一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若向量與向量是共線向量，則實數(shù)等于（ ）
A．2B．C．D．0
2．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．已知全集，集合，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．的展開式中，第5項為常數(shù)項，則正整數(shù)等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
5．三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四條棱中，棱長最大值為（ ）
A．B．C．D．2
6．已知，則（ ）
A．3B．C．或0D．3或0
7．已知圓，直線，則“”是“圓上任取一點，使的概率小于等于”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要
8．有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
附：．
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)
B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率
C．表中的值為15，的值為50
D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
9．若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．0
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為為雙曲線上一點，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為
C．若，則的面積為D．以為圓心，為半徑的圓與漸近線相切
12．設(shè)函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．
13．某班男女生的比例為，全班的平均身高為，若女生的平均身高為，則男生的平均身高為______．
14．拋物線的焦點為，過的直線與拋物線相交于兩點（在第一象限），分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，若，則直線的傾斜角等于______．
15．在中，角所對的邊分別為，若，則______．
16．在三棱柱中，平面是矩形內(nèi)一動點，滿足，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為______．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
某保險公司為了給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽取100名進(jìn)行分析，這100個樣本按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表格所示．（保費：元）據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為該項保險支出的各種費用為一百萬元．
（Ⅰ）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，為使公司不虧本，則保費至少為多少元？（精確到整數(shù)）
（Ⅱ）隨著年齡的增加，該疾病患病的概率越來越大，經(jīng)調(diào)查，年齡在的老人中每15人就有1人患該項疾病，年齡在的老人中每10人就有1人患該項疾病，現(xiàn)分別從年齡在和的老人中各隨機選取1人，記表示選取的這2人中患該疾病的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．
18．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項和為．
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項公式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，平面是棱的中點，在棱上，且．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若四棱錐的體積等于1，求二面角的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點，直線與橢圓相交于不同于點的，兩點，為線段的中點，當(dāng)直線斜率為時，直線的傾斜角等于．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線分別與直線相交于兩點．線段的中點為，若的縱坐標(biāo)為定值，判斷直線是否過定點，若是，求出該定點，若不是，說明理由．
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，證明：；
（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍．
請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線相交于兩點．
（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點是直線上一點，滿足，求點的直角坐標(biāo)．
23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
甲班
10
乙班
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
年齡
保費
成都七中高2024屆三診模擬考試數(shù)學(xué)試題（理科參考答案）
一、選擇題：
CBBCADCDABDA
二、填空題：
13．174 14． 15． 16．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．解：（Ⅰ），解得
保險公司每年收取的保費為：
所以要使公司不虧本，則，即，
解得，即保費元；
（Ⅱ）由題意知的取值為0，1，2，
，
，
，
．
18．解：（Ⅰ），
，
相減得，即，
所以數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，又，
所以．
（Ⅱ），
，
，
．
19．解：（Ⅰ）面，
又，
平面，
又平面，
由得：為棱的中點，
連接交于，連接交于，連接，
在中，交，
平面，
平面；
（Ⅱ）設(shè)，
四棱錐的體積為，解得，
以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
因為二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為．
20．解：（Ⅰ）由已知得，
設(shè)中點為
由相減得，
得，即．
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)，
所以，即，
，同理，
設(shè)直線過點是方程的兩根．即，
整理得，
，
，
，所以直線過點．
21．解：（Ⅰ）當(dāng)時，不等式等價于，
則，令函數(shù)，
則，
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以時，不等式成立；
（Ⅱ）當(dāng)時，，
由（Ⅰ）可知此時，所以此時函數(shù)沒有零點，與已知矛盾，
，，令函數(shù)，
所以，令函數(shù)，
，
①若，
所以函數(shù)在上遞增，且，
，使函數(shù)在上遞減，在上遞增，
②若時，顯然，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，且
，使函數(shù)在上遞減，在上遞增，
又，
，且，使得，
綜上得，當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，
的取值范圍是．
22．解：（Ⅰ）由得，
即直線的普通方程為，
由得：，
，
即曲線的直角坐標(biāo)方程為；
（Ⅱ）設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入得：，整理得，
設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，
，且．
解得，或者
所以求點的直角坐標(biāo)為或．
（或者利用普通方程求出的坐標(biāo)，從而求出的坐標(biāo)）
23．解：（Ⅰ）不等式等價于，
當(dāng)時，得，
當(dāng)時，得，此時無解，
當(dāng)時，得，
綜上，不等式的解集為；
（Ⅱ），當(dāng)時取等號，
，即，
，
相加得，
．所以不等式成立．

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