一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分．）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合，，則.
故選：B.
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)榱吭~命題否定的規(guī)則為：改量詞，否結(jié)論，
所以命題“”的否定為.
故選：D.
3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于，有，解得且，
所以的定義域?yàn)?
故選：D.
4. 下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對于A，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，A不是；
對于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋诙x域上不單調(diào)，B不是；
對于C，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞減，C是；
對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上不單調(diào)，D不是.
故選：C.
5. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)，與，對應(yīng)關(guān)系不同，不表示同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，的定義域是，的定義域也是，
則兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，表示同一函數(shù)，故B正確；
C選項(xiàng)，的定義域是，的定義域?yàn)椋?br>所以兩函數(shù)的定義域不同，不表示同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由且，解得，則定義域?yàn)椋?br>由，解得或，則定義域?yàn)榛颍?br>所以兩函數(shù)定義域不同，不表示同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 不等式的解集為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，解得?br>所以的解集為.
故選：A.
7. 已知是定義在上的偶函數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，顯然成立，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，
取，則滿足，但不成立，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
8. 的定義域是，則下列命題中不正確的是（ ）
A. 若是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)
B. 若是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)
C. 若是單調(diào)遞減函數(shù)，則也是單調(diào)遞減函數(shù)
D. 若是單調(diào)遞增函數(shù)，則也是單調(diào)遞增函數(shù)
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>則f-x=fx，的定義域也為，
故，則為偶函數(shù)，故A正確；
對于B，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>則f-x=-fx，的定義域也為，
故，則為奇函數(shù)，故B正確；
對于C，取，則為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足條件，
但此時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)論不成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，任取，且，
則，所以，
則也是單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯(cuò)選得0分．）
9. 若集合，，且，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，，且?br>所以或，解得或或，
當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，，不滿足集合的互異性，舍去；
綜上，或，故ABD正確，C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，則的最小值為2
B. 若，則的最小值為1
C. 若，，且，則的最小值為
D. 若，，且，則的最大值為
【答案】BC
【解析】對于A，因?yàn)?，取，則，
顯然的最小值不可能為2，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為1，故B正確；
對于C，因?yàn)?，，且?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，
故C正確；
對于D，因?yàn)?，，所?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，顯然等號無法取得，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 設(shè)，定義：，，下列式子正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋?br>則表示中較大的數(shù)，表示中較小的數(shù)，
對于A，，所以，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，，
所以，而，
此時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則；
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
則；綜上，，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
綜上，，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知集合，，則的值為________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，?br>所以是的一個(gè)解，
即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.
13. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，），則___________.
【答案】
【解析】由題設(shè)，若，則，可得，
∴，故.
14. 對于函數(shù)，若對于任意的，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.
【答案】
【解析】由題意知對任意的，恒成立，
則，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，顯然滿足；
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以，，
所以，即，
此時(shí)沒有最小值，所以，解得，故；
綜上，.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求，；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）解，得，故，
當(dāng)時(shí)，，
所以或，.
（2）因?yàn)?，所以?br>由（1）可知，又，
當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，且，解得；
綜上，或，即實(shí)數(shù)a取值范圍為.
16. 已知定義域是的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）若，求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（3）若，不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.
解：（1）當(dāng)，時(shí)，，
則，
又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以此時(shí)只需考慮在上的單調(diào)性即可，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，其圖象開口向下，對稱軸為，
所以，解得，即的取值范圍為.
（3）因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，
所以此時(shí)只需考慮在0,+∞上的解析式即可，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以，
因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，則，而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，所以，即.
17. 某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
（1）求年產(chǎn)量多少噸時(shí)，總成本最低，并求最低成本
（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤最大利潤是多少
解：（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，其生產(chǎn)的總成本最低，最低成本為萬元.
（2）設(shè)該工廠年獲得總利潤為萬元，
則
.
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.
故當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤萬元.
18. 已知，，函數(shù)．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求不等式的解集（用表示）．
解：（1）由，得，即，而，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
（2）由，得，即，
不等式，
當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得或，
所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為R；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
19. 已知實(shí)數(shù)集，定義.
（1）若，求；
（2）若，求集合；
（3）若中的元素個(gè)數(shù)為9，求的元素個(gè)數(shù)的最小值．
解：（1）依題意，.
（2）依題意，，且中有4個(gè)非零元素，符號為一負(fù)三正或者一正三負(fù)，
記，不妨設(shè)或者，
①當(dāng)時(shí)，且，
相乘得，解得，
因此，；
②當(dāng)時(shí)，同理得到，，
，
所以或.
（3）先證明中元素個(gè)數(shù)不小于13，
若將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時(shí)，集合不變，
則不妨設(shè)中正數(shù)個(gè)數(shù)不少于負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)，
①集合中沒有負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，則，
積從小到大，至少共有1+7+6=14個(gè)數(shù)，它們都是的元素，
則中元素個(gè)數(shù)不小于14，
②集合中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，
設(shè)是中的全部負(fù)元素，是中的全部非負(fù)元素，
不妨設(shè)，其中為正整數(shù)，，
于是有，
以上是中個(gè)非正數(shù)元素，又，
它們是中的5個(gè)正數(shù)，即中元素個(gè)數(shù)不小于13，
因此中元素個(gè)數(shù)不小于13，取，
得中恰有13個(gè)元素.
所以中元素個(gè)數(shù)的最小值為13.

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