一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
四邊形中的新定義問題
知識方法精講
1．解新定義題型的方法：
方法一 :從定義知識的新情景問題入手
這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。
方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手
對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運(yùn)用的方法步驟．
方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手
對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。
2．解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.
3．多邊形
（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．
（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．
（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．
（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．
（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心．
常見圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形．
日期：2022/2/3 18:26:37；用戶：13632669984；郵箱：13632669984；學(xué)
一．填空題（共3小題）
1．（2021?梓潼縣模擬）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為 9 ．
【考點(diǎn)】解直角三角形
【分析】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接．解直角三角形求出，即可解決問題
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接．
在中，，
可以假設(shè)，，則，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，
，
．
故答案為：9．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
2．（2020秋?武漢期中）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四邊形中，，，，，則線段 ．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
【分析】對余四邊形的定義得出，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則，，得出，，，則是等邊三角形，得出，易證，由，得出，則，由勾股定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：對余四邊形中，，
，
，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，如圖所示，
，
，，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了對余四邊形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握對余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2020?奉化區(qū)校級模擬）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．如圖，在中，，，，將沿的平分線的方向平移，得到，連接，，若四邊形是等鄰邊四邊形，則平移距離的長度是 1或 ．
【考點(diǎn)】勾股定理；平移的性質(zhì)
【分析】由平移的性質(zhì)得到，，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，；②如圖，當(dāng)時(shí)，③如圖2，當(dāng)時(shí)，則，延長交于，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：將平移得到△，
，，，，，
①如圖1，當(dāng)時(shí)，；
②如圖1，當(dāng)時(shí)，
，是的角平分線，
，
延長交于，
，，
，
，
設(shè)，
，，，
，
，
整理方程為：，
△，
此方程無實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在；
③如圖2，當(dāng)時(shí)，則，
延長交于，
，，
，
，
設(shè)，
，，，
，
，
解得：，
，
綜上所述，若四邊形是等鄰邊四邊形，則平移距離的長度是1或，
故答案為：1或．
【點(diǎn)評】此題主要考查勾股定理，平移的性質(zhì)，理解“等鄰邊四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵．
二．解答題（共18小題）
4．（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，△，若，，且，我們稱與△互為“頂補(bǔ)三角形”．
（1）如圖2，是等腰三角形，，是等腰直角三角形，連接；求證：與互為頂補(bǔ)三角形．
（2）在（1）的條件下，與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，四邊形中，，．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使與互為頂補(bǔ)三角形，若存在，請畫出圖形，并證明；若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】三角形綜合題
【分析】（1）等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，可證，可得結(jié)論；
（2）先證是的垂直平分線，再由“”可證，可得，即可得結(jié)論；
（3）延長交延長線于點(diǎn)，作的垂直平分線交的垂直平分線于點(diǎn)，連接，，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，可證，即可證與互為“頂補(bǔ)三角形”．
【解答】（1）證明：是等腰三角形，，是等腰直角三角形，
，，
，
，
與互為頂補(bǔ)三角形；
（2），理由如下：
如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
是等腰三角形，，是等腰直角三角形，
，，，
，
，，，
，
，
，
又，，
，
，
又，
是的垂直平分線，
又，
，
，
又，
，，
，
，
，
又，，
，
，
．
（3）證明：如圖，延長交延長線于點(diǎn)，作的垂直平分線交的垂直平分線于點(diǎn)，連接，，，，
垂直平分，垂直平分，
，，，，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，且，，
與互為“頂補(bǔ)三角形”．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
5．（2021?任城區(qū)校級三模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：
請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子： 矩形或正方形 ；
（2）問題探究；
如圖1，在等鄰角四邊形中，，，的中垂線恰好交于邊上一點(diǎn)，連結(jié)，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）應(yīng)用拓展；
如圖2，在與中，，，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到△（如圖，當(dāng)凸四邊形為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題
【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；
（2）結(jié)論：，證明；
（3）分兩種情況考慮：Ⅰ、當(dāng)時(shí)，延長，交于點(diǎn)，如圖1，由，求出四邊形面積；
Ⅱ、當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2，由，求出四邊形面積即可．
【解答】解：（1）矩形或正方形是一個(gè)等鄰角四邊形．
故答案為：矩形，正方形；
（2）結(jié)論：，
理由：連接，，如圖1所示：
是的垂直平分線，是的垂直平分線，
，，
，，
，，即，
，
，
；
（3）分兩種情況考慮：
當(dāng)時(shí)，延長，交于點(diǎn)，
如圖所示，
，
，
設(shè)，
由勾股定理得：，
解得：，
過點(diǎn)作于，
，
△，
，即，
解得：，
；，
則；
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
如圖所示，
四邊形是矩形，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
，，
則．
【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考?？碱}．
6．（2020秋?崇川區(qū)期末）定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對的邊上一點(diǎn)，如果所得線段把三角形的周長分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長平分線”．
（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是 ② （只要填序號）；
①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線．
（2）如圖1，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，．取中點(diǎn)，連接．求證：是的“周長平分線”．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取，的中點(diǎn)，，如圖2．請?jiān)谏险尹c(diǎn)，，使為的“周長平分線”， 為的“周長平分線”．
①用無刻度直尺確定點(diǎn)，的位置（保留畫圖痕跡）；
②若，，直接寫出的長．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題
【分析】（1）由等腰三角形的底邊上的中線平分底邊可求解；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；
（3）①由是的中垂線，是的中垂線可求解；
②如圖2，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，由“”可證，可得，，由勾股定理可求，的長，即可求解．
【解答】（1）解：一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是底邊上的中線，
故答案為：②；
（2）證明：如圖1，延長，交于點(diǎn)，連接，
，
，，
為的中點(diǎn)，
，，，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
是的“周長平分線”；
（3）①如圖2，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)為所求，
②如圖2，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
點(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，
是的中垂線，是的中垂線，
，，
，
，
，
同理可求，
．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，理解三角形的“周長平分線”的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
7．（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】
在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．
【理解應(yīng)用】
（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù) 130 ；
（2）如圖，四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，且，求證：；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，求的值．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）分三種情況考慮：①由為鄰等邊，②由為鄰等邊，③由為鄰等邊，根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；
（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；
（3）分兩種情況：①若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由為鄰等邊，則有，可證，可得，設(shè)點(diǎn)，由三角函數(shù)可求，可求、橫坐標(biāo)之差為2，，將，，，，代入得：，由于在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式即可求得答案；
②若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)，可得，同①方法即可求得答案．
【解答】解：（1）①若為鄰等邊，則，
不為凸四邊形，所以舍去；
②若為鄰等邊，則，
（舍；
③若為鄰等邊，則，
，
．
故答案為：130；
（2）證明：四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，
，
，
，
，，
，
；
（3）①若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
為鄰等邊，
，
，
，
，，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)，
，，
，
，，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
△，
，
點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
；
②若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，，
，
，
，
由①得：，，，
，，，，
，
，
在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
△，
，
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
；
綜上所述，．
【點(diǎn)評】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程是解題關(guān)鍵．
8．（2021秋?駐馬店期中）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．
（1）矩形 是 垂等四邊形（填“是”或“不是” ；
（2）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，，分別在，，邊上．若四邊形是垂等四邊形，且，，求證：；
（3）如圖2，在中，，，，以為對角線，作垂等四邊形，過點(diǎn)作的延長線的垂線，垂足為，且與相似，求四邊形的面積．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；
（2）通過的性質(zhì)推知；然后根據(jù)四邊形是垂等四邊形的性質(zhì)知；最后由等量代換證得結(jié)論；
（3）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，構(gòu)造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四邊形四邊形的性質(zhì)知．
分兩種情況：當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果；
當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果．
【解答】（1）解：矩形有一組鄰邊垂直且對角線相等，故矩形是垂等四邊形．
故答案為：是；
（2）證明：四邊形為正方形，
，．
又，
，
．
四邊形是垂等四邊形，
，
；
（3）解：如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，
四邊形為矩形．
，
．
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，即，
，．
四邊形為垂等四邊形，
．
第一種情況：
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
．
在中，根據(jù)勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二種情況：
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
．
在中，根據(jù)勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
綜上所述，四邊形的面積為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題主要考查了相似綜合題，綜合運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)解題，解題的關(guān)鍵是掌握“垂等四邊形”的定義，另外解題過程中，注意方程思想的應(yīng)用．難度較大．
9．（2021秋?市北區(qū)期中）閱讀理解：
如圖1，在四邊形的邊上任取一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），分別連接，，可以把四邊形分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把叫做四邊形的邊上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把叫做四邊形的邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)．
解決問題：
（1）如圖1，，試判斷點(diǎn)是否是四邊形的邊上的相似點(diǎn)，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形中，，，，，，四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)最小正方形的邊長為的格點(diǎn)（即每個(gè)最小正方形的頂點(diǎn)）上，若圖2中，矩形的邊上存在強(qiáng)相似點(diǎn)，則 或 ；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若點(diǎn)恰好是四邊形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究和的數(shù)量關(guān)系．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)可得，則可證明；
（2）根據(jù)強(qiáng)相似點(diǎn)的定義，可找出符合條件的點(diǎn)，即可得出答案；
（3）由題意知，則，可說明點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而解決問題．
【解答】解：（1）是，理由如下：
，，
，
又，
，
點(diǎn)是否是四邊形的邊上的相似點(diǎn)；
（2）如圖，
故或．
故答案為：或；
（3）點(diǎn)恰好是四邊形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
，
，
，
，
，
即．
【點(diǎn)評】本題是四邊形中的新定義題，主要考查了對新定義的理解，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，讀懂題意，熟悉基本模型是解題的關(guān)鍵．
10．（2021秋?蘇家屯區(qū)期中）我們定義對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
如圖點(diǎn)是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，已知，，，對角線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是垂美四邊形；
（2）猜想四邊形兩組對邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）若，，，則的長為 ．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題
【分析】（1）先，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)垂美四邊形的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理可得和的長，代入（2）中的結(jié)論可得的長．
【解答】（1）證明：，
，
即，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是垂美四邊形；
（2）解：猜想：；理由如下：
，
，
由勾股定理得，，
，
；
（3）和是等腰直角三角形，且，，
，，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
11．我們學(xué)過了特殊的四邊形，體驗(yàn)了通過作平行線、垂線、延長線等常用方法，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的重要思想．除了我們學(xué)過的特殊四邊形，還有很多特殊四邊形．我們定義：四邊形中，除一邊以外其余的部分都在這條邊的同側(cè)，這個(gè)四邊形就叫做凸四邊形；有一組鄰角相等的凸四邊形就叫做“等鄰角四邊形”，根據(jù)這個(gè)定義，請解決下列問題．
（1）概念理解
如圖（1），在中，于，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、、、、，寫一個(gè)圖形中的“等鄰角四邊形”： 四邊形 （不再添加除圖形以外的字母）；
（2）解決問題
如圖（2），四邊形是“等鄰角四邊形”，且，延長、交于點(diǎn)．
求證：；
（3）探索研究
如圖（3），中，，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形成為“等鄰角四邊形”時(shí)，求四邊形的面積．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得，所以，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，所以，得到，進(jìn)一步推理即可得到四邊形為“等鄰角四邊形”；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證，，得，進(jìn)一步變形即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況考慮：①，四邊形為直角梯形，根據(jù)梯形面積公式求出即可，②時(shí)，，求出和即可，③時(shí)，，求出和即可．
【解答】（1）解：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
四邊形為凸四邊形，
四邊形為“等鄰角四邊形”，
故答案為：四邊形；
（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分三種情：
①當(dāng)時(shí)，如圖：
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
②當(dāng)時(shí)，如圖：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
中，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
③當(dāng)時(shí)，如圖：
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
，
綜上所述，四邊形的面積為．
【點(diǎn)評】本題是相似綜合題，理解新定義的條件，正確作出輔助線，找到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是難點(diǎn)．
12．（2021?鄞州區(qū)模擬）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形稱為垂等四邊形．
（1）寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是 矩形 ；
（2）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，，分別在，，上，四邊形是垂等四邊形，且，．
①求證：；
②若，求的值；
（3）如圖2，在中，，，以為對角線，作垂等四邊形．過點(diǎn)作的延長線的垂線，垂足為，且與相似，求四邊形的面積．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；
（2）①通過的性質(zhì)推知；然后根據(jù)四邊形是垂等四邊形的性質(zhì)知；最后由等量代換證得結(jié)論；
②如圖1，過點(diǎn)作，垂足為，首先證明為等腰直角三角形，則；然后證得為等腰直角三角形；再次，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得到：，．代入求值即可；
（3）解：如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，構(gòu)造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四邊形四邊形的性質(zhì)知．
分兩種情況：當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果；
當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果．
【解答】（1）解：矩形有一組鄰邊垂直且對角線相等，故矩形的垂等四邊形．
故答案是：矩形；
（2）①證明：四邊形為正方形，
，．
又，
，
．
四邊形是垂等四邊形，
，
．
②解：如圖1，過點(diǎn)作，垂足為，
四邊形為矩形，
．
由①知，
．
由題意知，，，
，
即，
為等腰直角三角形，
．
又，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，．
，
．
（3）解：如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，
四邊形為矩形．
，
．
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，即，
，．
四邊形為垂等四邊形，
．
第一種情況：
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
．
在中，根據(jù)勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二種情況：
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
．
在中，根據(jù)勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
綜上所述，四邊形的面積為或．
【點(diǎn)評】本題主要考查了相似綜合題，綜合運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)解題，解題的關(guān)鍵是掌握“垂等四邊形”的定義，另外解題過程中，注意方程思想的應(yīng)用．難度較大．
13．（2021秋?鄞州區(qū)月考）新定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）已知：如圖1，四邊形是“等對角四邊形”， ，，，求，的度數(shù)
（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時(shí)：小紅畫了一個(gè)“等對角四邊形” （如圖，其中，，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)成立．請你證明此結(jié)論
（3）已知：在“等對角四邊形中，，，，．求對角線的長．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題
【分析】（1）根據(jù)四邊形是“等對角四邊形”得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）連接，根據(jù)等邊對等角得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，延長，相交于點(diǎn)，先用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，得出，再用三角函數(shù)求出，由勾股定理求出；
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，先求出、，再由矩形的性質(zhì)得出，，求出、，根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：四邊形是“等對角四邊形”， ，，，
，
；
（2）證明：如圖2，連接，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，延長，相交于點(diǎn)，如圖3所示：
，，，，
，
，
，
，，
，
；
②當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖4所示：
則，四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
．
綜上所述：的長為或．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了新定義、四邊形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、矩形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論，通過作輔助線運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結(jié)果．
14．（2021?新吳區(qū)二模）定義：長寬比為為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個(gè)矩形，如圖所示．
操作1：將正方形沿過點(diǎn)的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，折痕為．
操作2：將沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)、點(diǎn)分別落在邊，上，折痕為．則四邊形為矩形．
（1）證明：四邊形為矩形；
（2）點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．
①如圖，是對角線的中點(diǎn)，若點(diǎn)在邊上，，連接．求的值；
②若，點(diǎn)在邊上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的值；
③連接，作，垂足為．若，則的最小值 2 ．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出四邊形是矩形，再求出的值，即可得出結(jié)論；
（2）①如圖，先判斷出四邊形是矩形，進(jìn)而得出，，再判斷出，進(jìn)而判斷出．，即可得出結(jié)論；
②作關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則的周長最小，判斷出，得出．進(jìn)而得出．即可得出結(jié)論；
③先求出，再判斷出點(diǎn)是為直徑的圓上，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）設(shè)正方形的邊長為，
是正方形的對角線，
，
由折疊性質(zhì)可知，，
則四邊形為矩形，
是等腰直角三角形．
，
．
四邊形為矩形；
（2）①解：如圖，作，，垂足分別為，．
四邊形是矩形，，
四邊形是矩形．
，，．
，．
為中點(diǎn)，
，．
，
．
．
．
．
②解：如圖，作關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．
則的周長最小，
，
，
設(shè)，則．
．
，
③如備用圖，
四邊形為矩形，，
，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，記的中點(diǎn)為，
，
最小
故答案為：2
【點(diǎn)評】此題相似形綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，利用對稱性和垂線段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．
15．（2020?柯城區(qū)校級一模）【定義】若四邊形的一條對角線能將四邊形分割成兩個(gè)相似的直角三角形，那么我們將這種四邊形叫孿生分割四邊形，這條對角線叫這個(gè)四邊形的孿生割線．
【理解】（1）如圖①，已知在正方形網(wǎng)格中，請?jiān)诰W(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)即為格點(diǎn)），使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為孿生分割四邊形．
（2）若在四邊形中，，為孿生割線，若，求的長．
（3）如圖②，在四邊形中，，，為上一點(diǎn)．若四邊形，均為孿生分割四邊形，求．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）根據(jù)“孿生分割四邊形”的定義即可找出符合題意的點(diǎn)；
（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖②，過點(diǎn)作交的延長線于，利用三角函數(shù)求得，，再證明四邊形是矩形，可得出，，進(jìn)而求得，再運(yùn)用勾股定理即可；②當(dāng)時(shí)，如圖③，過點(diǎn)作交的延長線于，運(yùn)用三角函數(shù)求出、、，再運(yùn)用勾股定理即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖④，利用平行線性質(zhì)和判定求得：，再運(yùn)用三角函數(shù)即可；②當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過點(diǎn)于，可得出：，，，再運(yùn)用角平分線性質(zhì)即可．
【解答】解：（1）如圖①，點(diǎn)、、即為所求的格點(diǎn)；
（2）四邊形中，，為孿生割線，，
與相似，
①當(dāng)時(shí)，如圖②，過點(diǎn)作交的延長線于，
，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖③，過點(diǎn)作交的延長線于，
，，
，，
，，
，
，，
，
；
綜上所述，的長為或．
（3）①當(dāng)時(shí)，如圖④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過點(diǎn)于，
，，，
，，，
，
同理，，
，
；
綜上所述，或1．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，勾股定理，新定義“孿生分割四邊形”等，理解并應(yīng)用新定義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想思考解決問題是解題關(guān)鍵．
16．（2020秋?安徽月考）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對角線”．
理解：
（1）如圖1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)（保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即可）；
（2）①如圖2，在四邊形中，，，對角線平分．請問是四邊形的“相似對角線”嗎？請說明理由；
②若，求的值．
運(yùn)用：
（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”， ．連接，若的面積為，求的長．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）先求出，，，再分情況求出或，即可畫出圖形；
（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，得出，再判斷出，繼而求出，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1所示．，，，，
四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，
①當(dāng)時(shí)，或，
，
，
或，
同理：當(dāng)時(shí)，或，
如圖中，，，，即為所求；
（2）①如圖2，是四邊形的“相似對角線”，
理由如下：
，平分，
，
，
，
，
，
是四邊形的“相似對角線”；
②，
，
，
又，
；
（3）如圖3，
是四邊形的“相似對角線”，
與相似．
又，
，
，
，
過點(diǎn)作垂足為，
可得，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，銳角三角函數(shù)，判斷兩三角形相似是解本題的關(guān)鍵．
17．（2020春?開福區(qū)校級月考）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對角線”．
（1）如圖1，已知四邊形在正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，判斷：四邊形 是 （填“是”或“不是” 以為“相似對角線”的四邊形；
（2）如圖2，在四邊形中，，，對角線平分．求證：是四邊形的“相似對角線”；
（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”， ．連接，若的面積為，求的長．
【考點(diǎn)】相似形綜合題
【分析】（1）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，得出，再判斷出，繼而求出，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由圖1知，，，，，，，
，，，
，
，
四邊形是以為“相似對角線”的四邊形；
故答案為：是；
（2）證明：如圖2中，
，平分，
，
，
，
，
，
是四邊形的“相似對角線”；
（3）如圖3，
是四邊形的“相似對角線”，
與相似，
，
，
，
，
過點(diǎn)作于，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，銳角三角函數(shù)，判斷兩三角形相似是解本題的關(guān)鍵．
18．（2020秋?思明區(qū)校級期末）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”，回答下列問題．
（1）如圖1，四邊形中，，，，，判斷四邊形是不是“等鄰邊四邊形”，并說明理由；
（2）如圖2，中，，，，現(xiàn)將沿的平分線方向平移得到△，連接，，若平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，求的長．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)“等鄰邊四邊形”的定義解答即可；
（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解答】解：（1）四邊形是“等鄰邊四邊形”，
理由如下：，，
，
在中，，
，
四邊形是“等鄰邊四邊形”；
（2）如圖2，延長交于點(diǎn)，
△由平移得到，
，，，
，
平分，
，
，
設(shè)，
，
，
中，，
整理得：，
，
，（舍去），
，
．
【點(diǎn)評】本題考查的是平移的性質(zhì)、“等鄰邊四邊形”的定義，掌握“等鄰邊四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．
19．（2020春?赫山區(qū)期末）閱讀與探究
我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
請結(jié)合上述閱讀材料，解決下列問題：
（1）在我們所學(xué)過的特殊四邊形中，是勾股四邊形的是 矩形 ；（寫出一種即可）
（2）下面圖1，圖2均為的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，請?jiān)趫D中標(biāo)出格點(diǎn)，并連接，，使得四邊形符合下列要求：圖1中的四邊形是勾股四邊形，并且是中心對稱圖形；圖2中的四邊形是勾股四邊形且對角線相等，但不是中心對稱圖形．
【考點(diǎn)】多邊形；作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；中心對稱圖形
【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義判斷即可．
（2）根據(jù)要求結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可．
【解答】解：（1）矩形是勾股四邊形．
故答案為：矩形．
（2）如圖1中，四邊形即為所求．
如圖2中，四邊形即為所求．
【點(diǎn)評】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，中心對稱圖形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意．靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．（2020春?奉化區(qū)期末）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．
（1）寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是 正方形，矩形 ．
（2）如圖1，在方格紙中，，，在格點(diǎn)上，請畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂等四邊形，使，是對角線，點(diǎn)在格點(diǎn)上．
（3）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，，分別在，，上，且，求證：四邊形是垂等四邊形．
（4）如圖3，已知，，，，以為邊在的右上方作等腰三角形，使四邊形是垂等四邊形，請直接寫出四邊形的面積．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題
【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義判斷即可．
（2）根據(jù)垂等四邊形的定義畫出圖形即可．
（3）想辦法證明，即可．
（4）分三種情形：①如圖中，當(dāng)時(shí)，連接，過點(diǎn)作于．②如圖中，當(dāng)時(shí)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，于．③如圖中，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于．分別求解即可．
【解答】解：（1）正方形，矩形是垂等四邊形．
故答案為正方形，矩形．
（2）如圖1中，四邊形即為所求．
（3）在正方形中，
，，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是垂等四邊形．
（4）①如圖中，當(dāng)時(shí)，連接，過點(diǎn)作于．
，，，
，，
四邊形是垂等四邊形，
，
，，
，
．
②如圖中，當(dāng)時(shí)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于，于．
同法可得，．
③如圖中，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于．
設(shè)，
，
，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得，
．
【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了垂等四邊形的定義，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
21．（2020?武昌區(qū)模擬）定義：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上的四邊形叫做格點(diǎn)四邊形，端點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上的線段叫做格點(diǎn)線．如圖1，在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)線、將格點(diǎn)四邊形分割成三個(gè)彼此相似的三角形．請你在圖2、圖3中分別畫出格點(diǎn)線，將陰影四邊形分割成三個(gè)彼此相似的三角形．
【考點(diǎn)】作圖相似變換
【分析】圖2中，連接、，得，相似比為；圖3中，，相似比為．
【解答】解：如圖所示
【點(diǎn)評】本題主要考查作圖相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理．

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