高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科 試題
考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．集合，集合，則集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．設(shè)是三個(gè)不同平面，且，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．若命題，有且，則命題為（ ）
A．且B．或
C．且D．或
5．已知向量，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．是的一個(gè)對(duì)稱中心D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
7．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器繞邊傾斜．隨著傾斜度的不同，在下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
（1） （2） （3）
A．沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B．棱始終與水面所在平面平行
C．水面所在四邊形的面積為定值D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，是定值
8．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．的虛部是
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根
10．已知非零向量，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則與的夾角為銳角
D．已知，，，則
11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．記的中點(diǎn)為，上存在一點(diǎn)，使得面面
B．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
C．三棱錐體積的最小值為
D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知，，則______．
13．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為_(kāi)_____．
14．如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂?shù)缴侥_某處的距離（垂直于水平面），研究人員在距研究所處的觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，山腳的俯角為．若該研究員還測(cè)得到處的距離比到處的距離多，且，則______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位．
（1）求；
（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若復(fù)數(shù)滿足，求的最值．
16．（本小題滿分15分）
在中，點(diǎn)在邊上，，，，．
（1）求的模；
（2）求向量與夾角的余弦值；
（3）若點(diǎn)在邊上，求的范圍．
17．（本小題滿分15分）
三棱柱的棱長(zhǎng)都為2，和分別是和的中點(diǎn)．
（1）求證：直線平面；
（2）若，點(diǎn)到平面的距離為，求三棱錐的體積．
18．（本小題滿分17分）
在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，，
（1）求的解析式；
（2）關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）關(guān)于的不等式的解集中的正整數(shù)解恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2023學(xué)年第二學(xué)期浙里特色聯(lián)盟期中聯(lián)考
高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．13．14．（m）
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）
（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)所以
（2）法一：因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，
可得，即
所以，解得，
法二：若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則是該方程的另一個(gè)根。
根據(jù)韋達(dá)定理得，解得
（3）設(shè)，則，即
求的最值，
則，
16．（15分）
（1），，
（2），，
（3）設(shè)邊的中點(diǎn)為，，
，
17．（15分）
（1）法一：在三棱柱中，，取中點(diǎn)，連接
和分別是和的中點(diǎn)，
，，，
又面，面，且面，面，
面，面，又，面，
面平面，而面，故直線平面．
法二：連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖，
在三棱柱中，，，
，
，則，又面，面，直線平面．
（2）如圖，
直線平面，，又，
所以平行四邊形邊上的高，
由到面的高，
則
18．（17分）
（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理邊化角得
所以，又，
所以又為銳角，則
（2）由正弦定理則，，
所以，
，
因?yàn)樵阡J角三角形中，得，所以，
則，所以的取值范圍為
19．（17分）
（1）由題意，函數(shù)，，則，
所以函數(shù)的解析式
（2）由（1）和，可得，
即的解集為
設(shè)，則，即，
又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為6，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）由（1）和，可得，
因?yàn)椴坏仁降慕饧姓麛?shù)解恰好有3個(gè)所以當(dāng)時(shí)，有
若，則該不等式在上恒成立，與題設(shè)矛盾．
故，所以，設(shè)不等式的解集為
又由函數(shù)的性質(zhì)和條件可得，，所以
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
D
A
C
A
9
10
11
AC
BD
ACD

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