓的定義知
，從而可求出，進而可求出橢圓的標準方程
【詳解】由橢圓定義可知，且，則
因為，所以，所以，所以，故的方程為，故答案為：
1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為橢圓上一個動點，則的最大值與最小值之和為 ．
【答案】
【分析】求出圓的圓心，根據(jù)題意可得、，利用平面向量的線性運算可得，即可求解.
【詳解】圓，圓心，半徑，
因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，
所以，又橢圓，則，，右焦點為，
所以
，
又，即，所以，
即，所以的最大值為，最小值為.
則的最大值與最小值之和為.
故答案為：
2．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】由余弦定理變形得出，在以為焦點，長軸長為6的橢圓上，因此當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大，由此可求得三角形面積最大值．
【詳解】, ，
由余弦定理得，
所以，
即，又，
所以在以為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），
如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標系，
設橢圓方程為，則，
所以，
當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大為，
所以的最大值為，
故答案為：．
3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點，，是橢圓上的兩點，且.若，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】以橢圓的右焦點為極點，建立極坐標系，設，，可表示出，，再由可得，此時表示與兩點的連線的斜率，由幾何意義求解即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】以橢圓的右焦點為極點，建立極坐標系，設，
過點作交于點，為橢圓的右準線，
過點A作極軸交極軸于點，
由橢圓的第二定義知：，則，所以，
則，代入化簡可得：，
同理可得：，
由可得，
，表示與兩點的連線的斜率，
而可看作圓上任意一點，
所以的幾何意義為圓上一點與兩點的連線的斜率，
過點作圓的切線可求出的最大值和最小值，
由分析知，過點直線的斜率一定存在，設為，
，故圓心到直線的距離為：
，化簡可得：，解得：或，
所以，故.
故答案為：.
4．已知橢圓是橢圓上兩點，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設，，線段的中點為，利用點差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點在橢圓內部可求出結果
【詳解】設，，線段的中點為 .
若，即，則，滿足題意；
若，即，則不滿足題意，應舍去；
當時，有，作差得：
因為，，所以，
因為，所以 ，
設線段的垂直平分線為，則，得 ：，
令，得，又因為點在橢圓內部，則，則，
故 .
故答案為：.
5．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，點A關于x軸，y軸，原點的對稱點分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由條件求的關系，再求四邊形的面積，由此可得的表達式，再結合基本不等式求的取值范圍.
【詳解】點在橢圓上，
所以上，
解得，所以，
又因為四邊形為正方形，
所以，
故，
由于，所以，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上異于左、右頂點的一點，外接圓的圓心為M，O為坐標原點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加法法則和向量垂直的表示，結合均值不等式代入即可.
【詳解】，
取線段的中點，則，
所以，
同理，
所以，
當且僅當時，等號成立，
即的最小值為.
故答案為：.
7．橢圓的左?右焦點分別為，離心率為為橢圓的左頂點，且，過原點的直線交橢圓于兩點，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知先求出的值，記，得到，記，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值得解.
【詳解】解：由題可知，即，
又
由題可知，，
記，則，
記，
則在上恒成立，
在上恒成立，
故在上單調遞減，在上單調遞增，又，
.
故答案為：
8．已知為函數(shù)圖象上第一象限內的一個動點，為坐標原點，則四邊形的面積最大值為 .
【答案】
【分析】利用三角代換可得，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質即得.
【詳解】由可得，
易得在橢圓的第一象限內動點，
可設，,又，
則
，其中，
當時，，
即四邊形的面積最大值為.
故答案為：.
9．過橢圓左焦點F的直線與橢圓C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點M，N，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設，，中點，，利用點差法及兩點的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據(jù)，可得，最后根據(jù)計算可得；
【詳解】解：設，，中點，，
由與相減得，
所以，
又，所以，所以，即，
因為，所以，所以，
又，所以，所以，所以，
又，所以，即．
故答案為：
10．如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點、為橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】作點關于原點的對稱點，連接、、，分析可知且、、三點共線，故，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得的取值范圍，即可得解.
【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、，易知點、，
由橢圓的對稱性可知點也在橢圓上，
因為為、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，且，
因為，故、、三點共線，則，
所以，.
因為點、為橢圓上位于軸上方的兩點，則直線不與軸重合，
設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立可得，
則，
由韋達定理可得，，
所以，，
所以，.
故答案為：.
易錯點四：意義不明導致定點問題錯誤（有關直線與圓錐曲線的定點與定值問題）
1、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．
②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．
④參數(shù)無關消參：當與參數(shù)相關的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關系，比如：
，只要因式，就和參數(shù)沒什么關系了，或者說參數(shù)不起作用．
2、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．
②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．
③參數(shù)無關找定點：找到和沒有關系的點．
易錯提醒：直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標適合這條直線的方程，問題就歸結為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解．解決定點與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．
例．橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.
【詳解】（1）解：因為橢圓的離心率，
所以 ，即，又因為橢圓過點，所以，
又因為，所以，所以橢圓的方程為；
（2）如圖所示：

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立求得，
又，所以，
所以；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由，消去y得：，
，
由韋達定理得，
所以，
，
.
變式1．已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)經過點和的圓與直線：交于，，已知點，且、分別與交于、.試探究直線是否經過定點.如果有，請求出定點；如果沒有，請說明理由.
【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，
∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，
設橢圓方程，則，，∴，.
所以點的軌跡方程為：.
（2）設直線的方程為：，
由，得
設，，則，.
所以，，
因為直線的方程為：，令，得，
所以，，同理可得，
以為直徑的圓的方程為：，
即，
因為圓過點，所以，，
得，代入得，
化簡得，，解得或（舍去），
所以直線經過定點，
當直線的斜率為0時，此時直線與軸重合，直線經過點，
綜上所述，直線經過定點.
變式2．在平面直角坐標系中，已知定點 ，定直線，動點在上的射影為，且滿足.
(1)記點的運動軌跡為，求的方程；
(2)過點作斜率不為0 的直線與交于 兩點，與軸的交點為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.
【詳解】（1）設，則，因為，
所以，化簡得，，
即的方程為.
（2）由題意知，
設過點作斜率不為0的直線為，，，
聯(lián)立可得，，
則，，
又，，
則
，
所以得證.

變式3．已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
【詳解】（1）由題知，又橢圓經過，代入可得，解得，故橢圓的方程為：
（2）
由題意知，當軸時，不符合題意，故的斜率存在，設的方程為，
聯(lián)立消去得，
則，
即
設 ，，，
的方程為，令得，
的方程為，令得，
由是中點，得，即，
即，
即，
即，所以 ，
得或，
當，此時由，得，符合題意；
當，此時直線經過點，與題意不符，舍去.
所以的方程為，即，所以過定點.
1．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若O為坐標原點，過點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，橢圓C上是否存在點Q，使得直線與直線分別交于點A，B，且點A，B關于x軸對稱？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點Q的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)的關系得出.將點代入橢圓方程，即可解出，進而得出；
（2）當直線l的斜率不為0時，設，，，設直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出坐標關系，求出坐標.根據(jù)已知列出方程，整理推得，.代入橢圓方程求出點坐標；檢驗當直線l的斜率為0時，滿足對稱關系，即可得出答案.
【詳解】（1）因為橢圓C的離心率為，
所以，.
又，所以.
將代入橢圓方程，得，
所以，，
所以橢圓C的標準方程為．
（2）
當直線l的斜率不為0時，
設直線l：，聯(lián)立得，
整理得．
則，解得或.
設，，，
由韋達定理可得，，
則直線MQ：，
令，得，所以.
同理得．
由點A，B關于x軸對稱得，
即，
整理可得，.
易知點不在上，所以，
所以，，
所以，有，
整理得.
由n的任意性知，
將坐標代入代入橢圓方程有，解得，
所以點Q的坐標為或．
當直線l的斜率為0時，不妨令，，，
此時直線MQ：，
令，得，所以，
同理得，顯然點A，B關于x軸對稱，滿足.
綜上，存在滿足題意的點Q，且點Q的坐標為或．
【點睛】方法點睛：解決與圓錐曲線有關的頂點問題時，設出直線方程，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)韋達定理表示出坐標關系.分析已知條件，得出等量關系，整理化簡即可得出結論.
2．已知橢圓的離心率為，且過點.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)已知過右焦點的直線與交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由離心率與定點代入橢圓方程，建立方程組待定系數(shù)即可；
（2）由條件轉化為，設直線的方程為，將斜率坐標化，利用韋達定理代入，得到的等式，不論如何變化，等式恒成立求值即可.
【詳解】（1）因為，所以.
所以橢圓的方程為.
因為點在橢圓上，所以，解得，
所以.
所以橢圓的標準方程為.
（2）存在定點，使.理由如下：
由（1）知，，則點.
設在軸上存在定點，使成立.
當直線斜率為時，直線右焦點的直線即軸與交于長軸兩端點，
若，則，或.
當直線斜率不為時，設直線的方程為，.
由消去并整理，得，
則.
因為，所以，
所以，即.
所以，
即，
恒成立，
即對，恒成立，則，即.
又點滿足條件.
綜上所述，故存在定點，使.

3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)圓的切線交橢圓于，兩點，切點為，求證：是定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由離心率為可以先得到，然后結合其余已知條件即可得解.
（2）分直線的斜率是否存在進行討論，當直線斜率不存在時，算出，當直線斜率存在時，設直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理結合直線與圓相切于點，從而即可得解.
【詳解】（1）如圖所示：

因為橢圓的離心率為，所以，所以，
則橢圓的方程為．
將代入橢圓方程，得，
則，所以．
所以橢圓的標準方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為．
將代入橢圓的方程，得，
所以，則．
如圖所示：

當直線的斜率存在時，設直線的方程為．
將與聯(lián)立，消去并整理，得．
由，得．
設，，，
則，，，
則．
由直線與圓相切，可得，即．
由，得．
結合，得．
又，兩邊平方并整理，
得，所以．
所以
．
綜上，，即是定值．
4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.
(1)說明是什么曲線，并求的方程；
(2)設是上關于軸對稱的不同兩點，點在上，且異于兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值?若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】(1)
(2)為定值，這個值為
【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；
（2）依題意設出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點坐標，，即可得出的表達式，再進行化簡即可知.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知圓可化為，
所以可知圓心，半徑，
易知和兩點關于原點對稱，且，
所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，
即，可得；
因此曲線的方程為.
（2）不妨設，，且，；
則易知；
易知直線的斜率都存在，如下圖所示：
所以直線的斜率為，其方程為，
可得直線交軸于點
直線的斜率為，其方程為，
可得直線交軸于點
所以，
可得；
由，可得，，；
所以；
因此為定值，.
5．已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質即可求解；
（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及向量的坐標運算即可求解.
【詳解】（1）設橢圓的方程為，則
由橢圓的定義及的周長為6，知①，
由于為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，得到軸距離最大為，
因為的面積的最大值為，
所以②，
又③，
聯(lián)立①②③，得，
所以橢圓的方程為.
（2）為定值，理由如下：
根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,

設，則，
因為在橢圓內部，則直線與橢圓一定有兩交點，
聯(lián)立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以為定值.
6．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經過點，
(1)求橢圓的方程；
(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)長軸和短軸長度關系，將點代入解方程組即可求得橢圓的方程；
（2）設出直線方程并于橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及直線的斜率為零即可化簡整理計算得出直線的斜率為定值.
【詳解】（1）設橢圓的方程為
根據(jù)題意得，解得
故所求橢圓方程為
（2）如下圖所示：

設直線交該橢圓與兩點．
將代入
得
所以
由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，
可得，
即
整理得
，
即
即，
所以當時，不論為何值時都成立，
所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時直線的斜率為定值
7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）先根據(jù)直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．
（2）先假設存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量，的數(shù)量積為0，得到關于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．
【詳解】（1）由得
直線是拋物線的一條切線．所以
，所以橢圓
（2）
當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為
當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為
所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．
證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點
當直線與軸不垂直時，可設直線為：
由得，設，則
則
所以，即以為直徑的圓過點
所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）設橢圓的半焦距為，再分圓在橢圓的內部和外部兩種情況分別求解即可；
（2）由題意橢圓的方程為，再設，得出切線的方程，將代入可得的坐標都滿足方程即可得定點.
【詳解】（1）設橢圓的半焦距為．當圓在橢圓的內部時，，橢圓的方程為．
當圓在橢圓的外部時，，
橢圓的方程為．
（2）證明：設．
因為橢圓的短軸長小于4，所以的方程為．
則由已知可得，切線的方程為的方程為，
將代入的方程整理可得，
．
顯然的坐標都滿足方程，
故直線的方程為，
令，可得，即直線過定點．
9．已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設P為橢圓上第一象限內任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和可解得，可寫出橢圓的方程；
（2）設分別求出直線，的方程并解出的坐標，可得四邊形的面積.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，
又，即可得，結合，
解得；
即橢圓的方程為.
（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：

設，且；
易知直線的斜率，所以的直線方程為；
同理直線的斜率，所以的直線方程為；
由題意解得；
所以可得，
四邊形的面積
又，可得，
故，
即四邊形的面積為定值.
10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實數(shù)和的值；
(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線與直線相交于點．且點在橢圓上，證明直線恒過定點．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用表示出橢圓的焦距和離心率，由此可構造方程組求得結果；
（2）利用中點坐標公式可表示出坐標，將代入橢圓方程可整理得到，同理得到，由此可得直線方程，進而得到定點坐標.
【詳解】（1）由橢圓方程可得其焦距為，離心率為；
由橢圓可得其焦距為，離心率為；
由題意知：，解得：（舍）或，
，.
（2）設，，，則，
，，分別為的中點，
，，，
，
，，，即，
同理可得：，直線的方程為，
直線恒過定點.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的直線過定點問題的求解，解題關鍵是能夠利用中點坐標公式表示出坐標，利用點在橢圓上可構造方程組整理得到所滿足的直線方程，根據(jù)直線方程可確定定點坐標.

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