易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略了二項(xiàng)式中的負(fù)號(hào)而致錯(cuò)（（a-b）n化解問題）
Ⅰ：二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，
這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．
式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，
Ⅱ：二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：
①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；
②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；
③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；
④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．
Ⅲ：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：
①（）
②
Ⅳ：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：
公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．
易錯(cuò)提醒：在二項(xiàng)式定理的問題要注意的系數(shù)為，在展開求解時(shí)不要忽略.
例、已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則（ ）
A． B． C．6 D．
錯(cuò)解：，令，可得，∴．
錯(cuò)因分析：二項(xiàng)式中的項(xiàng)為，，錯(cuò)解中誤認(rèn)為是，，忽略了負(fù)號(hào)而出現(xiàn)了錯(cuò)解．
正解：D ，令，可得，∴．
變式1：在的展開式中，的系數(shù)是 ．
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（其中且），
令，解得，所以，
所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：
變式2：展開式的常數(shù)項(xiàng)為 .
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：15.
變式3：的展開式中的系數(shù)為 .
【詳解】設(shè)展開式中的第項(xiàng)含有項(xiàng)，即，
令，解得，
即，所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
1．的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（ ）
A．560B．35C．-35D．-560
【答案】D
【分析】中利用二項(xiàng)式定理可求得的系數(shù)，從而求解.
【詳解】由題意知的展開式為，
令，得，所以的系數(shù)為，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
2．若的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根據(jù)的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，從而寫出的展開式的通項(xiàng)公式，再令x的指數(shù)為0，即可求解常數(shù)項(xiàng)．
【詳解】由的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，得，所以，
則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為（且），
令，解得，
所以，故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為28，
故選：C．
3．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55B．C．65D．
【答案】D
【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】含的項(xiàng)為，
所以展開式中的系數(shù)為．
故選：
4．若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)（非零），則正整數(shù)的可能值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式建立方程，求解即可.
【詳解】由二項(xiàng)式定理知，
，
因?yàn)槠浜谐?shù)項(xiàng)，即存在，使得
此時(shí)，所以時(shí)，，
故選：C.
5．的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】利用二項(xiàng)式的展開式公式展開，再與前面的項(xiàng)相乘求解即可.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，
所以．
令，解得，
．令，解得．
由題意，可知，
所以．
故選：D．
6．在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．21C．189D．
【答案】B
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得解.
【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得，令得，
所以的系數(shù)為.
故選：B.
7．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】960
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，故令，
可得的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：.
故答案為：960.
8．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則 .
【答案】2
【分析】寫出二項(xiàng)式通項(xiàng)，整理后讓x的次數(shù)為0，得出r的值，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值列出等式方程即可得出a的值．
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，
令，得，
所以常數(shù)項(xiàng)是，故．
故答案為：2．
9．在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】24
【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出指定項(xiàng)的系數(shù)即得.
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，
由，得，則，所以x的系數(shù)為24.
故答案為：24.
10．的展開式中，按的升冪排列的第3項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)已知得出按的升冪排列的第3項(xiàng)即含的項(xiàng).結(jié)合二項(xiàng)式定理，分類討論求解，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、兩次項(xiàng)，
所以，按的升冪排列的第3項(xiàng)即含的項(xiàng).
展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為；
展開式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為；
展開式中含的項(xiàng)為，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
所以，的展開式中，含的項(xiàng)為.
故答案為：3.
11．在的展開式中的的系數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可令求得的系數(shù).
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得：，所以的系數(shù)為.
故答案為：.
12．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定的條件，利用二項(xiàng)式定理求解作答.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為．
令，得，故常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：.
13．的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135，則 ．
【答案】6
【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式；再令，列出等式求解即可.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，
則第三項(xiàng)的系數(shù)為，即，解得（舍去）或．
故答案為：6.
易錯(cuò)點(diǎn)二：三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化不合理導(dǎo)致計(jì)算麻煩失誤（三項(xiàng)展開式的問題）
求三項(xiàng)展開式式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法
第一步：通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解
第二步：兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解
第三步：由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量
易錯(cuò)提醒：對(duì)于三項(xiàng)式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再展開的辦法進(jìn)行求解，但在轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的時(shí)候，又有不同的處理策略：一是如果三項(xiàng)式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進(jìn)行因式分解，則可通過對(duì)分解出來的兩個(gè)二項(xiàng)展開式分別進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平方的形式，也不能進(jìn)行因式分解時(shí)，可直接將三項(xiàng)式加括號(hào)變?yōu)槎?xiàng)式，套用通項(xiàng)公式展開后對(duì)其中的二項(xiàng)式再利用通項(xiàng)展開并進(jìn)行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進(jìn)行合理的變形，以利于求解.
例、的展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．120 B．240 C．320 D．480
易錯(cuò)分析：本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是盲目套用解決三項(xiàng)式展開的一般方法（轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式處理：），而不針對(duì)要求解的問題進(jìn)行合理的變通，導(dǎo)致運(yùn)算繁雜并出現(xiàn)錯(cuò)誤．
正解：解法一 由于，
展開式的通項(xiàng)為，0≤r≤5，
當(dāng)且僅當(dāng)r＝1時(shí)，展開式才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)．
所以展開式中x的一次項(xiàng)為，
它的系數(shù)為．故選B．
解法二 由于，
所以展開式中x的一次項(xiàng)為
．故x的一次項(xiàng)的系數(shù)為240．故選B．
變式1：在的展開式中，含的系數(shù)為 .
【詳解】把的展開式看成是5個(gè)因式的乘積形式，
展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)可以按如下步驟得到：
第一步，從5個(gè)因式中任選2個(gè)因式，這2個(gè)因式取，有種取法；
第二步，從剩余的3個(gè)因式中任選2個(gè)因式，都取，有種取法；
第三步，把剩余的1個(gè)因式中取，有種取法；
根據(jù)分步相乘原理，得；含項(xiàng)的系數(shù)是
故答案為：.
變式2：展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【詳解】由于表示5個(gè)因式的乘積，
故其中有2個(gè)因式取，2個(gè)因式取，剩余的一個(gè)因式取，可得含的項(xiàng)，
故展開式中的系數(shù)為，
故答案為：．
變式3：在的展開式中，形如的所有項(xiàng)系數(shù)之和是 ．
【詳解】展開式的通項(xiàng)為．
令，得．令，
得所求系數(shù)之和為．故答案為：320
1．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．588B．589C．798D．799
【答案】B
【分析】因?yàn)檎归_式中的項(xiàng)可以看作8個(gè)含有三個(gè)單項(xiàng)式各取一個(gè)相乘而得，分析組合可能，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)檎归_式中的項(xiàng)可以看作8個(gè)含有三個(gè)單項(xiàng)式中各取一個(gè)相乘而得，
若得到常數(shù)項(xiàng)，則有：①8個(gè)1；②2個(gè)，1個(gè)，5個(gè)1；③4個(gè)，2個(gè)，2個(gè)1；
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：B.
2．在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，的項(xiàng)為，化簡(jiǎn)后即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，的項(xiàng)為，
所以的系數(shù)是.
故選：D．
3．的展開式中的系數(shù)為12，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個(gè)因式中選取5個(gè)因式提供，
余下一個(gè)因式中提供或者6個(gè)因式中選取4個(gè)因式提供，余下兩個(gè)因式中均提供，
故的系數(shù)為，
∴，
∴，
故選：C
4．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．60C．D．120
【答案】A
【分析】先把看作整體寫出二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，再根據(jù)指定項(xiàng)確定的次數(shù)，再寫一次二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，最后根據(jù)指定項(xiàng)配湊出項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)才能出現(xiàn)，此時(shí)展開的通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)出現(xiàn)的一次，所以展開式中的系數(shù)為．
故選：A.
5．設(shè)，已知的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到和，再根據(jù)項(xiàng)的取法為1個(gè)和1個(gè)再計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以展開式一共有項(xiàng)，即，
令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，所以，
中項(xiàng)的取法為1個(gè)和1個(gè)，
所以系數(shù)為.
故選：C
6．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80B．60C．D．
【答案】D
【分析】由題得，再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】，則其展開式通項(xiàng)為，
令，則的展開式中含的項(xiàng)為
，
所以的系數(shù)為，
故選：D．
7．已知展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．270B．C．330D．
【答案】D
【分析】令，得，得. 再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】令，則，得.
所以，
又因?yàn)橹挥校归_式中有含的項(xiàng)，
所以的系數(shù)為.
故選：D
8．的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則中的系數(shù)為（ ）
A．1B．4或1C．4或0D．6或0
【答案】C
【分析】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可以得到的值，然后再賦值法求出所有項(xiàng)的系數(shù)和的表達(dá)式可解出a的值，再分類求出中的系數(shù)即可得出答案.
【詳解】展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以總共有9項(xiàng)，
令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，或
當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為：，
當(dāng)時(shí)，展開式中不含項(xiàng).
故選：C.
9．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】80
【分析】只需6個(gè)因式中3個(gè)因式取、3個(gè)因式取或2個(gè)因式取、1個(gè)因式取、3個(gè)因式取1，根據(jù)組合知識(shí)得到答案.
【詳解】可以看成6個(gè)因式相乘，
所以的展開式中含的項(xiàng)為3個(gè)因式取、3個(gè)因式取
或2個(gè)因式取、1個(gè)因式取、3個(gè)因式取1，
所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．
故答案為：80
10．展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】由二項(xiàng)式定理求解．
【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，
∵的指數(shù)是2，得到，∴項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：
11．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式相乘展開方法求解.
【詳解】的展開式中，構(gòu)成項(xiàng)只能是一個(gè)、一個(gè)、3個(gè)相乘，
故此項(xiàng)為．
故答案為：.
12．在的展開式中，的系數(shù)為 .
【答案】66
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，求得答案.
【詳解】由題意，表示12個(gè)因式的乘積，
故當(dāng)2個(gè)因式取x，其余10個(gè)因式取1時(shí)，可得展開式中含的項(xiàng)，
故的系數(shù)為.
故答案為：66.
13．的展開式中，的系數(shù)為10，則 .
【答案】
【分析】化,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中的系數(shù),列方程求出的值.
【詳解】
其展開式的通項(xiàng)公式為，
令得
因?yàn)榈南禂?shù)為10，則，解得，
故答案為：.
14．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字做答）
【答案】49
【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】
展開式中得到常數(shù)項(xiàng)的方法分類如下：
（1）4個(gè)因式中都不取，則不取，全取，相乘得到常數(shù)項(xiàng).
常數(shù)項(xiàng)為；
（2）4個(gè)因式中有1個(gè)取，則再取1個(gè)，其余因式取，相乘得到常數(shù)項(xiàng).
常數(shù)項(xiàng)為；
（3）4個(gè)因式中有2個(gè)取，則再取2個(gè)，相乘得到常數(shù)項(xiàng).
常數(shù)項(xiàng)為.
合并同類項(xiàng)，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
15．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】-160
【分析】變形為，寫出通項(xiàng)公式，求出，得到答案.
【詳解】變形為，
故通項(xiàng)公式得，
其中的通項(xiàng)公式為，
故通項(xiàng)公式為，其中，，
令，解得，
故.
故答案為：-160
16．的展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】92
【分析】由于，根據(jù)二項(xiàng)式定理分別求得和的展開式的通項(xiàng)，從而分析可得的系數(shù).
【詳解】，
又展開式的通項(xiàng)，
展開式的通項(xiàng)，
所以含的項(xiàng)為
則含的系數(shù)為.
故答案為：.
17．的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【答案】
【分析】，然后兩次利用通項(xiàng)公式求解即可；
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)其展開式的通項(xiàng)公式為：，
令，
得的通項(xiàng)公式為，
令，
所以的展開式中，的系數(shù)為，
故答案為：
易錯(cuò)點(diǎn)三：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)致誤（系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)問題）
Ⅰ：二項(xiàng)式展開式中的最值問題
1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．
2.系數(shù)的最大項(xiàng)
求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
Ⅱ：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
（1）設(shè)，
二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
（2）若，則
①常數(shù)項(xiàng)：令，得．
②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
易錯(cuò)提醒：二項(xiàng)式定理的問題要注意：項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（求所有項(xiàng)的系數(shù)只要令字母值為1）.
例、設(shè)的展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)為36，試求含的項(xiàng)．
錯(cuò)解：第三項(xiàng)的系數(shù)為，依題意得，化簡(jiǎn)得，解此方程并舍去不合題意的負(fù)值，得n＝9，設(shè)的展開式中項(xiàng)為第r＋1項(xiàng)，則，由9－r＝2，得r＝7，故的展開式中含的項(xiàng)為．
錯(cuò)因分析：錯(cuò)解將“二項(xiàng)展開式中的第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”當(dāng)作了“第三項(xiàng)的系數(shù)”，解答顯然是錯(cuò)誤的．
正解：的展開式的第三項(xiàng)為，∴，即，解此方程并舍去不合題意的負(fù)值，得n＝4，設(shè)的展開式中項(xiàng)為第r＋1項(xiàng)，則，由4－r＝2，得r＝2，即的展開式中項(xiàng)為．
變式1：求的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)．
【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，
第三項(xiàng)為：，
所以第三項(xiàng)系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．
變式2：計(jì)算的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)．
【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為，
所以的展開式中第5項(xiàng)是，
故所求第5項(xiàng)的系數(shù)是，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是．
變式3：求的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值和對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以展開式中的第項(xiàng)為．
要得到常數(shù)項(xiàng)，必須有，從而有，
因此常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)，且．
從而可知常數(shù)項(xiàng)的值為160，其對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．
1．在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng)B．第4項(xiàng)
C．第5項(xiàng)D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
【答案】B
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).
故選：B.
2．已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，即可求出的值.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
則二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，即，解得.
故選：A.
3．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)是B．各項(xiàng)系數(shù)和為
C．第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32
【答案】BD
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為
當(dāng)時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，故B正確；
由于，則二項(xiàng)式系數(shù)最大為為展開式的第4項(xiàng)，故C不正確；
奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確.
故選：BD.
4．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B．第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為D．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1
【答案】ACD
【分析】由系數(shù)和二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可判斷A，B，C；由賦值可判斷D.
【詳解】通項(xiàng)公式為，，
其二項(xiàng)式系數(shù)為，二項(xiàng)式的展開式共項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
故第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是最大的，故A正確；
二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以C正確；
令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，故D正確；
因?yàn)檎归_式中第六項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以第六項(xiàng)的系數(shù)不可能為最大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：ACD.
5．已知2，n，8成等差數(shù)列，則在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1
C．常數(shù)項(xiàng)為40D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x
【答案】ABD
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得.對(duì)于A：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論直接運(yùn)算求解；對(duì)于B：利用賦值法運(yùn)算求解；對(duì)于C、D：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，則，
對(duì)于選項(xiàng)A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：
，
所以，
展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x，故D正確；
故選：ABD.
6．下列關(guān)于的展開式的說法中正確的是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)為－160
B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大
C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
【答案】ACD
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為.
對(duì)于A，令，解得，∴常數(shù)項(xiàng)為，A正確；
對(duì)于B，由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0，2，4，6，
∴，，，，
∴展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，展開式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；
對(duì)于D，令x＝1，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D正確.
故選：ACD.
7．若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】56
【分析】通過二項(xiàng)式系數(shù)和求出，然后求出展開式的通項(xiàng)公式，最后求出指定項(xiàng)的系數(shù)即可.
【詳解】由的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，得，所以，
則的展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，故的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：56
8．已知常數(shù)，在的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15，設(shè)，則 ．
【答案】-31
【分析】先求出，再由二項(xiàng)式的展開式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：的展開式為：，
令，得，
則，因?yàn)?，所以?br>則的展開式為：，
得，，
則，
故答案為：-31.
9．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為 ．
【答案】729/
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，進(jìn)而設(shè)出各項(xiàng)的系數(shù)，然后采用賦值法即可求得答案.
【詳解】由題意的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
即，
設(shè)的各項(xiàng)的系數(shù)為，
則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為，
即為中各項(xiàng)的系數(shù)的和，
令，，
即各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為，
故答案為：729
10．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）.
【答案】60
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求得正確答案.
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
由題意令，解得，
所以二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：60.
11．已知的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則 .
【答案】14或23
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義列出等式，解方程即可求得或.
【詳解】由題意可得成等差數(shù)列，則，
即，
即，即，
解得或.
故答案為：14或23
12．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】先對(duì)第一個(gè)括號(hào)中選取單項(xiàng)式進(jìn)行分類，然后再在每一類中分步，結(jié)合計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)即可求解.
【詳解】要得到的展開式中含有的項(xiàng)，分以下兩種情形：
情形一：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取3個(gè)“”和1個(gè)“”，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為；
情形二：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取2個(gè)“”和2個(gè)“”，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為.
綜上所述：由分類加法計(jì)數(shù)原理可知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：.
13．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得到，再計(jì)算第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即可.
【詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故，
展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.
故答案為：.
14．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 .
【答案】
【分析】先求得的值，然后根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為
，
令，解得，
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.
故答案為：
15．已知，若展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1024，則的值為 ．
【答案】17010
【分析】由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出值，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出值．
【詳解】，
展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，，
故展開式的通項(xiàng)公式為．
則令，可得．
故答案為：17010．
16．已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和是64，則展開式中x的系數(shù)為 ．
【答案】60
【分析】手續(xù)愛你根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得到答案.
【詳解】由題意得，解得，
則的二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，
令，解得，則x的系數(shù)為，
故答案為：60.
17．已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
根據(jù)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項(xiàng)，
所以為偶數(shù)且，可得.
故答案為：.
18．已知的展開式中第7項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
【答案】答案見解析
【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)相等可得的值，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用不等式法可求得系數(shù)最大的項(xiàng)，從而得解.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，
則，解得，
所以的展開式共有項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第7和第8項(xiàng)，
又的展開通項(xiàng)公式為，
則，；
而第項(xiàng)的系數(shù)是，不妨設(shè)第項(xiàng)為系數(shù)最大的項(xiàng)，
則，即，
即，即，解得，則，
即第10項(xiàng)的系數(shù)最大，；
綜上，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為與.
易錯(cuò)點(diǎn)四：混淆虛部定義致錯(cuò)（求復(fù)數(shù)虛部）
Ⅰ：復(fù)數(shù)的概念
= 1 \* GB3 ①復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別是它的實(shí)部和虛部，叫虛數(shù)單位，滿足
（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi為實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi為虛數(shù)；
（3）當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，a＋bi為純虛數(shù)．其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計(jì)算公式
Ⅱ：復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
易錯(cuò)提醒：1、求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b.2、復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq \x\t(z)；③z∈R?z2≥0 3、復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是純虛數(shù)?z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2＜0
例、復(fù)數(shù)虛部是（ ）
A. B. C. D.
錯(cuò)解】D
【錯(cuò)因分析】誤認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部為bi.
【正解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.
故選：D.
變式1：已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【詳解】因?yàn)椋?br>即，
所以的共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為.
故選：C.
變式2：已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：A.
變式3：已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為 ， ．
【詳解】由題意，
所以復(fù)數(shù)z的虛部為1，.
故答案為：1，.
1．的虛部為（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法和乘法運(yùn)算以及虛部的概念即可得到答案.
【詳解】，則其虛部為，
故選：B.
2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】C
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)實(shí)部與虛部互為相反數(shù)列方程求的值.
【詳解】由，由其實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，
即，則，.
故選：C
3．已知 ， 則的虛部是（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，求得，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以的虛部為2，
故選：A.
4．的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：C.
5．若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，即可確定虛部.
【詳解】.
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：C.
6．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．－2B．－1C．6D．2
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算出，從而求出虛部.
【詳解】，虛部為2，
故選：D．
7．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．iB．1C．D．
【答案】D
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算解求解.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，
又，可得，解得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D.
8．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知條件先得到，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
所以
所以虛部為.
故選：C
9．若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及加減運(yùn)算法則即可得復(fù)數(shù)z的虛部為.
【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，則，，
所以由可得，所以,解得，
即復(fù)數(shù)z的虛部為.
故選：B
10．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過復(fù)數(shù)的模及除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義及虛部的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，所以的虛部是.
故選：D
11．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)后代入已知條件解方程即可
【詳解】設(shè)，則，所以，
則解得即，所以的虛部為．
故選：C
12．已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算計(jì)算可得，再由虛部定義可得結(jié)果.
【詳解】由可得，
所以可得z的虛部為.
故選：B
13．已知，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后，根據(jù)定義可得．
【詳解】，所以虛部為．
故選：C．
易錯(cuò)點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯(cuò)誤（復(fù)數(shù)有關(guān)模長的求算）
復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計(jì)算公式
易錯(cuò)提醒：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、平面向量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)復(fù)數(shù)差的?？梢岳斫鉃閮牲c(diǎn)之間的距離.
例、若，且，則最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【錯(cuò)解】設(shè)，因此有．
即又
因?yàn)?，所以最小值?.
【錯(cuò)因分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式令，得，而．此時(shí)會(huì)因不會(huì)確定a范圍導(dǎo)致出錯(cuò)；若用數(shù)形結(jié)合法．錯(cuò)在一般是看不出表示的幾何意義．
【正解】方法一：設(shè)，因此有．
即又
而即，∴當(dāng)時(shí)，取最小值3．
方法二：（利用數(shù)形結(jié)合法）
表示圓心在（-2，2），半徑為1的圓．而表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)（2，2）的距離，其最小值為3．
變式1：已知復(fù)數(shù)z滿足，為z的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為 .
【詳解】設(shè)，
則的幾何意義為z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離為，
所以z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
而可看作該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
所以.
故答案為：18.

變式2：已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 .
【詳解】設(shè)，
由的幾何意義知：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即，
的幾何意義為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
.
故答案為：.
變式3：已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 ．
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，
整理得，即，
因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，為原點(diǎn)，
所以.
故答案為：
1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用復(fù)數(shù)模的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以，則，
又，所以，即.
故選：C．
2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合條件得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，從而將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解.
【詳解】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得，即，
因此點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，圓心的坐標(biāo)為，半徑，
又，
于是可以看成是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然此點(diǎn)在圓外，
所以.
故選：D
3．若復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)，(且不同時(shí)為0)，根據(jù)條件化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值.
【詳解】設(shè)，(且不同時(shí)為0)，
由題意可知，得或，
當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），
此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
如圖，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，
如圖可知，的最小值是點(diǎn)與的距離.
故選：B
4．若復(fù)數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位），則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．+1
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)已知可得出.根據(jù)幾何意義，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)，則.
由已知可得，.
設(shè)，，
則.
所以，.
當(dāng)，即時(shí)，該式有最大值，
所以，，
所以，.
故選：C.
5．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求解．
【詳解】，∴，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，
表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間距離，
又，
所以的最小值是，
故選：B．
6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】復(fù)數(shù)滿足，
則，
∴，
故選：D
7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意得到，得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為為圓心半徑為的圓，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，可得，所以，
所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為為圓心半徑為的圓，
所以的最大值是．
故選：B.

8．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知點(diǎn)的軌跡為，則問題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，從而即可求解．
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，
所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，
所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，
又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以問題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，
當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，
所以的最小值為1，
故選：A．
9．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．的虛部為
B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
D．若復(fù)數(shù)滿足，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，對(duì)化簡(jiǎn)，選項(xiàng)ABC依次判斷即可；選項(xiàng)D，由復(fù)數(shù)的三角不等式可得.
【詳解】由，
得1，即，
選項(xiàng)A，的虛部為，故A正確；
選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤，
選項(xiàng)C，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，方法一：復(fù)數(shù)z滿足，且，
則由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可知，
，
故，
故，故D正確.

方法二：由，得，
則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，
如圖可知，，
則，
故選：AD.

10．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義及橢圓的定義可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后利用三角代換結(jié)合條件即可求解．
【詳解】設(shè)，由，得，
因此在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，
所以可設(shè)橢圓方程為，則，
所以橢圓方程為，
而表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，可設(shè)，
所以與點(diǎn)的距離，
所以當(dāng)時(shí)，，即的最大值是.
故答案為：
11．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最大值為 ．
【答案】7
【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，問題化為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】令且，又，
所以，即，
所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上，
又表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為5，
所以的最大值為.
故答案為：7
12．若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，結(jié)合橢圓性質(zhì)及的幾何意義確定最小值.
【詳解】設(shè)且，又，
所以，
即點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為，
所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，
由表示橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離，故其最小值為短半軸.
故答案為：
13．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，1為半徑的圓，然后再結(jié)合其幾何意義即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，∵，
∴，表示以為圓心，1為半徑的圓，
∴，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
∴的最小值為.
故答案為：.
14．已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是 ．
【答案】/
【分析】利用復(fù)數(shù)模長的幾何意義可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，根據(jù)幾何意義為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，結(jié)合圓的知識(shí)即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)，
由，得，則，
其幾何意義為：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
因?yàn)榈膸缀我饬x為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
所以.
故答案為：.
15．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】設(shè)，由，得，即，
因此在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
而表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，顯然圓心與點(diǎn)的距離，
所以的最大值是.
故答案為：8
16．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】由題意，由根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算可得.
【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，
由得，
所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
故答案為：
17．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為
【答案】/
【分析】設(shè)，代入中化簡(jiǎn)，由，得或，利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求的最小值。
【詳解】設(shè)，（不同時(shí)為0），
，
由題意可知，得或，
當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖，

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，如圖可知，
的最小值是點(diǎn)與的距離.
故答案為：.

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