（總分：150分，時間：120分鐘 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1．滿足且的集合的個數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在中，“是鈍角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績的極差為31，乙的成績的平均值為24，則下列結論錯誤的是（ ）
A．B．
C．乙的成績的中位數為D．乙的成績的方差小于甲的成績的方差
4.用數學歸納法證明（）的過程中，從到時，比共增加了（ ）
A．1項B．項C．項D．項
5．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于直線對稱B．的周期為
C．是的一個對稱中心D．在區(qū)間上單調遞增
6．物理學家本·福特提出的定律：在b進制的大量隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為.應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤.若，則k的值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．已知函數的圖象在兩個不同點與處的切線相互平行，則的取值可以為（ ）
A．B．1C．2D．
8.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一，香囊內通常填充一些中草藥，有清香、驅蟲、開竅的功效.因地方習俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的由六個正三角形構成，將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個六面體中，棱AB與CD所在直線的位置關系為（ ）
A．平行B．相交C．異面且垂直D．異面且不垂直
9．甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率為（ ）
A．B．C．D．
10． 在平面直角坐標系中，點，向量，且.若點的軌跡與雙曲線的漸近線相交于兩點和（點在軸上方），雙曲線右焦點為，則（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，射線與圓，當射線從開始在平面上按逆時針方向繞著原點勻速旋轉（、分別為和上的點，轉動角度不超過）時，它被圓截得的線段長度為，則其導函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
12．若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 若復數（為虛數單位），則 .
14．已知a是1與2的等差中項， b是 1與16的等比中項，則ab等于 .
15.已知函數的定義域為，對于任意實數均滿足，若，，則 .
16.成都石室中學校園文創(chuàng)產品圓臺形紙杯如圖所示，其內部上口直徑?下口直徑?母線的長度依次等于、、，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當水面恰好到達杯底（水面恰好同時到達上口圓“最低處”和下口圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于 .
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17．（本小題滿分12分）如圖，在平面四邊形中，已知點C關于直線BD的對稱點在直線AD上，，．
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)設AC=3，求．
18．（本小題滿分12分）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數據統(tǒng)計如下圖所示.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機抽取3株，記高度在內的株數為，求 的分布列及數學期望；
(Ⅲ)以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多 1株高度低于的概率.
19．（本小題滿分12分）已知函數.
(Ⅰ)討論函數的單調性；
(Ⅱ)設，且是的極值點，證明：.
20．（本小題滿分12分）已知平面與平面是空間中距離為1的兩平行平面，，，且，和的夾角為.
(Ⅰ)證明：四面體的體積為定值；
(Ⅱ)已知異于、兩點的動點，且、、、、均在半徑為的球面上.當，與平面的夾角均為時，求.
21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點為頂點的四邊形面積為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)我們稱圓心在橢圓上運動且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.
選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）
22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的參數方程；
(Ⅱ)若將曲線上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標縮短為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．（本小題滿分10分）已知函數．
(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若、，，，證明：．成都石室中學2023-2024年度下期高2024屆三診模擬
數學試題（理）參考答案
（總分：150分，時間：120分鐘 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1.B【解析】由可得：，.又因為，
所以或.故選：B
2.C【解析】“”等價于“”，
所以
從而，顯然A，B，C不共線，原條件等價于是鈍角.故選：C．
3. C【解析】根據題意，依次分析選項：
對于A，甲得分的極差為31，，解得：，A正確；
對于B，乙的平均數為，解得，B正確；
對于C，乙的數據為：12、25、26、26、31，其中位數是26，C錯誤；
對于D，甲的平均數，與乙的平均數相同，但根據莖葉圖可得乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：C．
4.D【解析】因為，所以，共項，
則共項，所以比共增加了項，故選：D
5. B【解析】由函數，
由此可作出的函數圖象，如圖所示，
對于A中，由，
所以關于直線不對稱，所以A錯誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由函數圖象可知，不存在對稱中心，所以C錯誤；
對于D中，因為，，，
所以函數在上不是單調遞增函數，所以D錯誤.故選：B.
6. C【解析】，
而，故．故選：C．
7.D【解析】由，則，則，，
依題意可得且、、，所以，所以，
經驗證，當、分別取、時滿足題意.故選：D
8.B【解析】將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個三棱錐拼接的六面體，它們共一個底面，且兩點重合，所以與相交， 故選：B
9. C【解析】設甲船到達泊位的時間為，乙船到達泊位的時間為，則，
這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待，則，
畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分，，
則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率為.故選：C
10. D【解析】由于向量，且，則點的軌跡為，
與雙曲線其中一條漸行線，聯(lián)立，得，同理得，
因此.故選：D
11. C【詳解】由圓可得圓的極坐標方程為，
化簡得到，聯(lián)立方程組，
得到方程，
則，即，故選：C.
12.B【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，，，，
由知，并可轉化為，
設，根據可行域可知，，
設，（），
則，，
因為，所以恒成立，則單調遞增，且，
所以令，得，則在時單調遞減；令，得，則在時單調遞增，又，，，
所以，所以，解得，故選：B.
第Ⅱ卷（共90分）
填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 【解析】因為，所以.故答案為：.
14. 【解析】因為是的等差中項，所以，因為是，的等比中項，所以，，所以.故答案為：.
15. 【解析】令即可求出，
令即可求出，
，
結合，，，，可猜想.
下面用數學歸納法證明：
當時，由上述知成立.
假設當時有，
則當時，不妨設，
.
所以成立，所以.
故答案為：.
16. 【解析】由教材章頭圖知識知道，用平面截對接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對于本題，如圖，水面到達杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸.是圓臺的軸線，作于，則
，
，
記與的交點為的中點為，則，
，
，
，
由實際情形知，點在圓臺的過軸線的中點且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，，
記橢圓的離心率為，長半軸長?短半軸長?半焦距為，
則.故答案為：.
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17.(1) (2)
【解析】（1）因為C點關于直線BD的對稱點在直線AD上，
所以DB平分，所以，因為，所以，BC=CD，
所以‖，所以，
因為，，
所以，……3分
所以．……6分
（2）因為在中，由正弦定理得,
所以，，
所以，所以，……9分
在中，由余弦定理得，
．……12分
18.(1)；(2)分布列見解析，；(3)
【解析】（1）依題意可得，解得；……2分
（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數分別為2和3，所以可取0，1，2. ……4分
所以，，……6分
所以的分布列為：
所以……8分
(3)從所有花卉中隨機抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，
則，，……10分
所以.……12分
19. 【解析】（1）函數的定義域為，求導得，
當時，恒成立，在上單調遞減，……2分
當時，由，得，由，得，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，……5分
所以當時，函數在上單調遞減，
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增. ……6分
（2）函數的定義域為，求導得，
由是的極值點，得，即，……7分
，
而，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，
所以當時，取得極小值. ……8分
設，求導得，
當時，，當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因此，所以.……12分
20.（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）如圖，平移線段使得與重合，并將四面體補成一個斜三棱柱.
則該斜棱柱的底面積，高，所以該斜棱柱的體積為定值. …….2分
此斜棱柱恰好可以分為兩兩底面積相同，高相同的三個三棱錐.
于是這三個三棱錐的體積都相等，都是斜棱柱的.
所以四面體的體積為，是定值. …….5分
（2）設球心是，并設與平面，平面的距離分別是，.
由可知，在，的中垂面和，的中垂面的交線上.
設的中點是，的中點是.則由勾股定理得.
注意到，所以，，共線，
且平面. …….8分
因為，且，與平面的夾角均為，所以.
而、、、、均在球上，所以在以點為圓心、以為直徑的圓上(除去、兩點).所以.…….10分
于是，，所以.…….12分
21.【解析】（1）由題意，得且，又，
解得，所以橢圓的標準方程為. ……4分
（2）設切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.
由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標準方程為.
因為直線與“環(huán)繞圓”相切，則由點到直線的距離公式可得：，……6分
化簡得.
同理可得.
所以是方程的兩個不相等的實數根，
所以. ……8分
又因為“環(huán)繞圓”的圓心在橢圓上，所以代入橢圓方程中，
可得，解得.
所以.……10分
又因為且，所以或.
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范圍是.……12分
選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）
22. 【解析】（1）因為直線的參數方程為，曲線的極坐標方程為，
消去參數，直線的普通方程為， ……2分
曲線的普通方程為：，所以的參數方程為（為參數）. ……4分
（2）由（1）有：的參數方程為（為參數），
由題意知，曲線的參數方程為（為參數），……6分
所以可設點，又直線的普通方程為，
故點到直線的距離為：，……8分
所以當時，，即點到直線的距離的最小值為.……10分
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．【解析】（1）由得：，
當時，，解得；
當時，，解得；
當時，，解得；
綜上，不等式的解集為.……4分
（2）證明：，
因為，，即，，……6分
所以 ，
所以，即，所以原不等式成立. ……10分

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