本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。第 I 卷 (選擇題) 1 至 2 頁, 第 II 卷 (非選擇題) 3 至 4 頁, 共 4 頁, 滿分 150 分, 考試時間 120 分鐘。
注意事項:
1. 答題前, 務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。
2. 答選擇題時, 必須使用 2B 鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑, 如需改動, 用橡皮擦擦干凈后, 再選涂其它答案標號。
3. 答非選擇題時, 必須使用 0.5 毫米黑色簽字筆, 將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上,
4. 所有題目必須在答題卡上作答, 在試題卷上答題無效。
5. 考試結(jié)束后, 只將答題卡交回。
第 I 卷 (選擇題, 共 60 分)
一、選擇題: 本大題共 12 小題, 每小題 5 分, 共 60 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合 A={x∣x=2k+1,k∈Z},B={x∣x=4k+1,k∈Z} ,則
(A) A∩B=? (B) A∪B=Z (C) A?B (D) B?A
2. 若復數(shù) z 滿足 z+1i=?1?i ,則 z 在復平面內(nèi)對應的點位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3. 已知 a,b 是兩條不同的直線, α 是平面,若 a//α,b?α ,則 a,b 不可能
(A)平行 (B) 垂直 (C) 相交 (D) 異面
4. “數(shù)九”從每年“冬至”當天開始計算, 每九天為一個單位,冬至后的第 81 天, “數(shù)九”結(jié)束, 天氣就變得溫暖起來. 如圖, 以溫江國家基準氣候站為代表記錄了 2023 一 2024 年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫” (單位: ?°C ),下列說法正確的是
(A) “四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升
(B) “四九” 成都市“平均氣溫” 較“多年平均氣溫” 低 0.1 ” C
(C) “一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差
(D) “一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差
5. 設(shè) m∈R ,雙曲線 C 的方程為 x2m2?y2m+12=1 ,則“ C 的離心率為 5 ” 是“ m=1n 的
(A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件
(C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件
6. 如圖,由觀測數(shù)據(jù) xi,yii=1,2,3,4,5,6 的散點圖可知, y 與 x 的關(guān)系可以用模型 y=blnx+a 擬合,設(shè) z=lnx ,利用最小二乘法求得 y 關(guān)于 z 的回歸方程 y=bz+1 . 已知 x1x2x3x4x5x6=e12 ,i=14yi=18 ,則 b=
(A) 17e12 (B) 12e12 (C) 1 (D) 1712
7. 已知 sin2α1?cs2α=2 ,則 tanα=
(A) 12 (B) ?12 (C) 2 (D) -2
8. 已知直線 l1x?ay+1=0 與 ⊙C1x?a2+y?12=1 相交于 A,B 兩點,若 △ABC 是直角三角形,則實數(shù) a 的值為
(A) 1 或 -1 (B) 3 或 ?3 (C) ?17 或 -1 (D) ?17 或 ?3
9. 將函數(shù) fx=sinωx+φω>0 的圖象向左平移 π6 個單位后,與函數(shù) gx= csωx+φ 的圖象重合,則 ω 的最小值為
(A) 9 (B) 6 (C) 3 (D) 2
10. 已知函數(shù) fx=ex?ex?x?csx ,若實數(shù) x1,x2,x3 成等差數(shù)列,且 fx1+fx2 +fx3=0 ,則 x1+x2+x3=
(A) 0 (B) π2 (C) 3π2 (D) 3π
11. 已知正方形 ABCD 的邊長為 1,M,N 分別是邊 AB,AD 上的點 (均不與端點重合),記 △AMN,△CMN 的面積分別為 S1,S2 . 若 S1=CM?AB?CN?AD ,則 S2 的取值范圍是
(A) 14,34 (B) 2?1,34 (C) 14,12 (D) 2?1,12
12. 在棱長為 5 的正方體 ABCD?A1B1C1D1 中, Q 是 DD1 中點,點 P 在正方體的內(nèi)切球的球面上運動,且 CP⊥AQ ,則點 P 的軌跡長度為
(A) 5π (B) 25π (C) 5π4 (D) 5π
第 II 卷 (非選擇題, 共 90 分)
二、填空題: 本大題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分. 把答案填在答題卡上.
13. 已知函數(shù) fx=3x,x≥1,3?x,xb>0 的離心率為 32 ,過點 Pa,b 的直線 l 與橢圓 C 交 于 A,B 兩點,當 l 過坐標原點 O 時, AB=10 .
(I) 求橢圓 C 的方程;
(II) 線段 OP 上是否存在定點 Q ,使得直線 QA 與直線 QB 的斜率之積為定值. 若存在, 求出點 Q 的坐標; 若不存在,請說明理由.
請考生在第 22,23 題中任選擇一題作答, 如果多做, 則按所做的第一題記分. 作答時, 用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑.
22. (本小題滿分 10 分) 選修 4-4: 坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系 xOy 中,曲線 C 的參數(shù)方程為 x=mt2,y=mt ( t 為參數(shù)). 以坐標原點為 極點, x 軸非負半軸為極軸建立極坐標系,直線 l 的極坐標方程為 ρcsθ+π4?22=0 .
(I) 求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標方程;
(II) 若直線 l 與曲線 C 相交于 A,B 兩點,且 M6,2 為線段 AB 的三等分點,求實數(shù) m 的值.
23. (本小題滿分 10 分) 選修 4-5 : 不等式選講
已知函數(shù) fx=x?2m?mm0 ,
f'x=1+lnx?1x,
……1 分
注意到函數(shù) y=lnx 與 y=?1x 均在 0,+∞ 單調(diào)遞增,
∴f'x 在 0,+∞ 上單調(diào)遞增. ……3 分
由 f'1=0 ,得
x∈0,1,f'x0,t→+∞ 時, gt→+∞ ,且 g1=0 ,
故當 t0=1 時,函數(shù) gt 有且僅有一個零點,不合題意;
當 t0≠1 時, gtmin=gt00 ,
x1+x2=8k2k?14k2+1,x1x2=16k2?16k4k2+1.
??6 分
∴kQA=y1?mx1?2m,kQB=y2?mx2?2m.
∴kQA?kQB=y1?mx1?2m?y2?mx2?2m=kx1+1?2k?mx1?2m?kx2+1?2k?mx2?2m
=k2x1x2+1?m?2kkx1+x2+1?m?2k2x1x2?2mx1+x2+4m2
??8 分
=k2?16k2?16k4k2+1+1?m?2kk?8k2k?14k2+1+1?m?2k216k2?16k4k2+1?2m?8k2k?14k2+1+4m2
=k216k2?16k+1?m?2kk16k2?8k+1?m?2k24k2+116k2?16k?16mk2k?1+4m24k2+1
=4m2k2?41?mk+1?m2161?m2k2?161?mk+4m2.
??10 分
∴ 當 m2=1?m2 ,即 m=12 時, kQA?kQB=14 恒成立. ??11 分
∴ 存在定點 Q1,12 ,使得直線 QA 與直線 QB 的斜率之積為定值 14,… ……12 分
22. 解: (I) 由曲線 C 的參數(shù)方程 x=mt2,y=mt ( t 為參數(shù)),
消去參數(shù) t 可得曲線 C 的普通方程為 y2=mx . ……2分
由直線 l 的極坐標方程得: 22ρcsθ?ρsinθ?22=0 . ……3 分
∵x=ρcsθ,y=ρsinθ ,
∴ 直線 l 的直角坐標方程為 x?y?4=0 . ……5 分
(II) 直線 l 的參數(shù)方程為 x=6+22t,y=2+22t ( t 為參數(shù)). ……6 分
與曲線 C:y2=mx 聯(lián)立得: t2+42?2mt+8?12m=0,Δ>0 ,
設(shè) A,B 兩點對應的參數(shù)分別為 t1,t2 ,則 t1+t2=2m?42,t1t2=8?12m .
……7分
∵M 為線段 AB 的三等分點, ∴t1=?2t2 . ……8 分
代人 t1+t2=2m?42 可得 t1=22m?4,t2=?2m?4 .
代人 t1t2=8?12m ,可得 ?4m?42=8?12m .
即 m2?11m+18=0 ,解得 m=2 或 m=9 均滿足 Δ>0 .
故 m 的值為 2 或 9 . ……10 分
23. 解: (I) 當 x≥2m 時, x?3m≥2x ,解得 2m≤x≤?3m ; ??2 分
當 x

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