高二年級數(shù)學學科試題
考生須知：
1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。
4.考試結束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1.若集合，，則（ ）
A.B.
C.D.
2.在等差數(shù)列中，，，則的值是（ ）
A.13B.14C.16D.17
3.已知空間向量，，則下列結論正確的是（ ）
A.B.與夾角的余弦值為
C.D.
4.若函數(shù)，則（ ）
A.0B.C.D.
5.若點是角終邊上一點，且，則的值為（ ）
A.B.C.-2D.2
6.已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（ ）
A.B.
C.D.
7.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（ ）
A.B.
C.D.
8.已知拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，M為線段的中點，若，則點M到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A.4B.6C.7D.8
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.的實部為1B.在復平面內對應的點位于第四象限
C.的虛部為D.的共軛復數(shù)為
10.袋子中共有大小和質地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球.甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則（ ）
A.甲與乙互斥B.乙與丙互斥
C.甲與乙獨立D.甲與乙對立
11.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道I上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設圓形軌道I的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（ ）
A.軌道I的長軸長為
B.軌道Ⅱ的焦距為
C.若R不變，r越小，軌道Ⅱ的短軸長越大
D.若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越小
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，，，則__________.
13.已知直線：.若點在直線上，則數(shù)列的前n項和__________.
14.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人崗稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點，，動點滿足，則點P的軌跡與圓C：的公切線的條數(shù)為___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）在中，，.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：
（1）求的大小，
（2）求的面積
條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，不給分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
16.（15分）已知，在處取得極小值.
（1）求的解析式
（2）求在處的切線方程.
（3）若方程有且只有一個實數(shù)根，求k的取值范圍.
17.（15分）已知數(shù)列中，，點在直線上.
（1）求數(shù)列的通項公式及其前項的和.
（2）設，，證明：.
18.（17分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是等邊三角形，，點M，N分別為和的中點.
（1）求證：平面.
（2）求證：平面平面.
（3）求與平面所成角的正弦值.
19.（17分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，若以圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于A，B兩點，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，
且直線，的斜率之積為.
（1）求橢圓E的方程
（2）點P是直線：上一動點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為M，N.
①求證直線恒過定點，并求出此定點.
②求面積的最小值.
2023學年第二學期浙里特色聯(lián)盟期中聯(lián)考
高二年級數(shù)學學科參考答案
命題：嚴州中學 劉勝春
審稿：壽昌中學 肖彪紅
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.ABD 10.BC 11.AB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.±2（對一個2分） 13. 14.2
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
（1）依題意，，，由正弦定理得
選①，，則，三角形不存在，不符合題意.
選②，，則，，則為銳角，且.
且由得，，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.
選③，，由正弦定理得，
由于，，所以，則，則B為銳角，且.
由余弦定理得，即，
得，，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合題意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，
所以.
16.（15分）【解析】
（1）由題意知，
因為在處取得極小值
則，
解得：，
經(jīng)檢驗，滿足題意，所以，，
所以
（2）由題意知，，所以，，所以切點坐標為，斜率
所以切線方程為：，即.
（3）令，解得或，則x，，的關系如下表：
則，
方程有且只有一個實數(shù)根等價于有且只有一個實數(shù)根，
等價于函數(shù)與有且只有一個交點，即或，解得：或，
所以.
17.（15分）【解析】
（1）因為點在直線上，所以，
又，故數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，所以，
.
（2）由題可知，記，
所以①
①，得②
①-②，得，
故，又，故，即證.
18.（17）分）【解析】
（1）取中點E，連接，，由M為中點，N為中點，得，，
又，，則，，因此四邊形為平行四邊形，
于是，而平面，平面，所以平面.
（2）過作于點Q，連接，由，，，
得，則，
即，而，，
因此，又，平面，
則平面，平面，
所以平面平面.
（3）由（2）知，直線，，兩兩垂直，
以點Q為原點，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，
設平面的一個法向量，則，
令，得，
設與平面所成角為，，
所以與平面所成角的正弦值是.
19.（17）分）【解析】
（1）解：若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于A，B兩點，
若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，可得，可得，
設，且，，則，
因為，可得，
所以，所以橢圓的方程為.
（2）解：①由（1）知，橢圓的焦點，
設，，，
則切線的方程為，即，點在直線上，
所以，即，
因為，，所以，
因為，所以，
代入上式，可得
所以，同理，
所以直線恒過定點.
②由（1）知直線恒過定點，
令直線：，代入橢圓方程，
聯(lián)立方程組，可得，
則，，且，
（i）當時，點到直線的距離為，
因為，所以，所以，
所以，所以，
又由弦長公式，
可得
，
所以，
令，所以，
則，
因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，
所以；
（ii）當時，，綜上可得，的最小值為.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
C
A
D
C
A
B
-2
2
+
0
-
0
+
單調遞增
單調遞減
單調遞增

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