一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
圓中的新定義問題
知識(shí)方法精講
1．解新定義題型的方法：
方法一 :從定義知識(shí)的新情景問題入手
這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。
方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手
對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識(shí)在后面問題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟．
方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手
對(duì)于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。
2．解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.
3．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．
4．弧長(zhǎng)的計(jì)算
（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR
（2）弧長(zhǎng)公式：l＝（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
一．填空題（共2小題）
1．（2021?祿勸縣模擬）如圖，是正三角形，曲線叫做“正三角形的漸開線”，其中弧、弧、弧的圓心依次按、、循環(huán)，它們依次相連接．若，則曲線的長(zhǎng)是 ．
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算
【分析】曲線的長(zhǎng)由弧，弧，弧組成，它們所對(duì)的圓心角都為，而半徑分別為1，2，3，根據(jù)弧長(zhǎng)公式分別計(jì)算三個(gè)弧長(zhǎng)，求它們的和即可．
【解答】解：是正三角形，
，
又，
，，，
弧的長(zhǎng)度；
弧的長(zhǎng)度；
弧的長(zhǎng)度；
所以曲線的長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：，其中表示弧長(zhǎng)，表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．
2．（2020?成都模擬）如圖，在中，，分別是兩邊的中點(diǎn)，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱為的中內(nèi)弧，例如，圖中是其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，的中內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是 或 ．
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形中位線定理；垂徑定理
【分析】先判斷出點(diǎn)在線段的垂直平分線上，再求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，再分點(diǎn)在上方和下方，即可得出得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接，
由垂徑定理可知，圓心一定在線段的垂直平分線上，
作的垂直平分線，
，分別是，的中點(diǎn)，且，，，
，，，
若圓心在線段上方時(shí)，
設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段上方射線上均可，
，
當(dāng)圓心在線段下方時(shí)，
，
，
，
，
作交直線于，，
根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)的下方（含點(diǎn)的直線上時(shí)也符合要求；
，
綜上所述，或，
故答案為或．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了新定義，垂徑定理，三角形的中位線，線段的垂直平分線定理，找出點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解本題的關(guān)鍵．
二．解答題（共18小題）
3．（2021秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2．點(diǎn)P，Q為⊙O外兩點(diǎn)，給出如下定義：若⊙O上存在點(diǎn)M，N，使得以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則稱點(diǎn)P，Q是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）如圖，點(diǎn)A，B，C，D橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是 B、C ；
（2）點(diǎn)E（t，t）在第一象限，點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱，若點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍；
（3）點(diǎn)G在y軸上，若直線y＝4上存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)yG的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【分析】（1）根據(jù)⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義，利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷即可；
（2）由題意可得點(diǎn)E（t，t）在直線y＝x上，利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的線段的長(zhǎng)度不大于圓的直徑列出不等式，解不等式即可得出結(jié)論；
（3）利用分類討論的思想分析得到點(diǎn)G的大致位置，通過計(jì)算點(diǎn)G，H的最大臨界值即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖所示，
在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是：B，C，
故答案為：B，C．
（2）∵點(diǎn)E（t，t）在第一象限，
∴點(diǎn)E（t，t）在直線y＝x上，
設(shè)直線y＝x與⊙O交于點(diǎn)M（a，a），可知OM＝2，
∴a2+a2＝OM2＝4，
解得：a＝±，
∵點(diǎn)M在第一象限，
∴a＞0，
∴a＝．
由⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知：⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在圓外，
∴OE＞OM，
∴t＞．
∵點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴EF＝2t，
由題意：EF≤2×2＝4，
∴2t≤4．
解得：t≤2．
∴若點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，t的取值范圍：＜t≤2．
（3）當(dāng)yG＝4時(shí)，如圖所示：
顯然，直線y＝4上不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
當(dāng)yG＜4時(shí)，如圖所示：
顯然，直線y＝4上不存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
當(dāng)yG＞4時(shí)，顯然，直線y＝4上存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
如圖所示：點(diǎn)G，H是⊙O的“成對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，MN為⊙O的直徑，
∵GH≤MN，
∴此時(shí)，GH取得最大值，yG取得最大值．
設(shè)yG＝m，m＞4，直線y＝4與y軸交于點(diǎn)K，
則OG＝m，GK＝m﹣4．
則四邊形GHNM是矩形，
∴GH＝MN＝4，∠M＝∠MGH＝90°．
∴∠MGO+∠HGK＝90°，
∵GK⊥KH，
∴∠HGK+∠GHK＝90°．
∴∠MGO＝∠GHK．
∵∠M＝∠GKH＝90°，
∴△MGO∽△KHG，
∴．
∴．
解得：m＝2±2．
∵m＞4，
∴m＝2+2．
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)yG的取值范圍：4＜yG≤2+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，圓的直徑，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，本題是新定義型題目，理解題干的新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
4．（2021秋?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個(gè)最大值記為．對(duì)點(diǎn)及圖形給出如下定義：點(diǎn)為圖形上任意一點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間的距離有最大值，且最大值恰好為．則稱點(diǎn)為圖形的“倍點(diǎn)”．
（1）如圖1，圖形是半徑為1的．
①圖形上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為 2 ；
②在點(diǎn)，，中，的“倍點(diǎn)”是 ；
（2）如圖2，圖形是中心在原點(diǎn)的正方形，點(diǎn)．若點(diǎn)是正方形的“倍點(diǎn)”，求的值；
（3）圖形是長(zhǎng)為2的線段，為的中點(diǎn)，若在半徑為6的上存在線段的“倍點(diǎn)”，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)組成的圖形的面積．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①根據(jù)定義解答可；②分別找出、、的最大值，再根據(jù)定義判斷即可；
（2）正方形上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值為，若點(diǎn)是正方形的“倍點(diǎn)”，則點(diǎn)到上點(diǎn)的最大距離好為．結(jié)合圖形即可求解；
（3）分線段在內(nèi)部和在外兩種情況討論即可求解．
【解答】解：（1）①圖形是半徑為1的，
圖形上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為2．
故答案為：2；
②如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
不是的“倍點(diǎn)”；
到上各點(diǎn)連線中最大距離為，
不是的“倍點(diǎn)”；
到上各點(diǎn)連線中最大距離為，
是的“倍點(diǎn)”．
故答案為：．
（2）如圖2，在正方形中，
正方形上任意兩點(diǎn)之間距離的最大距離，
，
由圖可知當(dāng)點(diǎn)在如圖所示的位置時(shí)，是正方形的“倍點(diǎn)“，
，
的值為：3或．
（3）上，，
當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí)，組成的圖形為半徑為4的圓，；
當(dāng)線段在外部時(shí)，組成的圖形為半徑為8的圓，，
故點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為或．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查考查了圓的性質(zhì)和新定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考?jí)狠S題．
5．（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：若圖形和圖形有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)是圖形和圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
已知點(diǎn)，，，．
（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，的半徑為2，在點(diǎn)，，中直線和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是 點(diǎn) ；
（2）為線段中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），若和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求半徑的取值范圍；
（3）的圓心為點(diǎn)，，半徑為，直線過點(diǎn)且不與軸重合．若和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）利用“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由題意判定出為等邊三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，依據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義判定出圓心的位置，利用即可得出結(jié)論；
（3）由題意判定出和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)” 的軌跡是以為直徑的半圓，除外），根據(jù)題意求得直線的兩個(gè)臨界值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），，，
，，
點(diǎn)到的距離為2．
的半徑為2，
是的切線．
直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
直線與相交，而過點(diǎn)的直線有無數(shù)條，
在點(diǎn)，，中直線和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)．
故答案為：點(diǎn)；
（2）由題意畫出圖形如下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
為線段中點(diǎn)，，
．
．
，
，．
為的垂直平分線．
．
，
．
為等邊三角形．
，
，
是的垂直平分線．
點(diǎn)是的外心．
．
為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
點(diǎn)在線段上與，不重合），半徑．
平分，
．
，
．
．
，
由題意：，
．
半徑的取值范圍為：；
（3）設(shè)直線與相切于點(diǎn)，如圖，
則點(diǎn)為直線與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
，，的半徑為，
是的切線．
由切線長(zhǎng)定理可得：．
和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)” 的軌跡是：以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓（與軸的交點(diǎn)，除外），
即點(diǎn)的軌跡是以為直徑的半圓，除外）．
由題意：．
和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，
解得：．
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
則，．
．．
．
．
和直線的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，
當(dāng)直線與以為直徑的半圓相切時(shí)，取得最大值，
設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)于點(diǎn)，
，
．
．
．
．
，
的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?大興區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下定義：若拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為，則稱點(diǎn)為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）已知，，，，，，在點(diǎn)，，，中，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是 ， ；
（2）已知的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)” 在第一象限，若，判斷與的位置關(guān)系，并證明；
（3）已知，，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)” 在外且在四邊形內(nèi)時(shí)，直接寫出拋物線中的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）由拋物線及圓的對(duì)稱性可知，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在線段的垂直平分線上，由此可判斷；
（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明即可；
（3）求出點(diǎn)縱坐標(biāo)為1.5或2時(shí)的函數(shù)解析式，再判斷的取值范圍即可．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為，
則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
在點(diǎn)，，，中，點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
在點(diǎn)，，，中，的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是，；
故答案為：，．
（2）與的位置關(guān)系是：相切．
為的直徑，
為的中點(diǎn)．
，，
．
．
連接．
為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．
點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上．
是的垂直平分線．
．
過點(diǎn)作于．
．
．
與相切．
（3）由（1）知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（2）知的半徑為1.5，
已知，，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)” 在外且在四邊形內(nèi)時(shí)，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)范圍大于1.5且小于2，
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入得，；
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入得，；
的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生認(rèn)真理解題意．
7．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）平面內(nèi)的和外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)在，之間），點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．若以為邊的正方形的面積等于分別以，為一組鄰邊的矩形的面積，則稱正方形為點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”，該正方形的中心稱為點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”．
如圖所示，正方形的面積等于矩形的面積，其中，稱正方形為點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”，該正方形中心點(diǎn)稱為點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”．特別的，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，稱此時(shí)正方形的中心為點(diǎn)關(guān)于的“單純?cè)军c(diǎn)”．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為4，．
①過點(diǎn)的直線與軸重合，則點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長(zhǎng)為 ；
②過點(diǎn)的直線與軸夾角為，則點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有 個(gè)．
（2）的圓心為，半徑為1．點(diǎn)為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．直線與，軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)關(guān)于的“原本點(diǎn)”，求的取值范圍．
（3）的圓心為，，半徑為．點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，且．若直線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純?cè)军c(diǎn)”，直接寫出的最小值．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①根據(jù)新定義設(shè)點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長(zhǎng)為，得出、的坐標(biāo)，即可求得答案；
②根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證得，得出，再由橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)即可得出答案；
（2）根據(jù)“原本正方形”的定義，分別求出的最小值和最大值，即可得出答案；
（3）如圖4，過點(diǎn)作于，交于，連接，以為邊長(zhǎng)作正方形，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，先求出，，，利用三角函數(shù)得出，根據(jù)直線上點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純?cè)军c(diǎn)”，求出、，再根據(jù)三角函數(shù)定義建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①設(shè)點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長(zhǎng)為，如圖1，
的半徑為4，
，，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
②如圖2，，直線與交于、，連接、，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
由①知：，
四邊形是正方形，
，
根據(jù)，可知或3，或3，
或或或，或，
橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有8個(gè)，
故答案為：8．
（2）如圖3，，的圓心為，半徑為1，
，即點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的面積為4，
點(diǎn)關(guān)于的“原本正方形”的邊長(zhǎng)為2，
先求的最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，
則，，
，
直線與，軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
再求的最大值，，
，
的取值范圍為．
（3）如圖4，過點(diǎn)作于，交于，連接，以為邊長(zhǎng)作正方形，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，
直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，
，，，
，，半徑為，
，
，
，
直線上點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“單純?cè)军c(diǎn)”，
點(diǎn)為正方形的中心，
，
，，，
，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，即，
解得：，
的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是理解并正確運(yùn)用新定義．
8．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，的半徑為1．如果將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段所在的直線與相切，且切點(diǎn)在線段上，那么線段就是的“關(guān)聯(lián)線段”，其中滿足題意的最小就是線段與的“關(guān)聯(lián)角”．
（1）如圖1，如果，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么它的“關(guān)聯(lián)角”為 60 ．
（2）如圖2，如果、，、，、．
那么的“關(guān)聯(lián)線段”有 （填序號(hào)，可多選）．
①線段
②線段
③線段
（3）如圖3，如果、，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是 ．
（4）如圖4，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且存在以為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是 ．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）畫圖確定相切位置確定關(guān)聯(lián)角即可；
（2）連接，，，，根據(jù)線段掃過的位置判斷即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡判斷的最小值即可得出取值范圍；
（4）結(jié)合題意作圖得出的最大值和最小值即可得出的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖1，作與相切于點(diǎn)，
，
，
，
，，
的“關(guān)聯(lián)角”為，
故答案為：60；
（2）如圖2，連接，，，，
，
繞旋轉(zhuǎn)無法與相切，
故不是的“關(guān)聯(lián)線段”，
，，，
是的“關(guān)聯(lián)線段”，
，
是的“關(guān)聯(lián)線段”，
故答案為：②③；
（3）如圖3，
點(diǎn)旋轉(zhuǎn)路線在半徑為1的上，
當(dāng)與相切時(shí)，
由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，
故答案為：；
（4）如圖4，當(dāng)取最大值時(shí)，
點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最小半徑是到過的直線的距離是，
，，
，
，
的最大值為4，
如圖5，當(dāng)取最小值時(shí)，
開始時(shí)存在與相切，
，，
，
，
，
綜上，的取值為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的綜合題型，準(zhǔn)確理解關(guān)聯(lián)線段與關(guān)聯(lián)角的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若幾何圖形與有公共點(diǎn)，則稱幾何圖形的叫的關(guān)聯(lián)圖形，特別地，若的關(guān)聯(lián)圖形為直線，則稱該直線為的關(guān)聯(lián)直線．如圖，為的關(guān)聯(lián)圖形，直線為的關(guān)聯(lián)直線．
（1）已知是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：
①直線；②直線；③雙曲線，是的關(guān)聯(lián)圖形的是 ①③ （請(qǐng)直接寫出正確的序號(hào)）．
（2）如圖1，的圓心為，半徑為1，直線與軸交于點(diǎn)，若直線是的關(guān)聯(lián)直線，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（3）如圖2，已知點(diǎn)，，，經(jīng)過點(diǎn)，的關(guān)聯(lián)直線經(jīng)過點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為；的關(guān)聯(lián)直線經(jīng)過點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為；直線，交于點(diǎn)，若線段在直線
上且恰為的直徑，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)聯(lián)圖形的定義判斷即可．
（2）直線的臨界狀態(tài)是和相切的兩條直線和，求出兩種特殊情形的點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解決問題．
（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，得到的最大值為2．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，直線，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)得到的最小值為，由此即可解決問題．
【解答】解：（1）由題意①③是的關(guān)聯(lián)圖形，
故答案為①③．
（2）如圖1中，
直線是的關(guān)聯(lián)直線，
直線的臨界狀態(tài)是和相切的兩條直線和，
當(dāng)臨界狀態(tài)為時(shí)，連接為切點(diǎn)），
，，且，
是等腰直角三角形，
，，
，，
把，代入中，得到，
同法可得當(dāng)直線是臨界狀態(tài)時(shí)，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．
（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，得到的最大值為2，
如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)是上方時(shí)，直線，交于點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上時(shí)，點(diǎn)得到的最小值為，
綜上所述，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了的關(guān)聯(lián)圖形的定義，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
10．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過（半徑為外一點(diǎn)引它的一條切線，切點(diǎn)為，若，則稱點(diǎn)是的“沙湖點(diǎn)”．
（1）當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，
①在點(diǎn)，，中，的“沙湖點(diǎn)”是 ， ；
②點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)是的“沙湖點(diǎn)”，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）的圓心為，半徑為2，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，．若直線上的所有點(diǎn)都是的“沙湖點(diǎn)”，求的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①畫出圖形，求出切線長(zhǎng)，根據(jù)的“沙湖點(diǎn)”的定義判斷即可．
②如圖2中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，構(gòu)建方程求出兩種特殊位置時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問題．
（2）求出幾種特殊位置時(shí)的值即可判斷．①如圖中，設(shè)是的切線，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)．②如圖中，設(shè)是的切線，連接，則．③如圖中，當(dāng)在直線的左側(cè)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接．分別求出的值，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖1中，
，，，
切線的長(zhǎng)，
切線的長(zhǎng)，
切線的長(zhǎng)，
點(diǎn)，是，的沙湖點(diǎn)，
故答案為：，．
②如圖2中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)過點(diǎn)的切線長(zhǎng)為時(shí)，
，
，
解得，．
結(jié)合圖象可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．
（2）由題意，．
①如圖中，設(shè)是的切線，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)，此時(shí)．
觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)．
②如圖中，設(shè)是的切線，連接，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
③如圖中，當(dāng)在直線的左側(cè)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接．
，，
，，
，
是切線，
，
，
，
，
，
，
，
此時(shí)，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，線段上的所有點(diǎn)都是的沙湖點(diǎn)，
綜上所述，的取值范圍是或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了圓的沙湖點(diǎn)的定義，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
11．（2021秋?溧陽市期中）概念認(rèn)識(shí)：
平面內(nèi)，為圖形上任意一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，將、兩點(diǎn)間距離的最小值稱為圖形到的“最近距離”，記作．例：如圖1，在直線上有、、三點(diǎn)，以為對(duì)角線作正方形，以點(diǎn)為圓心作圓，與交于、兩點(diǎn)，若將正方形記為圖形，則、兩點(diǎn)間的距離稱為圖形到的“最近距離”．
數(shù)學(xué)理解：
（1）在平面內(nèi)有、兩點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，將點(diǎn)記為圖形，若，則 3或7 ．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，半徑為2作圓．
①將點(diǎn)記為圖形，則 ．
②將一次函數(shù)的圖記為圖形，若，求的取值范圍．
推廣運(yùn)用：
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)為，的半徑為2，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，將記為圖形，若，則 ．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)圖形到的“最近距離”的定義即可解決問題．
（2）①如圖2中，連接交于．求出的長(zhǎng)即可．
②如圖，設(shè)直線與相切于，．連接，．求出直線，直線的解析式即可解決問題．
（3）分兩種情形：①如圖中，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作于，交于．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的外側(cè)時(shí)，分別求解即可．
【解答】解：（1）如圖1中，
，
，
，
，．
故答案為：3或7．
（2）①如圖2中，連接交于．
，
，
，
，
．
故答案為：3．
②如圖，設(shè)直線與相切于，．連接，．
，，，，
，，
，
四邊形是菱形，
，
四邊形是正方形，
，
直線的解析式為，直線的解析式為，
，
觀察圖象可知滿足條件的的值為且．
（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)．
，
，
，
．
如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的外側(cè)時(shí)，由題意可知，，．
綜上所述，滿足條件的的值為8或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，圖形到的“最近距離”的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
12．（2021?常州一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑是，，為外兩點(diǎn)，．給出如下定義：平移線段，使平移后的線段成為的弦（點(diǎn)，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值成為線段到的“優(yōu)距離”．
（1）如圖1，中的弦、是由線段平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是 平行 ；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn) 的線段長(zhǎng)度等于線段到的“優(yōu)距離”；
（2）若點(diǎn)，，線段的長(zhǎng)度是線段到的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（3）如圖2，若，是直線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段到的“優(yōu)距離”為，則的最小值是 ；請(qǐng)你在圖2中畫出取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可以得到，由圖可以得到的長(zhǎng)度等于線段到的“優(yōu)距離”；
（2）根據(jù)定義和（1）提示，可以知道，平移，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，即在圓上滿足，，這樣的只有兩條，別切位于圓心兩側(cè)，根據(jù)題意畫出草圖，可以得到如圖1的位置，線段是線段到的優(yōu)距離，利用和坐標(biāo)，求出直線解析式，從而得到直線的比例系數(shù)，同時(shí)可以得到為等腰直角三角形，因?yàn)?，過作，利用垂徑定理和勾股定理，求出，利用，得到為等腰直角三角形，過作軸于點(diǎn)，從而可以求得，得到直線解析式為，設(shè)，過作軸于，在△中，利用勾股定理，列出方程即可求解；
（3）由（2）可知，經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，，，符合條件的只有兩條，并且位于點(diǎn)兩側(cè)，如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，過作，分別交于，交于，用（2）中方法求解和，得到的長(zhǎng)度，即可解決．
【解答】解：（1）平移得到，
，
同理，，
，
由圖可得，連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段長(zhǎng)度等于線段到的“優(yōu)距離”，
故答案為：平行，，；
（2）如圖1，過作軸于，則，
，，
，
設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，
直線為，
設(shè)直線交軸于，
軸，
軸，
，
由（1）可得，平移，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，此時(shí)，且，
這樣的對(duì)應(yīng)線段有兩條，分別位于圓心點(diǎn)兩側(cè)，
所以當(dāng)在如圖位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度是到的“優(yōu)距離”，
過作，分別交于，交于
，
，
，
連接，
，
，
在△中，，
過作軸于，
，
，
，
，
設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，
直線為，
設(shè)，過作軸于，
在△中，，
，
或3，
，
，
，
故答案為：；
（3）由（2）可知，經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，，，
符合條件的只有兩條，并且位于點(diǎn)兩側(cè)，
如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，
，，
四邊形為平行四邊形，
，
為矩形，
，
令，則，
，
同理，，
，
為等腰直角三角形，
過作，分別交于，交于，連接，
，
在△中，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
又，
四邊形為平行四邊形，
，
即的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是以圓為背景的新定義題目，能在題目中提煉出定義的內(nèi)容，是本題的突破口，借助特殊三角形和勾股定理，垂徑定理，求解相關(guān)的線段和角度，是解決此類問題的基本功．
13．（2021?建鄴區(qū)二模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為 4 ．
（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，求的取值范圍．
（4）、，且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是 ．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）由題意即可求解；
（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，即到圓心的距離為4，設(shè)，則，即可求解；
（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出；同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；
（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4，
故答案為：4；
（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，
即到圓心的距離為4，
設(shè)，
則，
解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，
故答案為：或，；
（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，
，，
，
，
則，
設(shè)，則，
由勾股定理可得：，
解得（舍，
，
此時(shí)．
同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，
經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)，
或；
（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段，
可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦，，
如果落在弧上，或者落在弧上，則成立，
當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，
此時(shí)，
綜上，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．
14．（2021?石景山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于內(nèi)的一點(diǎn)，若在外存在點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的二倍點(diǎn)．
（1）當(dāng)?shù)陌霃綖?時(shí)，
①在，，，三個(gè)點(diǎn)中，是的二倍點(diǎn)的是 、 ；
②已知一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，若一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，求的取值范圍．
（2）已知點(diǎn)，，，的半徑為2，若線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①的半徑為2時(shí)，的二倍點(diǎn)到的距離小于2，且大于1，求出，，，與圓心的距離即可得答案；
②過作于，一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，，且且，用的代數(shù)式表示，列出不等式，即可解得的范圍；
（2）畫出圖形，找到“臨界點(diǎn)”，列出不等式即可解得范圍．
【解答】解：（1）對(duì)于內(nèi)的一點(diǎn)，若在外存在點(diǎn)，使得，則稱點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，
的半徑為2時(shí)，的二倍點(diǎn)到的距離小于2，且大于1，
①，，，，
，，，
的二倍點(diǎn)的是、，
故答案為：、．
②若，則在第二象限的圖象是一條射線（不含端點(diǎn)），不可能所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，故，
又時(shí)，，即直線過定點(diǎn)，過作于，如圖：
由，可得，
而可得，
一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有點(diǎn)都是的二倍點(diǎn)，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，
且
，
解得；
（2）①當(dāng)從左側(cè)沿正方向移動(dòng)時(shí)，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，如圖
則滿足，且，
，且，
解得，且或，
結(jié)合圖形可得，此時(shí)線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，，
②當(dāng)移動(dòng)到右側(cè)，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，如圖：
則滿足，且，
，且，
解得或，且，
結(jié)合圖形可得，此時(shí)線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，，
綜上所述，線段上存在點(diǎn)為的二倍點(diǎn)，則或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合知識(shí)及新定義問題，解題的關(guān)鍵是理解二倍點(diǎn)的定義，找到“臨界點(diǎn)”，題目難度較大．
15．（2020?雨花區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和正實(shí)數(shù)，給出如下定義：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，稱為點(diǎn)的“倍雅圓”
例如，在圖1中，點(diǎn)的“1倍雅圓”是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓．
（1）在點(diǎn)，中，存在“1倍雅圓”的點(diǎn)是 ．該點(diǎn)的“1倍雅圓”的半徑為 ．
（2）如圖2，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且滿足，試判斷直線與點(diǎn)的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，已知點(diǎn)，，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線．
①當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”，求的取值范圍；
②點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)的“倍雅圓”的半徑為，是否存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；
（2）求出圓的半徑，而，即可求解；
（3）①利用全等求出點(diǎn)，得到直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”時(shí)，則且△成立，即可求解；
②，假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，則，即可求解．
【解答】解：（1）對(duì)于，圓的半徑為，故符合題意；
對(duì)于，圓的半徑為，故不符合題意；
故答案為，10；
（2）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則點(diǎn)，，則圓的半徑，
則中，，
，
直線與點(diǎn)的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交；
（3）①過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交過點(diǎn)與軸的平行線于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，
將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則，故，
，，
，
，，
，
，，即，，
解得：，，故點(diǎn)；
設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，
故直線的表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)，
始終存在點(diǎn)的“倍雅圓”時(shí)，則圓的半徑恒成立，
且△成立，即且△，
解得：；
②存在，理由：
如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)同理可得，直線的表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，則，
則，則，
假設(shè)存在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線有且只有1個(gè)交點(diǎn)，
則，
解得：，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，涉及了一次函數(shù)和二次函數(shù)基本知識(shí)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來．
16．（2020?豐臺(tái)區(qū)二模）過直線外一點(diǎn)且與這條直線相切的圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的點(diǎn)線圓．特別地，半徑最小的點(diǎn)線圓稱為這個(gè)點(diǎn)和這條直線的最小點(diǎn)線圓．
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，，，分別以，為圓心，1為半徑作，，以為圓心，2為半徑作，其中是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓的是 ， ；
（2）記點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓為，如果與直線沒有公共點(diǎn)，求的半徑的取值范圍；
（3）直接寫出點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）由點(diǎn)線圓的定義畫出圖形可得出答案；
（2），經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，此時(shí)的半徑，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，切點(diǎn)分別為，，連接，，，過作軸于點(diǎn)，設(shè)，即得出．解出．可得出答案；
（3）畫圖可知點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心的軌跡，則可得出答案．
【解答】解：（1）如圖1，由點(diǎn)線圓的定義可知：
是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，
如圖2，不經(jīng)過點(diǎn)，故不是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，
如圖3，由點(diǎn)線圓的定義可知：是點(diǎn)和軸的點(diǎn)線圓，
故答案為：，．
（2）如圖4，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，此時(shí)的半徑，
如圖5，經(jīng)過點(diǎn)，且與軸和直線都相切，切點(diǎn)分別為，，連接，，，
過作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
．
由勾股定理得，，
即．
解得：（舍去），，
．
（3）如圖6，點(diǎn)和直線的最小點(diǎn)線圓的圓心在直徑為1的圓上，
，
，
圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
17．（2020?海淀區(qū)一模），是上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在的內(nèi)部．若為直角，則稱為關(guān)于的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心在邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱為關(guān)于的最佳內(nèi)直角．如圖1，是關(guān)于的內(nèi)直角，是關(guān)于的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系中．
（1）如圖2，的半徑為5，，是上兩點(diǎn)．
①已知，，，在，，中，是關(guān)于的內(nèi)直角的是 ， ；
②若在直線上存在一點(diǎn)，使得是關(guān)于的內(nèi)直角，求的取值范圍．
（2）點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)，，對(duì)于線段上每一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，請(qǐng)直接寫出的最大值，以及取得最大值時(shí)的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）判斷點(diǎn)，，是否在以為直徑的圓弧上即可得出答案；
（2）求得直線的解析式，當(dāng)直線與弧相切時(shí)為臨界情況，證明，可求出此時(shí)，則答案可求出；
（3）可知線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值2，再分點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合兩種情況求出臨界位置時(shí)的值即可得解．
【解答】解：（1）如圖1，
，，，
，，，
不在以為直徑的圓弧上，
故不是關(guān)于的內(nèi)直角，
，，，
，，，
，
，
是關(guān)于的內(nèi)直角，
同理可得，，
是關(guān)于的內(nèi)直角，
故答案為：，；
（2）是關(guān)于的內(nèi)直角，
，且點(diǎn)在的內(nèi)部，
滿足條件的點(diǎn)形成的圖形為如圖2中的半圓（點(diǎn)，均不能取到），
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，，
并可求出直線的解析式為，
當(dāng)直線過直徑時(shí)，，
連接，作直線交半圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，
，，
，
，
是半圓的切線．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，直線的解析式為，
直線的解析式為，此時(shí)，
的取值范圍是．
（3）對(duì)于線段上每一個(gè)點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，
點(diǎn)一定在的邊上，
，，線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，
當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值，
即的最大值為2．
分兩種情況：
①若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，那么點(diǎn)必須在邊上，此時(shí)，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
當(dāng)與重合時(shí)，，
此時(shí)的取值范圍是，
②若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，臨界位置有兩個(gè)，一個(gè)是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，另一個(gè)是當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)的取值范圍是，
綜合以上可得，的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的關(guān)鍵．
18．（2020?延慶區(qū)一模）對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，使得圖形上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部（或邊上），當(dāng)最小時(shí)，稱為圖形的點(diǎn)控制圓，此時(shí)，的半徑稱為圖形的點(diǎn)控制半徑．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，其中點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，正方形的點(diǎn)控制半徑為，正方形的點(diǎn)控制半徑為，請(qǐng)比較大?。? ；
（2）連接，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，直線；若存在正方形的點(diǎn)控制圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)控制半徑的定義，分別求出和的值即可得解．
（2）如圖所示：和的半徑均等于，分兩種情況：①當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，②當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則；分別求得兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出值，則可得答案．
【解答】解：（1）由題意得：，，
，
故答案為：．
（2）如圖所示：和的半徑均等于，
當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，
則直線的解析式為：，
設(shè)，
，
，
，
解得：或（舍，
，
，，
將，代入得：，
解得：．
當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，
同理，設(shè)直線的解析式為：，將代入得：
，
，
直線的解析式為：，
設(shè)，
，
，
，
（舍或，
，
，，
將，代入得：，
解得：，
存在正方形的點(diǎn)控制圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的新定義綜合題，綜合考查了勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、解方程及切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解控制圓和控制半徑的定義是解題的關(guān)鍵．
19．（2020?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，以為直徑作，點(diǎn)在軸上，且在點(diǎn)上方，過點(diǎn)作的切線，為切點(diǎn)，如果點(diǎn)在第一象限，則稱為點(diǎn)的離點(diǎn)．例如，圖1中的為點(diǎn)的一個(gè)離點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，為的離點(diǎn)．
①如圖2，若，則圓心的坐標(biāo)為 ，線段的長(zhǎng)為 ；
②若，求線段的長(zhǎng)；
（2）已知，直線．
①當(dāng)時(shí)，若直線上存在的離點(diǎn)，則點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為 ；
②記直線．在的部分為圖形，如果圖形上存在的離點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①由，，以為直徑作，得出，由切線的性質(zhì)得出，求出，，由勾股定理即可得出的長(zhǎng)；
②過作軸于點(diǎn)，連接，．求出．由勾股定理得．得出．求出．由勾股定理進(jìn)而得出答案；
（2）①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，的縱坐標(biāo)為4時(shí)，與圓相切，設(shè)，求出的解析式為，得出點(diǎn)橫坐標(biāo)為，得出，則，由得出方程，得出或，即可得出答案；
②求出經(jīng)過定點(diǎn)，由切割線定理得出，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的在端點(diǎn)和之間運(yùn)動(dòng)，求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值，即可得出答案；當(dāng)時(shí)，同理即可得出答案．
【解答】解：（1）①，，以為直徑作，
，
過點(diǎn)作的切線，為切點(diǎn)，
連接，則，如圖2所示：
在中，，
點(diǎn)，
，
，
故答案為；
②如圖3，過作軸于點(diǎn)，連接，．
，，
．
．
在中，由勾股定理可得．
．
，，
．
在中，由勾股定理可得．
在中，由勾股定理可得．
（2）①如圖1：當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
，
的縱坐標(biāo)為4時(shí)，與圓相切，
設(shè)，
，，
，
的解析式為，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
或，
的最大值為6；
故答案為：6．
②，
經(jīng)過定點(diǎn)，
是圓的切線，是圓的弦，
，如圖4所示：
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)的在端點(diǎn)和之間運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)時(shí)，，
以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與軸交于點(diǎn)，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與軸交于點(diǎn)，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目；考查了切線的性質(zhì)、新定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系解題是關(guān)鍵．
20．（2020?渠縣校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為．給出如下定義：若平面上一點(diǎn)到圓心的距離，滿足，則稱點(diǎn)為的“隨心點(diǎn)”．
（1）當(dāng)?shù)陌霃綍r(shí)，，，，，，中，的“隨心點(diǎn)”是 、 ；
（2）若點(diǎn)是的“隨心點(diǎn)”，求的半徑的取值范圍；
（3）當(dāng)?shù)陌霃綍r(shí)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若線段上存在的“隨心點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍 ．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）分別判斷、、、四個(gè)點(diǎn)到圓心的距離是否符合規(guī)定即可．
（2）先算出長(zhǎng)度，再根據(jù)“隨心點(diǎn)“的定義列出不等式組解出的取值范圍．
（3）已知，因此先算出和的值，由解析式可得、坐標(biāo)，由于直線與垂直，故聯(lián)立兩直線方程可解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式可得長(zhǎng)度（注意的符號(hào)未知，表示長(zhǎng)度應(yīng)加絕對(duì)值符號(hào)），線段上存在“隨心點(diǎn)“，則意味著且，列出不等式組即可解出的取值范圍．
【解答】解：（1），
，，
，
，
不是“隨心點(diǎn)”；
，
，
是“隨心點(diǎn)”；
，，
，
不是“隨心點(diǎn)”；
，，
，
是“隨心點(diǎn)”；
綜上所述，的“隨心點(diǎn)”是、．
故答案為：、；
（2），
，
因?yàn)槭堑摹半S心點(diǎn)”，
，即，
解得．
（3），
，，
直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
，，
過點(diǎn)且與直線垂直的直線解析式為，
聯(lián)立方程組：，解得：
直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，
線段上存在的隨心點(diǎn)，
，
解得或．
【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷、兩點(diǎn)間的距離公式、直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、解不等式組等重要知識(shí)點(diǎn)．深刻理解“隨心點(diǎn)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．

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