山東省濟南市歷城區(qū)濟南稼軒學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 年北京冬奧會在北京，張家口等地召開，在此之前進行了冬奧會會標(biāo)征集活動，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義解答即可．
【詳解】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：B．
【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
2. 下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解的定義解答．
【詳解】解：中不是整式，故A選項不符合題意；
是整式乘法計算，故B選項不符合題意；
是因式分解，故C選項符合題意；
不是分解為整式的乘積形式，故D選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】此題考查因式分解的定義：將一個多項式寫成幾個整式的積的形式叫做將多項式分解因式，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
3. 已知，則下列不等式中不正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一進行分析即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，
故選項A、B、D描述正確，不符合題意；
∵，
∴
故選項C描述錯誤，符合題意；
故選：C．
【點睛】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
4. 把多項式分解因式，應(yīng)提的公因式是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】公因式的確定，一看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的．
【詳解】多項式的公因式為．
故選D．
【點睛】本題考查了公因式的定義，一個多項式各項都含有的相同的因式叫做這個多項式的公因式．
5. 把分式中的x，y的值都擴大為原來的5倍，則分式的值（）
A. 縮小為原來的B. 不變
C. 擴大為原來的10倍D. 擴大為原來的5倍
【答案】A
【解析】
【分析】先把分式中的x、y用5x，5y代替，再把所得式子與原式相比較即可．
【詳解】把中的x，y的值都擴大為原來的5倍，則變?yōu)椋?br>故選A.
【點睛】本題考查的是分式的性質(zhì)，熟練掌握分式是解題的關(guān)鍵.
6. 把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移項解出不等式的解集，再結(jié)合選項答案進行對比選擇．
【詳解】解不等式得：
在數(shù)軸上表示為：
故選：A．
【點睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知實心圓點與空心圓點的區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵．
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是的邊上任一點，已知的頂點坐標(biāo)為，，，將平移后得到，若點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，則點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】點的橫坐標(biāo)減去了4，縱坐標(biāo)減去了1，所以的平移方法是：先向左平移4個單位，再向下平移1個單位，即可得到答案．
【詳解】解：平移后對應(yīng)點的坐標(biāo)是，
的平移方法是：先向左平移4個單位，再向下平移1個單位，
點的平移方法與點的平移方法是相同的，
平移后的坐標(biāo)是：．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了點的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．
8. 如圖，直線與的圖象相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方時自變量的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)時，，得
由函數(shù)圖象可知，關(guān)于x的不等式的解集為，
故選：C．
9. 如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】解：作MH⊥DE于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，
∵正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AEFG的位置，
∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，
∴∠2=60°，
∴△AED為等邊三角形，
∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，
∴∠5=∠6=30°，
∴△MDE為等腰三角形，
∴DH=EH=，
在Rt△MDH中，MH=DH=×=，
∴S△MDE=×1×=．
故選D．
10. 如圖，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC的中點，，垂足為E，過點B作BF//AC交DE的延長線于點F，連接CF，AF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BF=2；②；③AD平分∠CAB；④AF=；⑤∠CAF=∠CFB，其中正確的結(jié)論是（）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④⑤D. ①②④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可判斷①；先證明△ACD≌△CBF，可判斷②；根據(jù)中線和角平分線的定義可判斷③；根據(jù)中垂線的性質(zhì)和勾股定理和判斷④；根據(jù)△ACD≌△CBF，可判斷⑤.
【詳解】①∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC的中點，
∴BD=CD=2，∠CAB=∠CBA=45°，
∵BF∥AC，DF⊥AB于點E，
∴∠FBA=∠CAB=45°，∠DEB=90°，
∴∠DBF=90°，∠BDF=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF=BD=CD=2；即結(jié)論①正確；
②如下圖，∵在△ACD和△CBF中，AC=BC，∠ACD=∠CBF=90°，CD=BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF+∠CAD=90°，
∴∠AOC=90°，
∴AD⊥CF；即結(jié)論②正確；

∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC的中點，
∴AD是△ABC的中線，但不是△ABC的角平分線；即結(jié)論③錯誤；
由①可知，△BDF中，BD=BF，BE⊥DF，
∴AE是DF的垂直平分線，
∴AF=AD，
∵在△ACD中，∠ACD=90°，AC=4，CD=2，
∴AD=，
∴AF=，即結(jié)論④正確；
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
∵AD=AF，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF，
∵BF∥AC，
∴∠ACF=∠CFB，
∴∠CAF=∠CFB；即結(jié)論⑤正確.
綜上所述，正確結(jié)論是①②④⑤.
故選D.
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.
二、填空題（共6小題，共24分）
11. 把多項式分解因式的結(jié)果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
12. 若分式的值為零，則=_______．
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到|x|-3=0且x-3≠0，解方程即可確定x的值．
【詳解】根據(jù)題意得|x|-3=0且x-3≠0，
解|x|-3=0得x=3或-3，
而x-3≠0，
所以x=-3．
故答案為-3．
【點睛】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子為0，分母不為0，則分式的值為0．
13. 已知，則代數(shù)式的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，再整體代入變形后的代數(shù)式即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴；
故答案為：
【點睛】本題考查的是分式的求值，熟練把條件變形再整體代入計算是解本題的關(guān)鍵．
14. 已知關(guān)于的分式方程有增根，則的值為_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查分式方程的增根；熟練掌握分式方程的求解方法，分式方程增根與分式方程根之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的求解方法求出，再由是方程的增根，得到等式，即可求解．
【詳解】解：將變形為，
方程兩邊同時乘以，得：
，
∴．
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
∴．
故答案為：4．
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，將△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四邊形ABED的面積等于8，則平移的距離為_____．

【答案】2
【解析】
【詳解】∵將△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
四邊形ABED的面積等于8，AC=4，
∴平移距離BE=8÷4=2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，可得四邊形ABED是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解．
16. 已知，直線與軸交于點，點與點關(guān)于軸對稱．是直線上的動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得．連接，則線段的最小值為__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換．設(shè)直線交軸于，可得，，，，當(dāng)在直線上運動時，的軌跡是將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的一條直線，設(shè)直線交軸于，過作于，當(dāng)運動到時，過軸于，可得，直線解析式為，令得，，從而可得，在中，由勾股定理求得，即得當(dāng)運動到時，的最小值即為的長3．
【詳解】解：設(shè)直線交軸于，
在中，令得，令得，
∴，，
點與點關(guān)于軸對稱，
∴，，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，
當(dāng)在直線上運動時，的軌跡是將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的一條直線，
設(shè)直線交軸于，過作于，當(dāng)運動到時，過軸于，如圖：
由已知可得：是等邊三角形，
，，
，，
∴，
由，可得直線解析式為，
令得，
，，
取的中點，連接，
∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
，
在中，
，
由勾股定理得，
當(dāng)運動到時，的最小值即為的長3，如圖：
故答案為：3．
三、解答題（共10小題）
17. 把下列各式因式分解：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解．
（1）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．
小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
18. 解不等式（組）：
（1）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
（2）解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．
【答案】（1），數(shù)軸表示見解析
（2），不等式組的整數(shù)解是，0，1
【解析】
【分析】（1）運用解一元一次不等式的法則計算，并把解集表示在數(shù)軸上即可解答；
（2）把每個不等式的解集求出，再合并兩個不等式的解集，并在不等式組的解集中尋找整數(shù)解，即可解答．
【小問1詳解】
解：去括號：，
移項得：，
合并同類項得：，化系數(shù)為1得：，
所以原不等式的解集是：，
在數(shù)軸上表示為：
【小問2詳解】
(2)解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故該不等式組的解集是：，
∴該不等式組的整數(shù)解是，0，1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練運用口訣求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．
19. 先化簡，再求值：，并從，，中選一個合適的數(shù)作為的值代入求值．
【答案】，當(dāng)時，原式
【解析】
【分析】先通分，然后化除為乘，根據(jù)，，進行約分，然后代值求解即可．
【詳解】
；
∵,
∴當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握，，對分式進行化簡，注意分式有意義的條件．
20. 解方程：
（1）＝4
（2）
【答案】（1）x=1 （2）無解
【解析】
【分析】（1）兩邊同乘，去括號，移項合并同類項，進行計算即可得；
（2）方程兩邊同乘以得，進行計算即可得．
【小問1詳解】
解：
兩邊同乘得，，
去括號得，，
移項合并同類項得，，
解得，
檢驗：當(dāng)時，，
∴方程的解為：；
【小問2詳解】
解：
方程兩邊同乘以得，，
整理得，，
系數(shù)化為1得，，
檢驗：當(dāng)時，，
則是原方程的增根，
∴方程無解．
【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法，解分式方程注意材檢驗．
21. 已知:在中, ,為的中點, , ,垂足分別為點,且.求證:是等邊三角形.

【答案】證明見解析.
【解析】
【詳解】分析：由等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C．再用HL證明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，從而得到∠A=∠B=∠C，即可得到結(jié)論．
詳解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．
∵D為的AC中點，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等邊三角形．
點睛：本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明∠A=∠C．
22. 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(﹣2，﹣4)，B(0，﹣4)，C(1，﹣1)．
（1）畫出ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形A1B1C1；
（2）將（1）中所得A1B1C1先向左平移4個單位再向上平移2個單位得到A2B2C2，畫出A2B2C2；
（3）若A2B2C2可以看作ABC繞某點旋轉(zhuǎn)得來，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）(﹣3，﹣1)
【解析】
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1即可；
（2）利用點平移坐標(biāo)變換規(guī)律寫出點A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點即可；
（3）作B2B和AA2的垂直平分線，它們的交點為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；
∵A1（4，-2），B1（4，0），C1（1，1），
∴A2（0，0），B2（0，2），C2（-3，3）；
（3）如圖，△A2B2C2可以看作△ABC繞P點旋轉(zhuǎn)得來，
作作B2B和AA2的垂直平分線可以發(fā)現(xiàn)兩者交于點（-3，-1）
旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（-3，-1）．
故答案為：（﹣3，﹣1）．
【點睛】本題主要考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，找旋轉(zhuǎn)中線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
23. 某中學(xué)開展關(guān)于“構(gòu)建書香校園”讀書活動的實施方案，以建設(shè)書香校園、和諧校園為目標(biāo)，引領(lǐng)廣大師生“走進五千年文明、品讀祖國經(jīng)典美文”，受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注，學(xué)校計劃采購兩類圖書，通過市場了解，每套種圖書的價錢是每套種圖書價錢的倍，用4000元購買的種圖書比用3000元購買的種圖書多20套．
（1）種圖書，種圖書每套分別為多少元?
（2）現(xiàn)學(xué)校計劃采購60套圖書，且種圖書數(shù)量不低于種圖書數(shù)量的一半，請你用函數(shù)的知識說明，如何采購能使總費用最低?并求出最低費用．
【答案】（1）種圖書每套150元，種圖書每套100元
（2）購買種圖書20套，則購買種圖書40套時，總費用最低，最低費用為7000元
【解析】
【分析】（1）設(shè)種圖書每套元，則種圖書每套元，根據(jù)用4000元購買的種圖書比用3000元購買的種圖書多20套列出方程，解方程即可，注意驗根；
（2）設(shè)學(xué)校購買種圖書套，則購買種圖書套，購買圖書的總費用為元，根據(jù)總費用兩種圖書費用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)種圖書數(shù)量不低于種圖書數(shù)量的一半求出的取值范圍，由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【小問1詳解】
解：設(shè)種圖書每套元，則種圖書每套元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
此時，
答：種圖書每套150元，種圖書每套100元；
【小問2詳解】
解：設(shè)學(xué)校購買種圖書套，則購買種圖書套，購買圖書的總費用為元，
由題意得：，
，
隨的增大而增大，
種圖書數(shù)量不低于種圖書數(shù)量的一半，
，
解得，
當(dāng)時，最小，最小值為7000，
此時（套），
答：學(xué)校購買種圖書20套，則購買種圖書40套時，總費用最低，最低費用為7000元．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程和不等式．
24. 閱讀下列材料：某?！皵?shù)學(xué)社團”活動中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．
“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值；
（3）的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀并說明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）等腰三角形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）首先將前兩項組合提取公因式，后兩項組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先將前兩項以及后兩項組合，前兩項利用平方差公式分解因式，后兩項提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先將原式變形，前三項利用完全平方公式分解因式，后兩項提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判斷．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
，
，，
原式；
【小問3詳解】
是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，即，
是等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解是解題關(guān)鍵．
25. 【問題提出】如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．
（1）【嘗試解決】將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．
∵，，，
∴
∴ 三角形
∴的度數(shù)為．
（2）【類比探究】如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點P，若∠BPA＝30°，求證．
（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，．點P在直線上方且，，求的長．
【答案】（1）直角；
（2）見詳解（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到的度數(shù)．
（2）如圖2中，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．證明，利用勾股定理證明即可．
（3）過點C作于T，連接，設(shè)交于O．證明是等腰直角三角形，，設(shè)，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，即可解決問題．
【小問1詳解】
解：如圖1，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．
∵，，，
∴，
∴為直角三角形．
∴的度數(shù)為．
故答案為：直角；．
【小問2詳解】
證明：如圖2中，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【小問3詳解】
解：過點C作于T，連接，設(shè)交于O．∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
解得或（負(fù)值舍棄），
∴，
∴．
【點睛】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

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