山東省濟(jì)南市高新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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第I卷（選擇題共48分）
注意事項(xiàng)：
第Ⅰ卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答案寫在試卷上無效．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. “二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶．下列四幅標(biāo)識(shí)圖，其中文字上面圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．
2. 下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
C．右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．
3. 如圖，四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的各種判定方法解題即可．
【詳解】解：A、，，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定四邊形是平行四邊形，不符合題意；
B、，，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定四邊形是平行四邊形，不符合題意；
C、，，根據(jù)一組對邊平行且相等的兩個(gè)四邊形是平行四邊形，可以判定四邊形是平行四邊形，能符合題意；
D、，不能判定四邊形是平行四邊形，符合題意．
故選：D．
4. 如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長是（ ）

A. 2B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長．
【詳解】解：∵沿方向平移至處．
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．
5. 如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（ ）
A. 擴(kuò)大為原來的2倍B. 擴(kuò)大為原來的4倍C. 不變D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】將分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，得到新的分式化簡與原分式比較即可得答案．
【詳解】解：分式中的x，y都擴(kuò)大到原來的2倍，那么新分式為，
所以分式的值擴(kuò)大為原來的2倍．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或者整式分式的值不變．
6. 如圖 4×4 的正方形網(wǎng)格中，其中一個(gè)三角形①繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到三角形②，則其旋轉(zhuǎn)中心是（ ）

A. 點(diǎn) AB. 點(diǎn) BC. 點(diǎn) CD. 點(diǎn) D
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出兩組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線的垂直平分線，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：如圖：作出三角形①和三角形②兩組對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn) B
為旋轉(zhuǎn)中心．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了旋轉(zhuǎn)中心的確定，是基礎(chǔ)題，比較簡單．
7. 如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)D在線段延長線上，則的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解題即可．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)D在線段的延長線上，
∴,
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，能夠熟練運(yùn)用性質(zhì)求角度是解題關(guān)鍵．
8. 如圖，，分別表示某一品牌燃油汽車和電動(dòng)汽車所需費(fèi)用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關(guān)系，燃油汽車花費(fèi)25元和電動(dòng)汽車花費(fèi)10元的行車?yán)锍虜?shù)相同．已知燃油汽車每千米所需的費(fèi)用比電動(dòng)汽車每千米所需的費(fèi)用的2倍多元，設(shè)電動(dòng)汽車每千米所需的費(fèi)用為x元，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了列分式方程、函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象，正確獲取信息是解題關(guān)鍵．
先得出燃油汽車每千米所需的費(fèi)用為元，再根據(jù)函數(shù)圖象可得燃油汽車所需費(fèi)用為25元時(shí)與燃?xì)馄囁栀M(fèi)用為10元時(shí)，所行駛的路程相等，據(jù)此列出方程即可得．
【詳解】解：設(shè)電動(dòng)汽車每千米所需的費(fèi)用為x元，則燃油車每千米所需的費(fèi)用為元，
可列方程為，
故選：D．
9. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則陰影部分的面積為（ ）
A. 6B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
過A作于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形得出即可求解．
【詳解】過A作于點(diǎn)D，
在中，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，
，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
且，
，
故選：D．
10. 已知,且，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律與分式的混合運(yùn)算，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算出，據(jù)此得出其循環(huán)規(guī)律，再進(jìn)一步求解可得．
【詳解】解：，
，
，
，
這列式子的結(jié)果以、、為周期，每3個(gè)數(shù)一循環(huán)，
，
．
故選C．
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
注意事項(xiàng)：
1．第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．
2．填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
二、填空題∶（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）
11. 分解因式______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用提取公因式法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確找出公因式．提取公因式，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
故答案為：．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)向上移動(dòng)5個(gè)單位長度后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-圖形的平移，關(guān)鍵是要懂得左右移動(dòng)改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減，右加；上下移動(dòng)改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下減，上加．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：點(diǎn)向上移動(dòng)5個(gè)單位長度后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，即．
故答案為：．
13. 如圖，的對角線相交于點(diǎn)．則的周長為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分、對邊相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得的周長．
【詳解】解：∵的對角線相交于點(diǎn)．
∴，，
∴的周長為．
故答案為：
14. 夏季荷花盛開，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點(diǎn)擬在如圖所示的矩形荷塘上架設(shè)小橋．若荷塘周長為280m，且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋總長為 _____m．
【答案】140
【解析】
【詳解】將小橋橫，縱兩方向都平移到一邊可知，小橋總長中矩形周長的一半，為140m．
15. 若關(guān)于x的方程無解，則a的值是________．
【答案】2或1
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，所給分式方程無解時(shí)存在兩種情況，一種是存在增根，另一種是化為整式方程后，整式方程無解，分情況計(jì)算即可．
【詳解】解：，
等式兩邊同時(shí)乘以，得，
，
當(dāng)或時(shí)，原方程無解．
當(dāng)時(shí)，，則，解得，
當(dāng)時(shí)，解得，
綜上可知，a的值是2或1，
故答案為：2或1．
16. 在四邊形ABCD中，ADBC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4，點(diǎn)E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t的值為 ______時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【答案】4s或s
【解析】
【分析】分點(diǎn)F在線段BM上和點(diǎn)F在線段CM上，兩種情形列出方程即可解決問題．
【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)F在線段BM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t＝4﹣2t，
解得t＝，
②當(dāng)F在線段CM上，AE＝FM時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則有t＝2t﹣4，
解得t＝4，
綜上所述，t＝4s或s時(shí)，以A、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
故答案為：4s或s．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，分類思想，熟練掌握平行四邊形的判定定理，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
三、解答題∶（本大題共10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是正確找出公因式，以及熟練掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．
【小問1詳解】
解：；
【小問2詳解】
解：
．
18. 解分式方程：．
【答案】原分式方程無解
【解析】
【分析】本題主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步驟解分式方程即可．
【詳解】解：
方程兩邊同乘以，
得，
化簡得，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是增根，原分式方程無解．
19. 先化簡，再求值：求：，在1，﹣1，2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)適合的數(shù)，說明理由并代入求值．
【答案】；當(dāng)時(shí)，原式
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把括號內(nèi)的通分，再進(jìn)行除法運(yùn)算，化簡后代入合適的數(shù)即可，正確利用分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式?
?
；
當(dāng)a取1，﹣1時(shí)，原式無意義，
當(dāng)時(shí)，原式．
20. 在邊長為個(gè)單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請解答下列問題：
（1）作出向左平移個(gè)單位長度后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可看作以點(diǎn)（ ， ）為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)得到的．
【答案】（1）作圖見解析，
（2）作圖見解析，
（3），
【解析】
【分析】本題主要考查圖形的平移、旋轉(zhuǎn)以及中心對稱：
（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)分別求得點(diǎn)，，平移后的對應(yīng)點(diǎn)，，，依次連接點(diǎn)，，即可．
（2）分別求得點(diǎn)，，關(guān)于原點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，，，依次連接點(diǎn)，，即可．
（3）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，連接和中任意兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
【小問1詳解】
如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【小問2詳解】
如圖所示， ．
【小問3詳解】
可看作以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)得到的．
故答案為：，
21. 如圖，已知，是的角平分線，交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證得，進(jìn)而利用角平分線的定義證得，再利用等腰三角形的等角對等邊證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得，再等量代換可得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
∵平分，
∴．
∴，
∴；
小問2詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，又，
∴．
∴．
22. 如圖，中，E、F為對角線上的兩點(diǎn)，且，連接，．
（1）求證：．
（2）連接、，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出即可；
（2）根據(jù)，得出，，證明，即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，
在與中
，
∴，
∴．
【小問2詳解】
證明：連接、．
由（1）得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
23. 在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一道題：甲、乙兩地相距1400km，乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用9h，已知高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的2.8倍．求高鐵列車從甲地到乙地的時(shí)間．
老師要求同學(xué)先用列表方式分析再解答．下面是兩個(gè)小組分析時(shí)所列的表格：
小組甲：設(shè)特快列車的平均速度為km/h．
小組乙：高鐵列車從甲地到乙地的時(shí)間為h．
（1）根據(jù)題意，填寫表格中空缺的量；
（2）結(jié)合表格，選擇一種方法進(jìn)行解答．
【答案】（1）見解析；（2）5h．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩車速度之間的關(guān)系及時(shí)間=路程÷速度（速度=路程÷時(shí)間），即可找出表格中空缺的量；
（2）任選一種方法，利用乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用9h（或高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的2.8倍），即可得出分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）補(bǔ)全表格如下：
小組甲：設(shè)特快列車的平均速度為km/h．
小組乙：高鐵列車從甲地到乙地的時(shí)間為h．
（2）選擇小組甲：由題可得，，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)，x是原分式方程的解，符合題意．
則．
故高鐵列車從甲地到乙地的時(shí)間為5h．
選擇小組乙：由題可得，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)y是原分式方程的解，符合題意．
故高鐵列車從甲地到乙地的時(shí)間為5h．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
24. 綜合與實(shí)踐：
數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想． 我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．
探索整式乘法的一些法則和公式．
（1）探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式 ．
（2）探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長為a的大正方體進(jìn)行以下探索：
在大正方體一角截去一個(gè)棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為 ；
（3）將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長方體①、②、③，如圖4，圖5所示，，，，長方形①的體積為． 類似地，長方體②的體積為 ，長方體③的體積為 ；（結(jié)果不需要化簡）
（4）用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為 ．
（5）問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3），；
（4）
（5）252
【解析】
【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為、寬為的長方形的面積，由此即可得；
（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；
（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；
（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得，再將等號右邊利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根據(jù)（4）的結(jié)論即可得．
【小問1詳解】
解：圖1中陰影部分的面積為，
圖2中陰影部分的面積為，
拼圖前后圖形的面積不變，
，
可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式為，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：由題意，得到幾何體的體積為，
故答案為：．
【小問3詳解】
解：，
長方體②的體積為，
，
長方體③體積為，
故答案為：，．
【小問4詳解】
解：由（2）和（3）得：，
則可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為，
故答案為：．
【小問5詳解】
解：，，
，即，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．
25. 【閱讀理解】我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式M，N的大小，只要作出差，若，則；若，則；若，則．
【解決問題】
（1）若，試判斷： 0（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）已知，，當(dāng)時(shí)，試比較與B的大小，并說明理由；
（3）小明和小紅兩次購物均買了同一種商品，小明兩次都買了m千克該商品，小紅兩次購買該商品均花費(fèi)n元，已知第一次購買該商品的價(jià)格為a元/千克，第二次購買該商品的價(jià)格為b元/千克（a，b是整數(shù)，且）．請用代數(shù)式表示小明和小紅每次所購商品的平均價(jià)格并用作差法比較兩人每次所購買商品的平均價(jià)格的高低．
【答案】（1）＞ （2）
（3）小明兩次購買商品的平均價(jià)格為， 小紅兩次購買商品的平均價(jià)格為，小明兩次購買商品的平均價(jià)格高于小紅兩次購買商品的平均價(jià)格
【解析】
【分析】本題考查分式加減法，完全平方公式，平方差公式等．
（1）根據(jù)題意先通分，再計(jì)算，即可得到本題答案；
（2）根據(jù)題意作差法即可得到本題答案；
（3）根據(jù)題意先計(jì)算出小明和小紅兩次購買商品的平均價(jià)格，再利用作差法即可得到本題答案．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
故答案為：＞；
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：小明兩次購買商品的平均價(jià)格為，
小紅兩次購買商品的平均價(jià)格為，
∴，
∴小明兩次購買商品平均價(jià)格高于小紅兩次購買商品的平均價(jià)格．
26. 我們可以通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．
（1）思路梳理：
∵，
∴把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合．
∵，
∴，點(diǎn)F、D、G共線．
易證 ，得．
（2）類比引申：
如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，．若、都不是直角，則當(dāng)時(shí)，是否仍有，并說明理由．
（3）聯(lián)想拓展：
如圖3，在中，，，點(diǎn)D、E均在邊上，且．猜想、、應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．
【答案】（1）
（2）仍有；理由見解析
（3）猜想：．理由見解析
【解析】
【分析】（1）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；
（2）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；
（3）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，證明，則，，是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．
【小問1詳解】
∵，
∴把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，如圖1，
∵，
∴，點(diǎn)F、D、G共線，
則，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案為：；
【小問2詳解】
仍有；理由如下：
∵，
∴把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，如圖2所示：
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，點(diǎn)F、D、G共線，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小問3詳解】
猜想：．理由如下：
把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，如圖3所示：
則，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；能正確作出輔助線得出全等三角形是解題的關(guān)鍵．時(shí)間/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高鐵列車
1400
特快列車
1400
時(shí)間/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高鐵列車
1400
特快列車
1400
時(shí)間/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高鐵列車
1400
特快列車
1400
時(shí)間/h
平均速度/（km/h）
路程/km
高鐵列車
1400
特快列車
1400