一、復(fù)習(xí)方法
1.以專題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點
1.專題的選擇要準(zhǔn)，安排時間要合理。 2.專項復(fù)習(xí)要以題帶知識。
3.在復(fù)習(xí)的過程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
數(shù)與式中的新定義問題
知識方法精講
1．解新定義題型的方法：
方法一 :從定義知識的新情景問題入手
這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。
方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手
對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．
方法三：從日常生活中的實際問題入手
對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。
2．解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.
3．列代數(shù)式
（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．
（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義． 列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分． ②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系． ③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用． ⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．
【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題
1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．
2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．
3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．
4．規(guī)律型：數(shù)字的變化類
探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式．
（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．
5．取整函數(shù)
取整函數(shù)．
不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]．
x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分，記作{x}．
（需要注意的是，對于負(fù)數(shù)，[x]指的并不是x小數(shù)點做右邊的部分，{x}指的是x小數(shù)點右邊的部分，例如對于負(fù)數(shù)﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此時{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7）
取整函數(shù)的圖象一般都有跳躍性．
一．選擇題（共6小題）
1．（2021秋?南沙區(qū)期末）定義新運算“”：對于任意實數(shù)，，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如．若為實數(shù)）是關(guān)于的方程，且是這個方程的一個根，則的值是
A．4B．或4C．0或4D．1或4
【考點】方程的定義；解一元二次方程因式分解法；實數(shù)的運算
【分析】根據(jù)定義運算“”：對于任意實數(shù)，，都有，進(jìn)行計算即可．
【解答】解：由題意得：
，
，
，
，，
故選：．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，方程的定義，解一元二次方程因式分解法，理解定義新運算“”是解題的關(guān)鍵．
2．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果，那么叫做以為底的對數(shù)，記作．例如：因為，所以；因為，所以．則下列說法中正確的有 個．
①；②；③若，則；④；
A．4B．3C．2D．1
【考點】有理數(shù)的乘方
【分析】根據(jù)對數(shù)和乘方互為逆運算逐一進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：，
，故①不符合題意；
，
，故②符合題意；
，
，
，故③不符合題意；
，
，
，
，
，
，
，
，故④符合題意；
綜上所述，符合題意的有2個，
故選：．
【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，屬于新定義問題，掌握對數(shù)和乘方互為逆運算是解題的關(guān)鍵．
3．（2020秋?安新縣期末）定義為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為，那么當(dāng)時，二階行列式的值為
A．7B．C．1D．
【考點】整式的加減—化簡求值；有理數(shù)的混合運算
【分析】根據(jù)新定義運算法則列式，然后去括號，合并同類項進(jìn)行化簡，最后代入求值．
【解答】解：原式
，
當(dāng)時，
原式，
故選：．
【點評】本題考查整式的加減—化簡求值，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵．
4．（2021秋?六盤水月考）對于有理數(shù)，，定義，則化簡后得
A．B．C．D．
【考點】有理數(shù)的混合運算；整式的加減
【分析】根據(jù)新定義運算列式，去括號，合并同類項進(jìn)行化簡，注意先算括號里面的，再算括號外面的．
【解答】解：原式
，
故選：．
【點評】本題考查整式的加減，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵．
5．（2021秋?瑞安市月考）格子乘法是由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》一書中提出，例如圖1所示計算，將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)65計入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)格子中，最后斜行加起來，即得5785．現(xiàn)用格子乘法進(jìn)行如圖2計算，問：根據(jù)該計算得到的最終結(jié)果是
A．3056B．3058C．4056D．4058
【考點】有理數(shù)的乘法；數(shù)學(xué)常識
【分析】先根據(jù)題意推出，然后完成圖2即可得解．
【解答】解：，，，，
．
計算過程如圖所示：
結(jié)果為4056．
故選：．
【點評】本題考查了新定義，能夠理解新定義，根據(jù)題意推出的值，是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?德城區(qū)校級月考）對于正整數(shù)，我們定義一種“運算”：①當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時，結(jié)果，并且運算重復(fù)進(jìn)行．例如，取，則若，則第2019次運算的結(jié)果是
A．2018B．2017C．2D．1
【考點】有理數(shù)
【分析】按新定義的運算法則，分別計算出當(dāng)時，第一、二、三、四、五次運算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律即可解答．
【解答】解：由題意可得，
當(dāng)時，
第一次輸出的結(jié)果為：10，
第二次輸出的結(jié)果為：5，
第三次輸出的結(jié)果為：6，
第四次輸出的結(jié)果為：3，
第五次輸出的結(jié)果為：4，
第六次輸出的結(jié)果為：2，
第七次輸出的結(jié)果為：1，
第八次輸出的結(jié)果為：2，
第九次輸出的結(jié)果為：1，
，
即從第六次開始2和1出現(xiàn)循環(huán)，偶數(shù)次為2，奇數(shù)次為1，
當(dāng)時，第2019次運算的結(jié)果是1．
故選：．
【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果的變化特點．
二．填空題（共7小題）
7．（2021秋?海曙區(qū)期末）對實數(shù)、規(guī)定一種新運算△，若△，則方程△的解是 ．
【考點】實數(shù)的運算；解一元一次方程
【分析】根據(jù)題目已知的新運算，列出方程進(jìn)行計算即可．
【解答】解：由題意得：
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解一元一次方程，理解題目已知的新運算是解題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?順義區(qū)期末）對于任意的正數(shù)，，定義運算“”如下：，計算的結(jié)果為 ．
【考點】實數(shù)的運算
【分析】根據(jù)題目已知的定義運算進(jìn)行計算即可．
【解答】解：
，
故答案為：．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，理解題目已知的定義運算是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?遷安市期末）對于實數(shù)，我們規(guī)定：用表示不小于的最小整數(shù)．例如：，，現(xiàn)在對72進(jìn)行如下操作：
，即對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類比上述操作：對36只需進(jìn)行 3 次操作后變?yōu)?；如果只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為 ．
【考點】實數(shù)的運算；估算無理數(shù)的大小
【分析】仿照題目已知的例題即可解答．
【解答】解：由題意得：
現(xiàn)在對36進(jìn)行如下操作：
，
對36只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；
現(xiàn)在對256進(jìn)行如下操作：
，
如果只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中最大的數(shù)為：256；
故答案為：3，256．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，實數(shù)的運算，理解已知條件的規(guī)定：用表示不小于的最小整數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
10．（2021秋?金牛區(qū)期末）規(guī)定“”是一種新的運算符號：，已知，則 ．
【考點】有理數(shù)的混合運算
【分析】根據(jù)規(guī)定，先計算，再解關(guān)于的方程．
【解答】解：
，
又，
．
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，理解和掌握新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2021秋?成都期末）對于實數(shù)，，定義新運算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么 ．
【考點】實數(shù)的運算；解三元一次方程組
【分析】根據(jù)定義的新運算，列出關(guān)于，，的三元一次方程組，解方程組即可解答．
【解答】解：由定義可知：，
設(shè)，
，，
，，
由題意得：，
③②得：，④
②①得：，⑤
，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解三元一次方程組，理解定義新運算是解題的關(guān)鍵．
12．（2021秋?福田區(qū)校級期末）規(guī)定：符號叫做取整符號，它表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)，，，，已知，當(dāng)時，，則的值為 11 ．
【考點】取整函數(shù)
【分析】由所給條件分別求出，，，，，，，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每5個結(jié)果循環(huán)一次，則可得．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，，，，每5個結(jié)果循環(huán)一次，
，
，
故答案為：11．
【點評】本題考查取整函數(shù)，理解定義，通過對所給的數(shù)進(jìn)行運算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
13．（2021?金鳳區(qū)二模）定義新運算：對于任意實數(shù)，，都有⊕，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：3⊕．
（1）2⊕ ．
（2）若⊕等于，則 ．
【考點】實數(shù)的運算
【分析】（1）根據(jù)新定義運算法則進(jìn)行求值即可求出答案．
（2）根據(jù)題意列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）原式
．
故答案為：．
（2）由題意可知：，
，
，
，
故答案為：1．
【點評】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
三．解答題（共13小題）
14．（2021秋?順德區(qū)期末）用“”定義一種新運算：對于任何有理數(shù)和，規(guī)定．
（1）求的值；
（2）若，求的最大整數(shù)；
（3）若關(guān)于的方程滿足：，求的值；
（4）若，，且，求的值．
【考點】解一元一次方程；整式的加減—化簡求值；有理數(shù)的混合運算
【分析】（1）由定義可得，；
（2）由，則，即可求解；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；求出的值即可；
（4）由題意可求，，再由，可得，得到，再求解即可．
【解答】解：（1）；
（2），
，
，
的最大整數(shù)1；
（3）當(dāng)時，，
（舍；
當(dāng)時，，
；
（4），，
，，
當(dāng)時，即，
（舍；
當(dāng)時，即，
，
，
，
．
【點評】本題考查新定義，整式的加減法，理解題意，熟練掌握整式的運算法則，分類討論是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）對于任意兩個非零實數(shù)，，定義運算如下：．
如：，．
根據(jù)上述定義，解決下列問題：
（1） ， ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，求的值．
【考點】實數(shù)的運算；解分式方程
【分析】（1）根據(jù)題目已知的定義運算，進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)題意可知，然后根據(jù)題目已知的定義運算，列出方程進(jìn)行計算即可；
（3）分兩種情況，，．
【解答】解：（1）
，
，
故答案為：，0；
（2）由題意可知，
，
，
，
，
檢驗：當(dāng)時，，
是原方程的根，
故答案為：；
（3）當(dāng)時，
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解，但不符合，
舍去，
當(dāng)時，
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合，
，
綜上所述：的值為．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解分式方程，理解題目已知的定義運算是解題的關(guān)鍵．
16．（2021秋?通州區(qū)期末）現(xiàn)有四個正整數(shù)分布在正方形上，規(guī)定一次操作為；將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值．圖1是小歡兩次操作的示意圖：
（1）圖2是兩次操作的過程，請將空缺的數(shù)補全；
（2）在經(jīng)過若干次操作后，如果這4個整數(shù)最終都變?yōu)?，我們就稱其進(jìn)入了“穩(wěn)定狀態(tài)”．請將1，2，3，4以某種順序排列在圖3所示的正方形上，通過若干次操作，使其進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請畫圖呈現(xiàn)操作次數(shù)最少的過程；
（3）1，3，6，這4個正整數(shù)以如圖4的方式排列在正方形上．如果通過三次操作進(jìn)入“穩(wěn)定狀態(tài)”，請直接寫出所有滿足條件的值．
【考點】絕對值；規(guī)律型：數(shù)字的變化類
【分析】（1）根據(jù)“將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值”進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)操作規(guī)定“將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值”和“穩(wěn)定狀態(tài)”的定義即可得出答案；
（3）根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可．
【解答】解：（1）根據(jù)“將相鄰的兩個數(shù)作差再取絕對值”可得：
，，
故答案為：5，2；
（2）如圖所示：
（3）如圖：
，
解得：或4或，
是正整數(shù)，
滿足條件的值為8或4．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，代數(shù)式的運算，含絕對值方程，解題關(guān)鍵是理解題意，讀懂新定義并運用新定義．
17．（2021秋?魯?shù)榭h期末）用“△”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)、，規(guī)定：△，例如：1△．
（1）求△3的值；
（2）求△3的值；
（3）若△，求的值．
【考點】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運算
【分析】（1）按照定義的新運算進(jìn)行計算即可；
（2）按照定義的新運算進(jìn)行計算即可；
（3）按照定義的新運算，列出關(guān)于方程，然后解方程即可求出的值．
【解答】解：（1）△
；
（2）△
；
（3）△
，
，
解得：．
【點評】本題考查了解一元一次方程，有理數(shù)的混合運算，理解題目中定義的新運算是解題的關(guān)鍵．
18．（2021秋?武昌區(qū)期末）知識背景：已知，為有理數(shù)，規(guī)定：（a），（b），例如：，．
知識應(yīng)用：
（1）若（a）（b），求的值；
（2）求的最值；
知識遷移：若有理數(shù)，，滿足，且關(guān)于的方程有無數(shù)解，，求的值．
【考點】絕對值；一元一次方程的解
【分析】（1）根據(jù)題中的新規(guī)定列出等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，代入原式計算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題中的新規(guī)定列出等式，根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式及絕對值的代數(shù)意義求出最小值即可；
知識遷移：求出，，再計算絕對值即可．
【解答】解：（1）（a），（b），
（a）（b），
，，
；
（2），
表示點到3和的距離之和，
，
有最小值5；
知識遷移：整理得，
方程有無數(shù)解，
，
，
當(dāng)時，，
，
；
當(dāng)時，，
，
；
，
，
，
，
．
【點評】本題考查新定義，理解定義，熟練掌握絕對值的性質(zhì)，一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
19．（2021秋?北京期末）我們規(guī)定：使得成立的一對數(shù)，為“積差等數(shù)對”，記為．例如，因為，，所以數(shù)對，都是“積差等數(shù)對”．
（1）下列數(shù)對中，是“積差等數(shù)對”的是 ①③ ；
①；②；③，．
（2）若是“積差等數(shù)對”，求的值；
（3）若是“積差等數(shù)對”，求代數(shù)式的值．
【考點】整式的加減—化簡求值；解一元一次方程
【分析】（1）根據(jù)新定義內(nèi)容進(jìn)行計算，從而作出判斷；
（2）根據(jù)新定義內(nèi)容列方程求解；
（3）將原式去括號，合并同類項進(jìn)行化簡，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式并化簡，最后代入求值．
【解答】解：（1）①，，
，故①是“積差等數(shù)對”，
②，，
，故②不是“積差等數(shù)對”，
③，，
，故③是“積差等數(shù)對”，
故答案為：①③；
（2）是“積差等數(shù)對”，
，
解得：，
的值為；
（3）原式
，
是“積差等數(shù)對”，
，
原式
．
【點評】本題屬于新定義內(nèi)容，考查解一元一次方程，整式的加減—化簡求值，理解“積差等數(shù)對”的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵．
20．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）對于任意有理數(shù)、，如果滿足，那么稱它們?yōu)椤鞍閭H數(shù)對”，記為．
（1）若是“伴侶數(shù)對”，求的值；
（2）若是“伴侶數(shù)對”，求的值．
【考點】整式的加減—化簡求值；解一元一次方程
【分析】（1）根據(jù)新定義內(nèi)容列方程求解；
（2）先將原式去括號，合并同類項進(jìn)行化簡，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式進(jìn)行化簡，最后代入求值．
【解答】解：（1）是“伴侶數(shù)對”，
，
整理，可得：，
解得：，
即的值為；
（2）原式
，
是“伴侶數(shù)對”，
，
整理，可得：，
原式
．
【點評】本題屬于新定義題目，解一元一次方程，整式的加減—化簡求值，理解“伴侶數(shù)對”的定義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵
21．（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個“差同數(shù)” ，將它的千位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例如：，因為，故：7513是一個“差同數(shù)”．所以：，則：．
（1）請判斷2586、8734是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；
（2）若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時，求的最小值．
【考點】列代數(shù)式；因式分解的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)新定義，先判斷2586，8734是否是“差同數(shù)”，再仿照樣例進(jìn)行解答便可；
（2）根據(jù)新定義與已知條件，用一個字母的代數(shù)式表示，再根據(jù)此字母的取值范圍便可求出的最值．
【解答】解：（1）對于2586，其各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，
，
不是“差同數(shù)”，
對于8734，其各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，
，
是“差同數(shù)”，
，，
，
不是“差同數(shù)”，8734是“差同數(shù)”， ；
（2），
的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為6，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為6，
又自然數(shù)是差同數(shù)，
即，
，
，
，
，
的千位數(shù)字為3，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為4，個位數(shù)字為，
又自然數(shù)是差同數(shù)，
，即，
，
，
，
，
，，且，
，
，，且，
，
，
又能被11整除，
或0，
①當(dāng)時，，，，，
此時，；
②當(dāng)時，，，，，
此時，；
③當(dāng)時，，，
此時，，
值不存在，
綜上，的最小值為．
【點評】此題考查新定義下的實數(shù)，整式的加減運算，理解新定義內(nèi)容，注意分類討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
22．（2021?寧波模擬）規(guī)定一種新運算※．
（1）求※2的值；
（2）這種新運算滿足交換律嗎？若不滿足請舉反例，若滿足請說明理由．
【考點】有理數(shù)的混合運算
【分析】（1）把，，代入所給運算中計算就可以了；
（2）不滿足，舉出反例，例如：1※※1等．
【解答】解：（1）※；
（2）不滿足．
例如：※，2※．
※※1．
【點評】按照所給運算的表達(dá)式進(jìn)行計算就可以了．
23．（2020?河北一模）有一種用“☆”定義的新運算，對于任意實數(shù)，，都有☆．例如7☆．
（1）已知☆3的結(jié)果是，則 7 ．
（2）將兩個實數(shù)和用這種新定義“☆”加以運算，結(jié)果為9，則的值是多少？
【考點】實數(shù)的運算
【分析】（1）直接根據(jù)題意得出關(guān)于的等式進(jìn)而得出答案；
（2）直接根據(jù)題意得出關(guān)于的等式進(jìn)而得出的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：☆，
解得：；
故答案為：7；
（2）根據(jù)題意可得：☆，
即，
解得：或，
☆，
解得：或，
則或或2．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及一元二次方程的解法，正確解方程是解題關(guān)鍵．
24．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）在數(shù)軸上，為原點，點，對應(yīng)的數(shù)分別是，，為線段的中點．
給出如下定義：若，則稱是的“正比點”；若，則稱是的“反比點”．例如，時，是的“正比點”； ，時，是的“反比點”．
（1）若，則對應(yīng)的數(shù)為 2 ，下列說法正確的是 （填序號）．
①是的“正比點”；② 是的“反比點”；③ 是的“正比點”；④ 是的“反比點”；
（2）若，且是的“正比點”，求的值；
（3）若，且既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．
【考點】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值
【分析】（1）由，得，，則中點對應(yīng)的數(shù)為：，利用“正比點”，“反比點”的定義直接判斷即可；
（2）先表示出點對應(yīng)的數(shù)為：，分析出，，都同號，根據(jù)定義得，得，化簡即可求解；
（3）利用定義可得，得，分兩種情況：①，得，解方程即可；②，得，解方程即可求解．
【解答】解：（1），
，，
為線段的中點．
對應(yīng)的數(shù)為：，
①，
不是的“正比點”；
②，
不是的“反比點”；
③，
是的“正比點”；
④，
是的“反比點”；
故答案為：2；③；
（2）為線段的中點，
點對應(yīng)的數(shù)為：，
，
，，都同號，
是的“正比點”，
，
，
，
；
（3），
，異號，
既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，
，或，，
化簡都得出：，
，
分兩種情況：①，
，
或，
解得：（舍去）或，
；
②，
，
或，
解得：（舍去）或，
，
的值為或．
【點評】本題考查了閱讀理解能力，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解決問題關(guān)鍵是分類討論思想．
25．（2021秋?西城區(qū)校級期末）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對，，叫做關(guān)于的二次多項式的特征系數(shù)對，把關(guān)于的二次多項式叫做有序?qū)崝?shù)對，，的特征多項式．
（1）關(guān)于的二次多項式的特征系數(shù)對為 ，2， ；
（2）求有序?qū)崝?shù)對，4，的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對，，的特征多項式的乘積；
（3）若有序?qū)崝?shù)對，，的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對，，的特征多項式的乘積的結(jié)果為，直接寫出的值為 ．
【考點】多項式乘多項式
【分析】（1）根據(jù)特征系數(shù)對的定義即可解答；
（2）根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再根據(jù)多項式乘多項式進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再令即可得出答案．
【解答】解：（1）關(guān)于的二次多項式的特征系數(shù)對為，2，，
故答案為：，2，；
（2）有序?qū)崝?shù)對，4，的特征多項式為：，
有序?qū)崝?shù)對，，的特征多項式為：，
；
（3）根據(jù)題意得，
令，
則，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了多項式乘多項式，新定義問題，給賦予特殊值是解題的關(guān)鍵．
26．（2021秋?慶陽期末）若規(guī)定這樣一種新運算法則：．如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程
【分析】（1）先根據(jù)新運算得出，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算即可；
（2）先根據(jù)新運算得出，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算，最后根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
【點評】考查了有理數(shù)的混合運算和解一元一次方程，能正確根據(jù)有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．

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