一、單選題
1．小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)（單位：千元）為（ ）．
A．B．
C．D．
2．設表示不超過的最大整數(shù)（例如：，），則（ ）
A．B．C．D．
3．復數(shù)的虛部為( ).
A．B．C．1011D．2022
4．已知數(shù)列的首項為，，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調整音高和音質.圖2是根據圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線交于點（，）和（，），則( )
參考數(shù)據：取.
A．814B．900C．914D．1000
6．Sn＝＋＋＋…＋等于（ ）
A．B．C．D．
7．數(shù)列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行1項，排；第二行2項，從左到右分別排，；第三行3項以此類推，設數(shù)列的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）（提示：，，，）
4，
4，，
4，，，
4，，，，
A．22B．21C．20D．19
8．已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，那么下列選項正確的是（ ）
①是等差數(shù)列 ②是等比數(shù)列 ③ ④是等比數(shù)列
A．①③B．②③C．①④D．②④
二、多選題
9．在平面直角坐標系中，，B為坐標原點，點P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（ ）
A．為公差為2的等差數(shù)列B．為公比為的等比數(shù)列
C．D．前n項和
10．已知定義在上且不恒為的函數(shù)，若對任意的，都有，則（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．對，有
C．若，則
D．若，則
11．若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互素，歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)k，且與k互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：，，，．下列說法正確的是（ ）
A．B．數(shù)列為遞增數(shù)列
C．D．數(shù)列的前n項和為，則
12．將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)列為等差數(shù)列B．數(shù)列為等比數(shù)列
C．D．數(shù)列的前n項和為
三、填空題
13．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：第一次1件貨物，下一層比上一層多1件貨物．已知最底下一層貨物單價1萬元，上面一層貨物的單價比下面一層貨物的單價多．若一共堆放層，則第層的貨物的價格為 萬元，這堆貨物總價為 萬元．
14．歐拉是瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅之一，在許多數(shù)學的分支中經常可以見到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的個數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項和為 ．
15．已知數(shù)列滿足，則 .
16．現(xiàn)取長度為2的線段的中點，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則 ．
17．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則 ； .
18．將數(shù)據，，，…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個，第二行兩個，?，最下面一行有個，）則數(shù)陣中所有數(shù)據的和為 .

四、解答題
19．設為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
20．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
21．已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的前項和．
參考答案：
1．D
【分析】由條件確定每年的存款的本息和，再利用錯位相減法求六年的本息和即可.
【詳解】設第年的存款到取出時的本息和為（千元），，
則，，，，
，，
所以小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)為：
所以，
所以，
所以，
所以，
故選：D.
2．B
【分析】當時，，即，共有個.又，故，令，利用錯位相減法即可求解.
【詳解】當時，，
即，共有個.
因為，
故
，
設，①
則，②
①-②,得
，
所以.
所以.
故選:B.
3．A
【分析】利用錯位相減法求和，結合復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以復數(shù)z的虛部為1012，
故選：A
4．A
【分析】先分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)，求出的通項公式，再由錯位相減法求解即可.
【詳解】當為奇數(shù)時，，，，，
當為偶數(shù)時，，，，，
∴，，
當，時，
，，
∴，，即為奇數(shù)時，數(shù)列是常數(shù)列，，
∴當為奇數(shù)時，；
又∵當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，，∴，
綜上所述，數(shù)列的通項公式為.
∴數(shù)列的通項公式為，其前項和為，
，①
①，得
，②
①②，得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故選：A.
【點睛】本題解題的關鍵，是通過分類討論，分別求出為奇數(shù)和為偶數(shù)時的通項公式，再結合的通項公式進行求解.
5．C
【分析】求出 ，用錯位相減法求和即可.
【詳解】由條件可得①，
所以②，
－②得：
，
，
所以.
故選：C.
6．B
【分析】利用錯位相減法求解即可.
【詳解】由Sn＝＋＋＋…＋，①
得Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝－，
∴Sn＝.
故選：B.
7．C
【分析】先求出大于零的最小值，然后再算第行的哪些項與和大于的最小值.
【詳解】前行一共有項，
則有個，個，個，個，
個；
所以
即 ①
則②
②減①得：
即
所以
設
又因為
所以數(shù)列是單調遞增的數(shù)列.
又因為時，
又因為時，
第行的第個數(shù)記為
則
即
又因為是單調遞增的數(shù)列，
當時
當時
所以的最小正整數(shù)的值為
故選：C
8．B
【分析】由數(shù)列的遞推式可得，兩邊加1后，運用等比數(shù)列的定義和通項公式可得，由數(shù)列的裂項相消求和可得.
【詳解】由即為，可化為，
由，可得數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
則，即，
故②③正確，①錯誤；
又，可得
則，即，不為等比數(shù)列，故 ④錯誤；
故選：B
9．CD
【分析】由圓的方程寫出P的參數(shù)坐標，由兩點距離公式判斷，由等比中項性質判斷為等比數(shù)列，即可依次求得的通項公式，即可逐個判斷，其中由錯位相減法求和.
【詳解】對AB，由點P在圓上，則由參數(shù)方程得，
則，∴.
對于，存在數(shù)列，，使得，即①，②，
②①得，
令，則，則是以為首項，
公比為的等比數(shù)列.
則，AB錯；
對C，，C對；
對D，，
，
兩式相減得，
.
∴，D對.
故選：CD.
10．AD
【分析】令，求得，令，求得，令，求得，可判定A正確；化簡得到，可判定B錯誤；令，求得，結合等比數(shù)列的求和公式，可判定C錯誤；令，求得，令，得到，結合等比數(shù)列的求和公式，求得的值，可判定D正確．
【詳解】因為對任意的，都有，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；
由
，所以B錯誤；
若，令，可得，
則，
可得，
兩式相減得：
，所以C錯誤；
令，可得，解得，
令，則，
所以
，所以D正確．
故選：AD
【點晴】方法策略：對于抽象函數(shù)問題的求解方法：
（1）已知抽象函數(shù)的關系式或條件，該類問題一把采用賦值法，通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，尋找規(guī)律解答，賦值法時解答此類問題的常用技巧；
（2）利用數(shù)列的方法研究抽象函數(shù)的相關問題時，應準確構造相應的數(shù)列，注意函數(shù)與數(shù)列中相關限制條件的合理轉化.
11．ACD
【分析】根據歐拉函數(shù)的定義可判斷ABC，求出可判斷D.
【詳解】與互素的正整數(shù)有，所以，故A正確；
因為，所以數(shù)列不為遞增數(shù)列，故B錯誤；
與互素的正整數(shù)有，共有個，所以，
因為，
所以，
所以，
兩式相減得
，
所以，故D正確，
故選：ACD
12．BD
【分析】與公共項從小到大排列出，可知為等比數(shù)列，求出通項公式再利用錯位相減求的前n項和，即可知正確選項.
【詳解】數(shù)列中的項為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
數(shù)列中的項為2，4，8，16，32，64，128，…，
∴數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
∴；
∴，記數(shù)列的前n項和為，
則，
，
兩式相減：
，
∴.
故選：BD
13．
【分析】利用錯位相減法求和即可.
【詳解】由題意可得第層貨物的單價為萬元，
故第層的貨物的價格為萬元，
則這堆貨物總價為①,
則②,
由②－①可得:
，
.
故答案為：；
14．
【分析】利用錯位相減法求和.
【詳解】在中，與不互質的數(shù)有，共有個，
所以，
所以，
設數(shù)列的前項和為，
所以，
，
兩式相減可得,
所以,
即,
故答案為：.
15．
【分析】先求出數(shù)列的通項公式，再用錯位相減法求出的值.
【詳解】由可得當時，，
所以，滿足，故，.
令，
則，
兩式相減得：，
所以.
故答案為：
16．
【分析】先求得，然后利用錯位相減求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
，
以此類推可知，數(shù)列是首項為，公比是的等比數(shù)列，
所以.
令，
則，
，
兩式相減得

所以.
所以.
故答案為：
17． ； ．
【分析】依題可知，各等邊三角形的面積成等比數(shù)列，公比為，首項為，即可求出以及，再根據分組求和法以及錯位相減法求出．
【詳解】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即；
，而，設
，
，作差得：
，所以，所以
．
故答案為：；．
18．
【分析】寫出數(shù)陣中所有數(shù)據的和，利用錯位相減法求解即可.
【詳解】由題意，設數(shù)陣中所有數(shù)據的和為，
則①，
②，
由①-②得：
，
所以.
故答案為：
【點睛】方法點睛：解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數(shù)據、尋找它們之間的相互聯(lián)系，利用常見數(shù)列的通項公式和求和知識求解.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用數(shù)列的前項和，即可求數(shù)列的通項公式；
（2）首先根據（1）的結果求數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）當時，，
由已知，，①
當，，②
①②，得，
得，
當時，，成立，
綜上可知，；
（2）由（1）可知，，
則，
，
，
兩式相減得，
即，
所以
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用錯位相減法即可得解.
【詳解】（1）因為，
當時，得，
當時，，
兩式相減得：，則，
檢驗：滿足上式，故；
（2）由（1）知，
則，
故，
兩式相減可得：
，
故．

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