最新中考數(shù)學(xué)思想方法講與練【轉(zhuǎn)化思想】方程中的轉(zhuǎn)化思想-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
方程中的轉(zhuǎn)化思想
知識方法精講
1．轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題?？傊?，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。
2．一元一次方程的解
定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
3．二元一次方程組的解
（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
4．解二元一次方程組
（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．
（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．
5．解三元一次方程組
（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．
（2）解三元一次方程組的一般步驟：
①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組．②然后解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數(shù)的值．③再把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一元一次方程．④解這個一元一次方程，求出第三個未知數(shù)的值．⑤最后將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可．
6．解一元二次方程-直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．
②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
7．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；
③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；
⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．
8．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
10．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
11．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．
注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．分式方程的增根
（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．
（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．
一．選擇題（共11小題）
1．（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實數(shù)解的是
A．B．C．D．
【考點】解一元二次方程直接開平方法；無理方程；分式方程的解
【分析】根據(jù)一元二次方程、分式方程、無理方程的解法，分別解方程即可得答案．
【解答】解：、由，得，
，
原方程無實數(shù)根，
故選項不符合題意；
、由得，
而的判別式△，
原方程無實數(shù)根，
故選項不符合題意；
、由得，
解得或，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
故符合題意；
、由得，
經(jīng)檢驗：是原方程增根，
原方程無實數(shù)根，
故不符合題意，
故選：．
【點評】本題主要考查了一元二次方程、分式方程及無理方程的解，熟練應(yīng)用相關(guān)方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵，特別注意分式方程和無理方程都要檢驗．
2．（2021?盂縣一模）將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為
A．B．C．D．
【考點】解一元二次方程公式法；高次方程
【分析】利用，得，用一元二次方程求根公式得，且，所以取，代入即可求得．
【解答】解：，
，且，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是的代數(shù)式，還要利用一元二次方程求根公式求出的值，代入化簡后的中計算出結(jié)果．
3．（2020?高青縣二模）已知，是方程的兩個根，則的值為
A．B．4044C．D．2020
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系
【分析】由，是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，由一元二次方程的根的定義，可得，，繼而求得答案．
【解答】解：，是方程的兩個根，
，，，
．
故選：．
【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解．注意，是方程的兩根時，，．
4．方程組的解為，則被遮蓋的兩個數(shù)、分別為
A．4，2B．1，3C．2，3D．2，4
【考點】二元一次方程組的解
【分析】本題主要將代入得出和，再將，的值代入方程組即可．
【解答】解：將代入得
，
，
將，代入得
．
故選：．
【點評】本題主要考查了二元一次方程的解、問題轉(zhuǎn)化等思想．
5．設(shè)，是方程的兩根，則
A．B．C．3D．5
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系
【分析】先求出，再求其算術(shù)平方根即可．
【解答】解：，是方程的兩根，
，，
而，
且，故，
，
故選：．
【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及算術(shù)平方根，主要是如何變形為與的式子．
6．（2021秋?宣化區(qū)期末）一元二次方程的根是
A．B．C．，D．，
【考點】解一元二次方程因式分解法
【分析】先移項得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故選：．
【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
7．（2020?浙江自主招生）方程的實數(shù)解的個數(shù)為
A．0B．1C．2D．大于2
【考點】立方根
【分析】令，，分別求出，，所以、是方程的兩個實數(shù)根，△，可知方程無解，由此可求解．
【解答】解：令，，
，
，
，
，
，
，
、是方程的兩個實數(shù)根，
△，
方程無解，
方程無實數(shù)根，
故選：．
【點評】本題考查立方根、一元二次方程，利用換元法和立方和公式進行量的轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造一元二次方程，借助判別式求解是解題的關(guān)鍵．
8．下列無理方程中，有實數(shù)解的方程是
A．B．
C．D．
【考點】無理方程
【分析】移項得出，兩邊平方得出，整理后得出，兩邊平方得出，求出后檢驗，即可判斷；根據(jù)算術(shù)平方根的非負性即可判斷；移項得出，兩邊平方得出，整理后得出，兩邊平方得出，根據(jù)根的判別式即可判斷；兩邊平方得出，求出方程的解，經(jīng)檢驗即可判斷．
【解答】解：．，
移項，得，
兩邊平方，得，
整理，得，
兩邊平方，得，
即，
△，
此方程無解，
即原方程無解，故本選項不符合題意；
．，
不論為何值，的值不能為負數(shù)，
此方程無解，故本選項不符合題意；
．，
移項，得，
兩邊平方，得，
整理，得，
兩邊平方，得，
即，
△，此方程無解，
所以原方程無解，故本選項不符合題意；
．，
兩邊平方，得，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解，
所以原方程的解是，故本選項符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了解無理方程和解一元二次方程，能把解無理方程轉(zhuǎn)化成解有理方程是解此題的關(guān)鍵，注意：解無理方程一定要檢驗．
9．用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是
A．B．C．D．
【考點】解二元一次方程組
【分析】將方程①代入②，然后進行消元．
【解答】解：，
把①代入②得：
，
去括號得：
．
故選：．
【點評】這是用代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵一步“代入消元”，通過這一步，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來解答，典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想．
10．（2021?元陽縣模擬）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值為
A．6.7，8，9B．6，7，8C．7，8D．6，8
【考點】解一元一次不等式組；分式方程的解
【分析】先求出不等式解集，根據(jù)一元一次不等式組的解集為，求出的取值范圍，進一步解分式方程，用表示，代入，求出的取值范圍，再根據(jù)關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，求出，這樣也就求出的值．
【解答】解：解不等式，
得，，
一元一次不等式組的解集為，
，
解分式方程，
，
解得，，
，
，
關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，
或3，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上所述：的值是7或8．
故選：．
【點評】本題考查解一元一次不等式組、分式方程．掌握不等式解集的確定，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．
11．，其中，，，，是常數(shù)，且，則，，，，的大小順序是
A．B．
C．D．
【考點】一元一次不等式的應(yīng)用
【分析】本方程組牽涉5個未知數(shù)，，，，，經(jīng)觀察方程（1）與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個未知數(shù)，只要做差就會出現(xiàn)，通過的大小關(guān)系，即可確定，，，，的大小關(guān)系．
【解答】解：方程組中的方程按順序兩兩分別相減得
因為
所以，，，，于是有
故選：．
【點評】本題如果直接比較，，，，的大小關(guān)系很難，那么考慮到方程（1）與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個未知數(shù)，通過比較，，，，的大小就容易的多了，本題要注意并不是任何兩個方程都能相減，需要消去兩個未知數(shù)，保留兩個未知數(shù)的差，這才是目的．
二．填空題（共3小題）
12．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）已知關(guān)于的一元一次方的解為，那么關(guān)于的一元一次方程的解為．
【考點】一元一次方程的解
【分析】根據(jù)換元法得出，進而解答即可．
【解答】解：關(guān)于的一元一次方程的解為，
關(guān)于的一元一次方程中的，
解得：，
故答案是：．
【點評】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換元法解答．
13．（2021秋?虹口區(qū)校級月考）無論取何值，關(guān)于、方程組都只有一組解，則 3 ．
【考點】根的判別式
【分析】將②變形后代入①可整理出關(guān)于的一元二次方程，由方程組只有一組解，可得出，結(jié)合可以為任何值，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，再將其代入中即可求出結(jié)論．
【解答】解：．
由②可得出③，
將③代入①整理得：．
無論取何值，關(guān)于、方程組都只有一組解，
△，
即，
，
，
．
故答案為：3．
【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
14．已知等式對一切實數(shù)都成立，則，．
【考點】解二元一次方程組
【分析】根據(jù)條件“對于一切實數(shù)都成立”，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的二元一次方程組解答．
【解答】解：由于等式對一切實數(shù)都成立，
所以，有
解得．
故答案為：，．
【點評】本題考查了二元一次方程組的解法．解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的二元一次方程組；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
三．解答題（共4小題）
15．（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．假定從一個人開始號召，每一個人每周能夠號召相同的個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．
（1）求出的值；
（2）經(jīng)過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號召，但剛剛開始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少，第一周后小麗比小穎多號召成功4人，三人一共號召成功19人，其中小穎號召成功了人．求出值，并分別求出她們?nèi)颂栒俚某晒β剩?br>【考點】一元二次方程的應(yīng)用
【分析】（1）第一周一個人能夠號召個人參加，可得第一周結(jié)束共有個人參加，第二周個人可以號召個人，可得兩周后號召志愿者的人數(shù)有人，進而列出方程即可求出的值；
（2）根據(jù)題意列出方程即可分別求出他們?nèi)颂栒俚某晒β剩桓鶕?jù)小紅的成功率比小穎的兩倍少，列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得
，
即，
，
，（舍去），
答：的值為10；
（2）根據(jù)題意，得
小穎號召了人．小麗號召了人，小紅號召了人，
所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，
因為小紅的成功率比小穎的兩倍少，
所以，
解得；
所以小穎的成功率為，
小紅的成功率為，
小麗的成功率為；
答：的值為4，小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．
16．（2021秋?介休市期中）（1）解方程：．
（2）下面是小明解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解：
二次系數(shù)化為1，得第一步
移項，得第二步
配方，得，即第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
任務(wù)：
①上面小明同學(xué)的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”所依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是；
②“第二步”變形的依據(jù)是；
③上面小明同學(xué)解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，請直接寫出正確的解是；
④請你根據(jù)平時學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元二次方程時還需要注意的事項為其他同學(xué)提一條意見．
【考點】解一元二次方程配方法；一元一次方程的定義；數(shù)學(xué)常識
【分析】（1）利用提公因式法解出方程；
（2）①根據(jù)轉(zhuǎn)化思想、完全平方公式解答；
②根據(jù)移項的依據(jù)是等式的性質(zhì)解答；
③根據(jù)完全平方公式判斷，再根據(jù)配方法求出方程的解；
④根據(jù)解一元二次方程時，學(xué)生的常見錯誤給出意見．
【解答】解：（1），
移項，得，
提公因式，得，
則或，
，；
（2）①上面小明同學(xué)的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”所依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；
②“第二步”變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)；
③上面小明同學(xué)解題過程中，從第三步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解是，；
④解一元二次方程時需要注意的事項：先把方程化為一般形式、移項要變號、正確運用完全平方公式、解要化為最簡（答案不唯一），
故答案為：①轉(zhuǎn)化思想；完全平方公式；②等式的性質(zhì)；③三；，．
【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
17．（2021秋?南京期中）【閱讀材料】
求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方程和，可得方程的解．
【直接應(yīng)用】
方程的解是， 2 ，．
【類比遷移】
解方程：．
【問題解決】
如圖，在矩形中，，，點在上，若，求的長．
【考點】數(shù)學(xué)常識；解二元一次方程組；解三元一次方程組；解一元二次方程因式分解法；無理方程；分式方程的增根；矩形的性質(zhì)
【分析】【問題解決】利用因式分解法，可得結(jié)論；
【類比遷移】利用兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可；
【問題解決】根據(jù)題意先列出方程，再把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可．
【解答】解：，
．
．
或或．
，，．
故答案為：2，4．
解方程：．
方程兩邊平方，得．
．
．
或．
經(jīng)檢驗是方程的解，不符合題意舍去．
所以原方程的解為：．
設(shè)的長為，則．
由題意，得，
移項，得，
兩邊平方，得，
整理，得．
解得．
經(jīng)檢驗是方程的解．
所以的長為．
【點評】本題主要考查了高次方程、無理方程的解法，掌握轉(zhuǎn)化的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2021秋?海珠區(qū)期末）閱讀材料：對于非零實數(shù)，，若關(guān)于的分式的值為零，則解得，．又因為，所以關(guān)于的方程的解為，．
（1）理解應(yīng)用：方程的解為： 3 ，；
（2）知識遷移：若關(guān)于的方程的解為，，求的值；
（3）拓展提升：若關(guān)于的方程的解為，，求的值．
【考點】分式方程的解
【分析】（1）根據(jù)題意可得或；
（2）由題意可得，，再由完全平方公式可得；
（3）方程變形為，則方程的解為或，則有，，整理得，，再將所求代數(shù)式化為．
【解答】解：（1）的解為，，
的解為或，
故答案為：3，；
（2），
，，
；
（3）可化為，
方程的解為，，
則有或，
，，
，，
．
【點評】本題考查分式方程的解，理解題意，靈活求分式方程的解，并結(jié)合完全平方公式對代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．

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