北京市京源學(xué)校2023-2024學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 唐朝李紳的《憫農(nóng)》中有云：鋤禾日當(dāng)午，汗滴禾下土．誰知盤中餐，粒粒皆辛苦．所以我們要愛惜糧食．已知一粒大米的質(zhì)量約為千克，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：，
故選C．
2. 若是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+3y=1的一個解，則a的值為（）
A. 5B. 4C. ﹣5D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】直接把代入方程ax+3y=1即可得到結(jié)果．
【詳解】將代入二元一次方程ax+3y=1，
得2a?9=1，
解得：a=5，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二元一次方程組的解的定義．
3. 若，則下列不等式正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：(1)不等式兩邊同加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變；(2)不等式兩邊同乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；(3)不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，即可一一判定．
【詳解】解：，
，，，，
故A、C、D錯誤，B正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，直線BC，DE相交于點(diǎn)O，AO⊥BC于點(diǎn)O. OM平分∠BOD，如果∠AOE =50°，那么∠BOM的度數(shù)是
A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)AO⊥BC可得∠AOC=90°, 然后根據(jù)∠COE=90°-∠AOE求出∠COE的度數(shù),由對頂角相等可得∠BOD=∠COE,再根據(jù)角的平分線的定義求得∠BOM即可．
【詳解】∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°,
∴∠COE=90°-∠AOE=90°-50°=40°,
∴∠BOD=∠COE=40°.
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM=∠BOD =×40°=20°.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、角平分線的定義以及對頂角的性質(zhì)，正確求得∠BOD的度數(shù)是關(guān)鍵．
5. 下列各式運(yùn)算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了積的乘方計算，冪的乘方計算，完全平方公式和合并同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
6. 習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”.某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆茅盾文學(xué)獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風(fēng)記》（徐懷中著）兩種書.已知購買1本《北上》和2本《牽風(fēng)記》需80元；購買5本《北上》與購買6本《牽風(fēng)記》的價格相同.如果設(shè)《北上》的單價是元，《牽風(fēng)記》的單價是元.那么根據(jù)題意列方程組正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)“購買1本《北上》和2本《牽風(fēng)記》需80元；購買5本《北上》與購買6本《牽風(fēng)記》的價格相同”建立方程組求解即可；
【詳解】解：如果設(shè)《北上》的單價是元，《牽風(fēng)記》的單價是元.由題意得：
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，弄清題意、確定等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
7. 如果關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出不等式的解集，由數(shù)軸上表示的不等式解集確定出a的值即可．
【詳解】解：已知不等式移項得：3x≤a-1，
解得：x≤，
由數(shù)軸得：x≤-1，
∴=-1，
解得：a=-2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，把一個周長為定值長方形（長小于寬的3倍）分割為五個四邊形，其中A是正方形，周長記為，B和D是完全一樣的長方形，周長記為，C和E是完全一樣的正方形，周長記為，下列為定值的是（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)B和D的寬為a，長為c，C和E的邊長為b，然后根據(jù)大長方形的周長為定值，列式得到是定值，然后根據(jù)A是正方形，得到，解得，進(jìn)而求解即可．
【詳解】如圖所示，設(shè)B和D的寬為a，長為c，C和E的邊長為b，

∵大長方形的周長為定值，
∴是定值，
∴是定值，
∵A是正方形，
∴，解得，
∴是定值，
∴B和D的周長是定值；
∴是定值，
∴C和E的周長是定值．
根據(jù)題意無法判斷的值，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和長方形的周長、線段的相關(guān)運(yùn)算等知識，整式的加減運(yùn)算，理解題意，結(jié)合圖形分析是解題關(guān)鍵．
二、填空題（每小題2分，共16分）
9. 如果與互補(bǔ)，且，那么____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求一個角的補(bǔ)角的度數(shù)，根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵與互補(bǔ)，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
10. 已知：，請寫出一個使不等式成立的m的值，這個值可以為______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵
∴當(dāng)時，
∴m的值可以為（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)．
11. 已知關(guān)于x，y二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則k的值是_________．
【答案】-1
【解析】
【詳解】∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)
∴x=-y③
把③代入②得：-y+2y=-1
解得y=-1
∴x=1
把x=1，y=-1代入①得2-3=k
即k=-1
故答案為：-1
12. 如果多項式可以寫成二項式的完全平方形式，那么的值為________．
【答案】25
【解析】
【分析】根據(jù)完全平方式：，求解即可．
【詳解】解：∵多項式是一個二項式的完全平方式，
∴ ，
故答案為： 25 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
13. 已知，，則代數(shù)式的值為_______．
【答案】5
【解析】
【分析】首先將變形為，然后代入求解即可．
【詳解】∵，，
∴
．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是將變形為．
14. 若不等式組的解集中共有3個整數(shù)解，則的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，然后求出其公共解，最后根據(jù)其有3個整數(shù)解求出的取值范圍．
【詳解】解：，
由①得，
由②得，
不等式的解集為，
關(guān)于的不等式組的解集共有3個整數(shù)解，
這3個數(shù)為0，，，
即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的解法、整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是應(yīng)遵循以下原則：同大取大，同小取小，小大大小中間找，大大小小解不了．
15. 已知am=10，an=5，則=________
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法法則解答即可．
【詳解】解：∵am=10，an=5，
∴a2m?n=(am)2an=1025=20.
故答案：20.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
16. 設(shè)是實數(shù)，定義一種新運(yùn)算；．下面有四個推斷：①；②；③；④．其中正確推斷的序號是______．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是新運(yùn)算規(guī)則，對選項逐個進(jìn)行判斷．
【詳解】解：，，故①正確；
，，故②錯誤；
，，故③正確；
，，故④錯誤；
即正確的為①③，
故答案為：①③．
三、計算題（本題共34分，第17題8分，第18題8分，第19，22題每題5分，第20，21題每題4分）
17. 直接寫出計算結(jié)果：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了完全平方公式，多項式除以單項式，單項式乘以單項式，積的乘方的逆運(yùn)算：
（1）根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可；
（2）根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算法則求解即可；
（3）根據(jù)多項式除以單項式法則求解即可；
（4）根據(jù)完全平方公式求解即可．
【小問1詳解】
解：，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：
，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：，
故答案為：；
【小問4詳解】
解：，
故答案為：
18. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方計算，再合并同類項即可；
（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開，再利用整式除法計算即可．
【小問1詳解】
原式；
【小問2詳解】
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
20. 解方程組：
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，把①代入②求出y，進(jìn)而求出x即可．
【詳解】解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴方程組的解為．
21. 解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

【答案】，圖見解析
【解析】
【分析】先去括號，再移項、合并同類項、最后系數(shù)化1即可，再在數(shù)軸上把解集表示出來．
【詳解】解：去括號得，，
去括號得，，
合并同類項得，，
系數(shù)化為1得，，
解集在數(shù)軸上表示為：
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
22. 求不等式組的非負(fù)整數(shù)解．
【答案】
【解析】
【分析】考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，先求得兩個不等式的解集，再得到不等式組的解集，從中得到非負(fù)整數(shù)即可.
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，則非負(fù)整數(shù)解為：
四、解答題（本題共34分，第23，24，27題每題5分，第25，26題每題6分，第28題7分）
23. 先化簡，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝3．
【答案】x2﹣5，4．
【解析】
【分析】直接利用乘法公式化簡，進(jìn)而合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)代入求出答案．
【詳解】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
當(dāng)x＝3時，
原式＝325=4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
24. 已知關(guān)于x，y的方程組的解是正數(shù)，求的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組，先解方程組，用表示出，的值，然后根據(jù)、都是正數(shù)列關(guān)于的不等式組求解即可．
【詳解】解：
得，
解得：
將代入①得，
∵方程組的解為正數(shù)，
∴
解得：
25. 我市正在創(chuàng)建“全國文明城市”，某校擬舉辦“創(chuàng)文知識”搶答賽，欲購買A、B兩種獎品以鼓勵搶答者．如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元．
（1）A、B兩種獎品每件各多少元？
（2）現(xiàn)要購買A、B兩種獎品共100件，總費(fèi)用不超過900元，那么A種獎品最多購買多少件？
【答案】（1）A種獎品每件16元，B種獎品每件4元．（2）A種獎品最多購買41件．
【解析】
【分析】（1）設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)“如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100﹣a）件，根據(jù)總價=單價×購買數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不超過900元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整數(shù)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A種獎品每件16元，B種獎品每件4元；
（2）設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買（100﹣a）件，
根據(jù)題意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤，
∵a為整數(shù)，
∴a≤41，
答：A種獎品最多購買41件．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)不等關(guān)系，正確列出不等式.
26. 如圖，，，平分，．

（1）求的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示），請將以下解答過程補(bǔ)充完整．
解：∵，
∴．
∵．
．
∴ ．（理由：）
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴ ．
（2）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）；同角的余角相等；
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，同角的余角相等：
（1）根據(jù)角之間的關(guān)系，同角的余角相等結(jié)合已給推理過程求解即可；
（2）先求出，再求出，則．
【小問1詳解】
解：∵，
∴．
∵．
．
∴．（理由：同角的余角相等）
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
故答案為：；同角的余角相等；；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∴ ．
27. 從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．

（1）上述操作能驗證的等式是____；請選擇正確的一個
A、 B、 C、
（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知，，求的值．
②計算：
【答案】（1）B （2）①3；②
【解析】
【分析】（1）用兩種方法表示陰影部分的面積即可得出所驗證的等式；
（2）①將，再整體代入計算即可；②將原式轉(zhuǎn)化為即可．
【小問1詳解】
解：圖1中陰影部分的面積為，
圖2陰影部分的長為，寬為，
因此圖2陰影部分的面積為，
由于圖1、圖2的陰影部分的面積相等可得，
故答案為：B；
【小問2詳解】
①，即，
又，
；
②原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
28. 定義：對任意一個兩位數(shù)a，如果a滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“迥異數(shù)”．將一個“迥異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為f（a）．例如：a=12，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33，和與11的商為33?11=3，所以f（12）=3．
根據(jù)以上定義，回答下列問題：
（1）填空：
①下列兩位數(shù)：40，42，44中，“迥異數(shù)”為；
②計算：f（23）= ．
（2）如果一個“迥異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是2（k+1），且f（b）=11，請求出“迥異數(shù)”b．
（3）如果一個“迥異數(shù)”c，滿足c?5f（c）?30，請直接寫出滿足條件的c的值．
【答案】(1)①42，②5；(2)38；(3) 71或81或82或91或92或93.
【解析】
【分析】(1)①由“迥異數(shù)”的定義求解即可；
②根據(jù)定義計算可得；
(2)先將這個“迥異數(shù)”用k的代數(shù)式表示為：12k+2，再計算f(b)的值，最后利用等式f(b)=11即可求得b.
(3)設(shè)這個“迥異數(shù)”的十位和個位分別是m和n，將這個數(shù)c及f(c)分別用m和n的代數(shù)式表示，然后再通過給出的不等式求解即可.
【詳解】解：(1)①由定義“個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為迥異數(shù)”可知，40，42，44中，“迥異數(shù)”為42.
故答案為：42.
②f(23)=(23+32)÷11=5.
故答案為：5.
(2)∵這個“迥異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是2(k+1)
∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.
將這個數(shù)的個位和十位調(diào)換后為：10×2(k+1)+k=21k+20
∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2
又f(b)=11
∴3k+2=11
∴k=3
故這個“迥異數(shù)”b=12k+2=38.
故答案為：38.
(3) 設(shè)這個“迥異數(shù)”c的個位為n，十位為m，則m≠n，且m,n均為大于1小于10的正整數(shù).
則c=10m+n，調(diào)換個位和十位后為：10n+m
故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n
∵c?5f（c）?30
∴10m+n-5(m+n) ?30
整理得：5m-4n>30
∴，即……①
又∵
∴，解得：
又n為正整數(shù)
故n=1或2或3
當(dāng)n=1時，代入①中，m=7或8或9，此時c=71或81或91；
當(dāng)n=2時，代入①中，m=8或9，此時c=82或92;
當(dāng)n=3時，代入①中，m=9，此時c=93.
故所有滿足條件的c有：71或81或82或91或92或93.
【點(diǎn)睛】本題借助“迥異數(shù)”這個新定義考查了一元一次不等式的解法，能理解題目意思，理解“迥異數(shù)”是解決此題的關(guān)鍵.

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