一、復(fù)習(xí)方法
1.以專(zhuān)題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專(zhuān)題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
函數(shù)中的新定義問(wèn)題
知識(shí)方法精講
1．一次函數(shù)的性質(zhì)
一次函數(shù)的性質(zhì)：
k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．
由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．
2．正比例函數(shù)的性質(zhì)
正比例函數(shù)的性質(zhì)．
3．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．
直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．
4．一次函數(shù)與一元一次不等式
（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系
從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
（2）用畫(huà)函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
對(duì)應(yīng)一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點(diǎn)為（﹣，0）．
當(dāng)k＞0時(shí)，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；
當(dāng)k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．
5．一次函數(shù)綜合題
（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題
首先要根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．
（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題
通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值．
（3）用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題
從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問(wèn)題．
6．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱(chēng)軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．
7．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；|a|還可以決定開(kāi)口大小，|a|越大開(kāi)口就越?。?br>②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
8．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣成軸對(duì)稱(chēng)，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱(chēng)軸為x＝．
9．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
10．二次函數(shù)的最值
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．
（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．
11．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
12．二次函數(shù)與不等式（組）
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系
①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．
②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．
13．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題
解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類(lèi)試題一般難度較大．解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．
14．解新定義題型的方法：
方法一 :從定義知識(shí)的新情景問(wèn)題入手
這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說(shuō)法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．因此在解這類(lèi)型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問(wèn)題；然后得出結(jié)論。
方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問(wèn)題入手
對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問(wèn)題，必須仔細(xì)研究前面的問(wèn)題解法．即前面解決問(wèn)題過(guò)程中用到的知識(shí)在后面問(wèn)題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問(wèn)題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問(wèn)題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟．
方法三：從日常生活中的實(shí)際問(wèn)題入手
對(duì)于一些新定義問(wèn)題，出題的方向通常借助生活問(wèn)題，那么處理此類(lèi)問(wèn)題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。
15．解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類(lèi)情況.
(3)類(lèi)比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.
一．選擇題（共3小題）
1．（2021秋?黔西南州期中）若將拋物線平移，有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的拋物線上，又在平移后的拋物線上，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．現(xiàn)將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新的拋物線，若為“平衡點(diǎn)”，則的值為
A．2B．1C．4D．3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換
【分析】將代入平移前拋物線解析式求得的值；然后將代入平移后拋物線解析式求得的值．
【解答】解：根據(jù)題意，將代入拋物線，
得到：，
所以“平衡點(diǎn)”為．
將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線．
將代入新拋物線，得．
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是理解“平衡點(diǎn)”的含義．
2．（2021?河南模擬）新定義：，，為二次函數(shù)，，，為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：的“圖象數(shù)”為，，，若“圖象數(shù)”是，，的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為
A．B．C．或2D．2
【考點(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為，然后根據(jù)判別式的意義得到△，從而解的方程即可．
【解答】解：二次函數(shù)的解析式為，
根據(jù)題意得△，
解得，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．
3．（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫做和諧矩形．已知點(diǎn)是拋物線上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則的值可以是
A．16B．4C．D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；矩形的性質(zhì)
【分析】根據(jù)和諧點(diǎn)的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出，的方程，求解，即可．
【解答】解：點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)是和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，
，
，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象特征和矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共2小題）
4．（2021?南潯區(qū)二模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足時(shí)，則的取值范圍是 或 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的最值
【分析】根據(jù)題干定義可得函數(shù)最大值或函數(shù)最小值，由可得函數(shù)最大值為可得，進(jìn)而可得函數(shù)最小值為直線與拋物線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：由題干可得函數(shù)在時(shí)，函數(shù)最大值或最小值為，，
，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
為函數(shù)最大值，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，直線與直線與拋物線交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)為最低點(diǎn)，
把代入得，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
或滿足題意．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握求二次函數(shù)最值的方法．
5．（2021?邗江區(qū)二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為．
拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為，點(diǎn)在該拋物線上．若點(diǎn)的變換點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且四邊形是菱形，則滿足該條件所有值的和為 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；菱形的性質(zhì)；關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)
【分析】利用菱形的性質(zhì)，可知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：四邊形是菱形，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
代入，得．
．
當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
代入，得．，．
綜上所述，的值是，，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
三．解答題（共17小題）
6．（2021秋?東城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中．的半徑為1，對(duì)于直線和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可以得到的弦，分別為，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
①在線段，，中，的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”是 ；
②若線段，，中，存在的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，則 ；
（2）已知直線交軸于點(diǎn)，在中，，．若線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最大值和最小值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】圓的綜合題
【分析】（1）①分別畫(huà)出線段，，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段，如圖，即可求解；
②從圖象性質(zhì)可知，直線與軸的夾角為，而線段直線，線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段還在直線上，顯然不可能是的弦；線段，的最長(zhǎng)的弦為2，得線段的對(duì)稱(chēng)線段不可能是的弦，而線段直線，線段，線段的對(duì)稱(chēng)線段線段線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形即可求解；
（2）先表示出，最大時(shí)就是最大，最小時(shí)就是長(zhǎng)最小，根據(jù)線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段在上，得，再由三角形三邊關(guān)系得，得當(dāng)為時(shí)，如圖3，最小，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)為時(shí)，如圖3，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情形分別求解．
【解答】解：（1）①分別畫(huà)出線段，，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段，如圖，
發(fā)現(xiàn)線段的對(duì)稱(chēng)線段是的弦，
線段，，中，的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”是，
故答案為：；
②從圖象性質(zhì)可知，直線與軸的夾角為，
線段直線，
線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段還在直線上，顯然不可能是的弦，
線段，的最長(zhǎng)的弦為2，
線段的對(duì)稱(chēng)線段不可能是的弦，
線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，
而線段直線，線段，
線段的對(duì)稱(chēng)線段線段線段，且線段，
平移這條線段，使其在上，有兩種可能，
第一種情況：、的坐標(biāo)分別為、，
此時(shí)；
第二種情況：、的坐標(biāo)分別為、，
此時(shí)，
故答案為：3或2；
（2）直線交軸于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
最大時(shí)就是最大，
最小時(shí)就是長(zhǎng)最小，
線段是的關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的“關(guān)聯(lián)線段”，
線段關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)線段在上，
，
在△中，，
當(dāng)為時(shí)，如圖3，最小，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入直線中，
，解得：，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，，
，
在△中，；
當(dāng)為時(shí)，如圖3，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入直線中，
，解得：，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，，
，
在△中，，
的最大值為，；最小值為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了以圓為背景的閱讀理解題，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找出不同情境下的“關(guān)聯(lián)線段”和閱讀理解能力．
7．（2021秋?長(zhǎng)沙期末）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線為常數(shù)）對(duì)稱(chēng)，則把該函數(shù)稱(chēng)之為“函數(shù)”．
（1）在下列關(guān)于的函數(shù)中，是“函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“”，不是“函數(shù)”的打“”．
①
②
③
（2）若關(guān)于的函數(shù)為常數(shù)）是“（2）函數(shù)”，與為常數(shù)，相交于，、，兩點(diǎn)，在的左邊，，求的值；
（3）若關(guān)于的“函數(shù)” ，為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）①設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；
②設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；
③設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；
（2）由題意可求，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，求出，再由由對(duì)稱(chēng)性可知，，求出，設(shè)，則，求出十，，，可得，即可求，則；
（3）先判斷“函數(shù)”為，分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)，即時(shí)，一，則；⑧當(dāng)時(shí)，十，則（舍去）：④時(shí)，，則（舍去）．
【解答】解；（1）①設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
令，則，
若，則，
不是“函數(shù)”；
②設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
令，則，
若，則或，
是“函數(shù)”；
③設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，
令，則，
若，
則有或，
是“函數(shù)”；
故答案為：，，；
（2）一是“（2）”函數(shù)，
，
如圖，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，
，，
，
由對(duì)稱(chēng)性可知，，
，，
，
，
設(shè)，則，
十，，，
，
，
，
；
（3）由題意得，
解得，
此“函數(shù)”為，
①當(dāng)時(shí)，
時(shí)，，
時(shí)，十，
，
；
②當(dāng)，即時(shí)，
時(shí)，十，
時(shí)，，
一，
；
⑧當(dāng)時(shí)，
時(shí)，，
時(shí)，十，
十，
（舍去）
④時(shí)，
時(shí)，，
時(shí)，十，
，
（舍去），
綜上所述：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)的綜合題，理解新函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?寶安區(qū)期末）定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)稱(chēng)為一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”．例如求的“不動(dòng)點(diǎn)”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動(dòng)點(diǎn)”為．
（1）由定義可知，一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為 ；
（2）若一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，求、的值；
（3）若直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且直線上沒(méi)有“不動(dòng)點(diǎn)”，若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題
【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立，即可求解；
（2）由定義可知一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，再將點(diǎn)代入即可求的值；
（3）由題意可知直線與直線平行，則有，在求出，，設(shè)，由，可得，即可點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）聯(lián)立，
解得，
一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，
故答案為：；
（2）一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，
，
，
“不動(dòng)點(diǎn)”為，
，
解得；
（3）直線上沒(méi)有“不動(dòng)點(diǎn)”，
直線與直線平行，
，
，
，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
或，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?昌平區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，給出如下定義：若且，我們稱(chēng)點(diǎn)是線段的“潛力點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．
（1）在，，，中是線段的“潛力點(diǎn)”是 ；
（2）若點(diǎn)在直線上，且為線段的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)線段上存在線段的“潛力點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題
【分析】（1）在坐標(biāo)系中找到，，，三點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離可直接得出結(jié)論；
（2）經(jīng)過(guò)分析可知，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓外，且在線段垂直平分線的左側(cè)，且點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．畫(huà)出點(diǎn)的范圍，找到此范圍中符合題意的點(diǎn)，即可求解．
（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可找到臨界狀態(tài)，畫(huà)出圖形，求出對(duì)應(yīng)的的值即可．
【解答】解：（1）在坐標(biāo)系中找到，，，三點(diǎn)，如圖，
根據(jù)“潛力點(diǎn)”的定義，可知是線段的潛力點(diǎn)．
故答案為：；
（2）點(diǎn)為線段的“潛力點(diǎn)”，
且，
，
點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓外．
，
點(diǎn)在線段垂直平分線的左側(cè)．
，
點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．
又點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)在如圖所示的線段上（不包含點(diǎn)．
由題意可知和是等腰三角形
．
（3）如圖①，當(dāng)直線與半徑長(zhǎng)為2的圓相切時(shí)，開(kāi)始有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)是“潛力點(diǎn)”；
過(guò)點(diǎn)作，
則，，
，
則；
點(diǎn)繼續(xù)當(dāng)下運(yùn)動(dòng)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，開(kāi)始沒(méi)有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；
此時(shí)；
如圖③，當(dāng)點(diǎn)與，重合時(shí)，開(kāi)始有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；
此時(shí)；
如圖④，當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)時(shí)，開(kāi)始沒(méi)有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；
此時(shí)，，
，
．
綜上所示，的取值范圍為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了解兩點(diǎn)間的距離，“潛力點(diǎn)”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
10．（2021秋?房山區(qū)期末）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的中，其最大值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）函數(shù)①和②中是有上界函數(shù)的為 ② （只填序號(hào)即可），其上確界為 ；
（2）如果函數(shù)的上確界是，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過(guò)，求的取值范圍；
（3）如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的最大值即可求解；
（2）由題意可知：，再由，，，即可求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，，可得（舍；當(dāng)時(shí)，，可得（舍；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得．
【解答】解：（1）①，
①無(wú)上確界；
②，
，
②有上確界，且上確界為1，
故答案為：②，1；
（2），隨值的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
上確界是，
，
函數(shù)的最小值不超過(guò)，
，
，
，
，
，
的取值范圍為：；
（3）的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
為上確界，
，
（舍；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
為上確界，
，
（舍；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
為上確界，
，
；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
為上確界，
，
，
綜上所述：的值為2.4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類(lèi)討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．
11．（2021?海滄區(qū)模擬）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），若是等腰三角形，則稱(chēng)拋物線是“理想拋物線”．
（1）判斷拋物線是否為“理想拋物線”，并說(shuō)明理由；
（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線是“理想拋物線”．
①若點(diǎn)，，是拋物線上另兩點(diǎn)，滿足當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)始終在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且線段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求此拋物線的解析式；
②是否存在整數(shù)使得，且？若存在，求出所有滿足條件的整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）根據(jù)“理想拋物線”的定義可直接判斷；
（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；當(dāng)為底邊時(shí)，當(dāng)為腰時(shí)，分兩種情況討論；
②是的高，且，開(kāi)口向上，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，用極端假設(shè)法可知，，時(shí)，，必然有，則，且，所以，要使，
則必然小于1，且不為0，所以不存在符合要求的整數(shù)．
【解答】解：（1）是，理由如下：
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線：，
該拋物線是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
垂直平分，
為等腰三角形，
是為“理想拋物線”；
（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；
當(dāng)為底邊時(shí)，，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
，，
的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
又是等腰三角形，
，
是等邊三角形；
又，
，
；
拋物線的交點(diǎn)式為：，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，
此時(shí)拋物線的解析式為：；
當(dāng)為腰時(shí)，，仍滿足，，
，，
，，
必有點(diǎn)在點(diǎn)上方，則，
對(duì)稱(chēng)軸直線，
，
，
，，，
又，得，；
此時(shí)拋物線的解析式為：；
②不存在，理由如下：
是的高，且，開(kāi)口向上，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
，
用極端假設(shè)法可知，，時(shí)，，
必然有，則，且，
，要使，
則必然小于1，且不為0，
不存在符合要求的整數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)背景下新定義問(wèn)題，涉及二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是理解“理想拋物線”的定義．
12．（2021?龍巖模擬）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：過(guò)點(diǎn)作軸和軸的垂線，垂足分別為，，若圖形中的任意一點(diǎn)滿足且，則稱(chēng)四邊形是圖形的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)．例：若，，則點(diǎn)為線段的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn)．已知，，，求解下列問(wèn)題：
（1）在，，中，是的覆蓋特征點(diǎn)的有 ， ；
（2）若在一次函數(shù)的圖象上存在的覆蓋的特征點(diǎn)，求的取值范圍．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式
【分析】（1）由定義，，是的覆蓋特征；
（2）當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，為的覆蓋特征點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求出是的臨界值；則可求的取值范圍為且．
【解答】解：（1）由定義可知，，是的覆蓋特征，
故答案為：，；
（2）①當(dāng)時(shí)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，為的覆蓋特征點(diǎn)，
點(diǎn)在一次函數(shù)上，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，
，
，
，
綜上所述：且．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，理解題意，根據(jù)所給條件，確定是的覆蓋特征點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?拱墅區(qū)月考）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于函數(shù)，若當(dāng)，函數(shù)值滿足，且滿足，則稱(chēng)此函數(shù)為“系和諧函數(shù)”．
（1）已知正比例函數(shù)為“系和諧函數(shù)”，請(qǐng)求出的值；
（2）若一次函數(shù)為“3系和諧函數(shù)”，求的值；
（3）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是“系和諧函數(shù)”，求的取值范圍．
【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】（1）由題意可得，求出的值即可；
（2）分兩種情況求：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；分別求出即可；
（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，求出；②當(dāng)時(shí)，，求出；③當(dāng)時(shí)，，求出；④當(dāng)時(shí)，，求出；綜上所述可得．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
當(dāng)時(shí)，，
，
；
當(dāng)時(shí)，，
，
；
綜上所述：；
（3），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
③當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
④當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
綜上所述：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的新定義，能夠理解新定義，并將定義應(yīng)用到一次函數(shù)、二次函數(shù)中，結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．
14．（2021秋?西平縣期中）二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．
【感知特例】
（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，’， ，，，如表：
①補(bǔ)全表格；
②在圖1中描出表中對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．
【形成概念】
我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．
【探究問(wèn)題】
（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線” 的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為 ；
②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線” 都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是 （填“”或“”或“”或“”，其中；
③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）①利用中心對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)即可求出點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；
②在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)即可；
（2）①利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸，利用點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)性求出“孔像拋物線” 的頂點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而“孔像拋物線” 解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②利用（2）①的結(jié)論，設(shè)這條拋物線的解析式為，令，利用這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線” 都有唯一交點(diǎn)，得到△．由題意可知：△的取值與無(wú)關(guān)，由此得到方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
③由題意得：．利用二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，可得直線必經(jīng)過(guò)這兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，利用分類(lèi)討論的思想方法，令分別經(jīng)過(guò)和的頂點(diǎn)，從而得到關(guān)于的方程，解方程即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）①點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是點(diǎn)本身，
．
故答案為：2；0；
②在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為如下圖：
（2）①當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為：，
，
拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，
，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)為，
拋物線的“孔像拋物線” 的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)為，
拋物線的“孔像拋物線” 的解析式為：．
，
拋物線的開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，拋物線與它的“孔像拋物線” 的函數(shù)值都隨著的增大而減小，
故答案為：．
②，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，，
拋物線的“孔像拋物線” 的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)為，
拋物線的“孔像拋物線” 的解析式為：，
設(shè)這條拋物線的解析式為，
令，
整理得：．
這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線” 都有唯一交點(diǎn)，
△．
展開(kāi)得：．
．
當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線” 都有唯一交點(diǎn)，
△的取值與無(wú)關(guān)，
，
解得：．
．
這條拋物線的解析式可能是，
故答案為：，
③，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，，
拋物線的“孔像拋物線” 的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)為，
拋物線的“孔像拋物線” 的解析式為：，
由題意得：．
直線是縱坐標(biāo)為且與軸平行的直線，
二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，
直線必經(jīng)過(guò)這兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，
，
或（舍去）．
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，
，
或（舍去）．
綜上，的值為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與軸的交點(diǎn)，本題是閱讀型題目，理解題干中的新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?大同期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
定義：我們把自變量為的二次函數(shù)與稱(chēng)為一對(duì)“親密函數(shù)”，如的“親密函數(shù)”是．
任務(wù)：
（1）寫(xiě)出二次函數(shù)的“親密函數(shù)”： ；
（2）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，它的“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，猜想二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是 ；
（3）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論直接寫(xiě)出二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)與不等式（組
【分析】（1）根據(jù)題意得親密函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)為相反數(shù)，進(jìn)而求解．
（2）根據(jù)函數(shù)與其親密函數(shù)的解析式可得兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而求解．
（3）由的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和可得與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和2021，將化為求解．
【解答】解：（1）由題意得，
故答案為：．
（2）二次函數(shù)的親密函數(shù)為，
令，
解得或，
拋物線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4和，
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，的親密函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，
與其親密函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
兩圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
故答案為：4和，互為相反數(shù)．
（3）的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，
與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和2021，
，
和時(shí)，，
即和是圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
16．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）已知是關(guān)于的函數(shù)，若存在時(shí)，函數(shù)值，則稱(chēng)函數(shù)是關(guān)于的倩影函數(shù)，此時(shí)點(diǎn)叫該倩影函數(shù)的影像點(diǎn)．例如對(duì)于函數(shù)，若存在時(shí)，函數(shù)值，則，解得，則函數(shù)是倩影函數(shù)，點(diǎn)，是函數(shù)的影像點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)是否為倩影函數(shù)．如果是，請(qǐng)求出影像點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)．
①求證：該函數(shù)總有兩個(gè)不同的影像點(diǎn)；
②是否存在一個(gè)值，使得函數(shù)的影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)，如果存在，請(qǐng)求出的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【分析】（1）把點(diǎn)代入，有解則是倩影函數(shù)，求出影像點(diǎn)；
（2）①把點(diǎn)代入，得到關(guān)于的二次方程，用根式判別式證明；
②在①的條件下，求出的值，結(jié)合為整數(shù)求出的值．
【解答】（1）解：函數(shù)是倩影函數(shù)，
由題意得：把點(diǎn)代入得：
解得：，，
函數(shù)是倩影函數(shù)，影像點(diǎn)為，；
（2）①證明：把點(diǎn)代入得：，
化簡(jiǎn)得：，
△，
該函數(shù)總有兩個(gè)不同的影像點(diǎn)．
②解：由①得，方程的解為：，
影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)，
是6的整數(shù)倍，且為整數(shù)，
設(shè)為整數(shù)），
化簡(jiǎn)得：，
解得：，
或3，
當(dāng)時(shí)，（舍，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，，，不符合題意，
綜上所述：不存在的值，使得影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為背景，考查了反比例函數(shù)和一元二次方程的解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把代入函數(shù)解析式后，結(jié)合根式判別式△判斷一元二次方程的根情況．
17．（2021秋?長(zhǎng)沙期中）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)該點(diǎn)為“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”．例如，都是“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”．
（1）求函數(shù)圖象上的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”坐標(biāo)；
（2）函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）若拋物線上有且只有一個(gè)“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)” ，該拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）根據(jù)題意一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，聯(lián)立和直線解析式即可求解；
（2）假設(shè)函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)” ，根據(jù)（1）的方法求解即可；
（3）根據(jù)新定義，聯(lián)立拋物線和，令判別式等于0，求得的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，進(jìn)而求得，的長(zhǎng)度相等，即可求解．
【解答】解：（1）由題意，聯(lián)立方程組可得，
解得：，
函數(shù)圖象上的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”坐標(biāo)為，；
（2）假設(shè)函是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)” ，
則有①，
整理，得，
當(dāng)，即時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程①無(wú)解；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”的坐標(biāo)為，；當(dāng)時(shí)，不存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”；
（3），理由如下：
拋物線上有且只有一個(gè)“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)” ，
，
整理，可得，
當(dāng)△時(shí)，
解得：，
，
解得：，，
，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，，
是“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，
，
解得：，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
是等腰直角三角形，
即．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，理解新定義與掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的差稱(chēng)為點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，而圖形上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱(chēng)為圖形的“特征值”．
（1）①點(diǎn)的“坐標(biāo)差”為 2 ；
②拋物線的“特征值”為 ；
（2）某二次函數(shù)的“特征值”為1，點(diǎn)與點(diǎn)分別是此二次函數(shù)的圖象與軸和軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等．
①直接寫(xiě)出 ；（用含的式子表示）
②求的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)
【分析】（1）①根據(jù)可得坐標(biāo)差；
②計(jì)算，并配方成頂點(diǎn)式可得結(jié)論；
（2）①根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等，推出，可得的值；
②將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，根據(jù)二次函數(shù)的“特征值”為1，可求出的值即可．
【解答】解：（1）①，
故答案為：2；
②，
，
的最大值是4，
拋物線的“特征值”為4；
故答案為：4；
（2）①由題知，
點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等，
，
，
故答案為：；
②由①知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，
得，
，
二次函數(shù)的“特征值”為1，
的最大值為1，
，
，
解得：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的新定義問(wèn)題，正確理解坐標(biāo)差和特征值的定義是解題的關(guān)鍵．
19．（2021?渝北區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖①，定義：直線與、軸分別相交于、兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)、、的拋物線叫做直線的“糾纏拋物線”，反之，直線叫做的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”．
（1）若，則糾纏拋物線的函數(shù)解析式是 ．
（2）判斷并說(shuō)明與是否“互為糾纏線”．
（3）如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）根據(jù)糾纏線的定義，若，則點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，則可以設(shè)拋物線為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（2）由題意可得點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，則拋物線的函數(shù)解析式為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）根據(jù)題意得到點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，同理可得拋物線的函數(shù)解析式，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，由題意得：，即：，即可求解．
【解答】解：（1）若，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，
設(shè)糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，
故答案為：；
（2）同（1）得：點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，
設(shè)糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，
與是“互為糾纏線”；
（3）同（1）得：點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，
同理可得：糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，
則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：，
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并求得：
直線的表達(dá)式為：，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)、橫坐標(biāo)差為1，縱坐標(biāo)差為，
以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，
由題意得：，即：，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，則點(diǎn)；
同理當(dāng)時(shí)，點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是新定義、二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握新定義和平行四邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
20．（2021秋?諸暨市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下定義：
若，則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的“可控變點(diǎn)“
例如：點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的”可控變點(diǎn)”為點(diǎn)．
（1）點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為 ；
（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其“可控變點(diǎn)” 的縱坐標(biāo)是7，求“可控變點(diǎn)” 的橫坐標(biāo)：
（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其“可控變點(diǎn)” 的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求
的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【分析】（1）根據(jù)可控變點(diǎn)的定義，可得答案
（2）根據(jù)可控變點(diǎn)的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案
（3）根據(jù)可控變點(diǎn)的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案
【解答】解（1）
即點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”坐標(biāo)為
（2）由題意得的圖象上的點(diǎn)的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)
的圖象上，
“可控變點(diǎn)” 的縱坐標(biāo)的是7
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，解得
故答案為：3或
（3）由題意得，
，
觀察圖象可知，實(shí)數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題型，根據(jù)可控變點(diǎn)的定義，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案
21．（2021秋?龍泉市期中）同學(xué)們，我們所認(rèn)識(shí)的拋物線還可以這樣定義：把平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．其中，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．例如函數(shù)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．
（1）若點(diǎn)在拋物線上，請(qǐng)驗(yàn)證點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等．
（2）已知函數(shù)，直接寫(xiě)出該函數(shù)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
（3）在（2）的條件下，過(guò)焦點(diǎn)的任意直線交拋物線于點(diǎn)，，分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，判斷的形狀并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）由定義可求，準(zhǔn)線，即可證明；
（2）由，可求，，準(zhǔn)線方程；
（3）根據(jù)拋物線的定義可知，，，求出，，再由，，即可判斷是直角三角形．
【解答】解：點(diǎn)在拋物線上，
，
，
，
，
，
點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，
點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等；
（2），
拋物線向右平移了個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，
，，準(zhǔn)線方程；
（3）根據(jù)拋物線的定義可知，，，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解拋物線的定義，會(huì)求拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，并能靈活應(yīng)用定義是解題的關(guān)鍵．
22．（2021秋?金安區(qū)期中）【閱讀理解】已知關(guān)于，的二次函數(shù)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故不論取何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)都在直線上，我們稱(chēng)頂點(diǎn)位于同一條直線上且形狀相同的拋物線為同源二次函數(shù)，該條直線為根函數(shù)．
【問(wèn)題解決】
（1）若二次函數(shù)和是同源二次函數(shù)，求它們的根函數(shù)；
（2）已知關(guān)于，的二次函數(shù)，完成下列問(wèn)題：
①求滿足二次函數(shù)的所有二次函數(shù)的根函數(shù)；
②若二次函數(shù)與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)到軸的最小距離，并求出此時(shí)的值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題
【分析】（1）利用配方法分別求出兩條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用根函數(shù)的定義，求出過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)的直線的解析式即可得出結(jié)論；
（2）①利用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用根函數(shù)的定義，寫(xiě)出頂點(diǎn)滿足的一次函數(shù)的解析式即可；
②由題意得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用配方法求得點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1），
該拋物線的頂點(diǎn)為；
，
該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的解析式為，
，
解得：．
．
它們的根函數(shù)為直線．
（2）①，
該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)頂點(diǎn)在直線上，
．
解得：，
頂點(diǎn)在直線上，
滿足二次函數(shù)的所有二次函數(shù)的根函數(shù)為．
②二次函數(shù)與直線交于點(diǎn)，
．
．
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，由最小值為6．
點(diǎn)到軸的最小距離為6，此時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是閱讀型題目，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，配方法求函數(shù)的極值，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確理解并熟練應(yīng)用題干中的新定義是解題的關(guān)鍵． 2 ，

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