高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題
命題：蕭山中學(xué)王建國、沈建剛 審校：臨平中學(xué)（余高）盛立忠 審核：縉云中學(xué)潛艷蕾
考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
第I卷
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由條件可知，結(jié)合求得，從而代入得解.
【詳解】因為成等差數(shù)列，所以；
又，所以，即，所以，
所以.
故選：C.
2. 已知，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)條件概率公式計算即可．
【詳解】因為，，
所以，即，
故選：B．
3. 與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程中的換成即可得到所求直線方程.
【詳解】直線關(guān)于軸對稱的直線為：，即.
故選：B.
4. 降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位，它可以直觀地表示降雨的多少，目前，測定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測量時，將雨量筒中的雨水倒在量杯中，根據(jù)杯上的刻度就可知道當(dāng)天的降雨量.某興趣小組同學(xué)為測量降水量，自制了一種圓臺形的雨量器（如圖）.某次降水，這種容器收集到的雨水高度為150mm，則該次降水的降雨量最接近（ ）
A. 60mmB. 65mmC. 70mmD. 75mm
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得mm，由圓臺的體積公式求出收集到的雨水量，利用等體積法，結(jié)合圓柱的體積公式建立關(guān)于h的方程，解之即可求解.
【詳解】如圖，分別為上底面、下底面的半徑，且，，
則，
當(dāng)mm時，在中，，即，
解得mm，所以mm，所以圓的面積為，
又圓的面積為，
所以收集到的雨水量為，
設(shè)此時量杯的刻度為，
則，解得.
故選：B
5. 展開式中常數(shù)項為（ ）
A. 28B. C. 7D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二項式的展開式的通項即得.
【詳解】由題意得展開式通項為：
,
令，得，
所以常數(shù)項為.
故選：C.
6. 若函數(shù)有兩個零點，則（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由直線與有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的極值，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求出即可.
【詳解】令，則，
令，則由題意可得直線與有兩個交點，
因為，
令，解得或1，
所以當(dāng)和時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以極小值為，極大值為，
作出圖象：
所以或，
故選：D.
7. 將雙曲線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)的圖象（其漸近線分別為軸和軸），所以我們也稱反比例函數(shù)的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)得到，則此“對勾函數(shù)”所對應(yīng)的雙曲線的實軸長為（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出旋轉(zhuǎn)后實軸所在直線方程，求出雙曲線的兩個頂點坐標，再由兩點間的距離公式可得解.
【詳解】旋轉(zhuǎn)后兩條漸近線分別為和，夾角為，
旋轉(zhuǎn)前后兩條漸近線的夾角不變，實軸所在直線是兩條漸近線所夾角的平分線，
所以旋轉(zhuǎn)后，雙曲線的實軸所在直線的傾斜角為，斜率為，方程為，
聯(lián)立，解得或，
所以旋轉(zhuǎn)后的雙曲線的兩個頂點為或，
所以實軸長為.
故選：D.
8. 記由0，1，2，3，4五個數(shù)字組成的五位數(shù)為.則滿足“對任意，必存在，使”的五位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A. 120B. 160C. 164D. 172
【答案】C
【解析】
【分析】滿足條件的五位數(shù)分為兩類：一類是只由一個數(shù)字組成，另一類是由兩個數(shù)字組成，其中由兩個數(shù)字組成又分為入選與不入選，入選時可以是包含2個或3個，結(jié)合不能放在萬位求解即可.
【詳解】由題意知，滿足條件的五位數(shù)分為兩類：一類是只由一個數(shù)字組成，另一類是由兩個數(shù)字組成.
①只由一個數(shù)字組成，如、等共4個；
②由兩個數(shù)字組成，可分為入選與不入選，
不入選，則從1,2,3,4中選擇兩個數(shù)組成滿足條件的五位數(shù)，如、、等，共有個，
入選，則從1,2,3,4中選擇一個數(shù)組成滿足條件的五位數(shù)，且不能放在萬位，如、、等，共有個，
所以滿足條件的五位數(shù)共有個.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 對向量，，若，則或
B. 對復(fù)數(shù)，，若，則或
C. 對向量，，若，則
D. 對復(fù)數(shù)，，若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】由平面向量數(shù)量積公式計算可判斷A項，設(shè)出、，結(jié)合計算即可判斷B項，由平面向量數(shù)量積公式可知計算可判斷C項，舉反例，可判斷D項.
【詳解】對于A項，因，
所以或或，故A項錯誤；
對于B項，設(shè)（），（），
則，
所以，解得或，
即或，故B項正確；
對于C項，因為，
所以，所以，故C項正確；
對于D項，若，，則滿足，
但此時，故D項錯誤.
故選：BC.
10. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，若，且，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 數(shù)列無最大值D. 是數(shù)列中的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題中，分析出公比，得出等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為，，
所以.
又因為，所以，
所以等比數(shù)列的各項均為正數(shù).
由可知，，
則必有，所以等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列.
依次分析選項：
對于A，，所以，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，D，根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大值，故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
11. 已知拋物線上有兩點?，焦點為F，下列選項中是“直線AB經(jīng)過焦點F”的必要不充分條件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)過拋物線的焦點的直線為，代入拋物線的方程得關(guān)于的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及平面向量的運算法則，判斷題目中的命題是否正確即可．
【詳解】設(shè)直線的方程為，
則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為，，
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，
則，，
對于 ，
，
即，解得或，
∴“”是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；
對于 ，得，
此時直線過拋物線的焦點，
∴“”是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件；
對于，解得，
∴“”是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；
對于
，化簡得，得，
∴“ “是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件．
故選：．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為____________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最大值.
【詳解】因為，
所以，
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以在上的最大值為.
故答案為：
13. 在空間直角坐標系中，O為坐標原點，若，，，則點到平面的距離為____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出平面的法向量后，再計算到平面的法向量的投影即可得.
【詳解】由題意可得，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
可取，則、，即，
則點到平面的距離為.
故答案為：.
14. 已知數(shù)列滿足，，則____________，___________.
【答案】 ①. 0 ②. 2023
【解析】
【分析】分別令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【詳解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上個式子相加可得：
，所以，
則.
故答案為：0；2023.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15. 如圖，在平面四邊形中，，，為的平分線，且.
（1）求線段的長；
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角的余弦公式可得，再由余弦定理可求出線段的長；
（2）由二倍角余弦公式可得，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和面積公式求解即可.
【小問1詳解】
在中，由，，
則：，
，
所以
，
由余弦定理得：
，所以.
【小問2詳解】
因為為的平分線，
所以，
在直角中，得，
因為，所以,
所以.
16. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；
（2）要使恒成立，則需成立，借助導(dǎo)數(shù)，分、、討論，得其單調(diào)性即可得解.
小問1詳解】
當(dāng)時，，，
所以，，
曲線在處的切線方程為；
【小問2詳解】
要使恒成立，則需成立，
，
當(dāng)時，，所以在遞增，
而，不合題意；
當(dāng)時，恒成立，符合題意；
當(dāng)時，令得，
則在遞減，在遞增，
所以，解得.
綜上所述，.
17. 如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.
（1）若點是的中點，
（i）求證：平面；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）在線段上是否存在一點，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）（?。┳C明見解析；（ⅱ）
（2）存在，
【解析】
【小問1詳解】
（ⅰ）設(shè)矩形的中心為，則是的中點，而是的中點，所以.
而是矩形的中心，故也是的中點，所以在平面內(nèi)，又因為不在平面內(nèi)，所以平面；
（ii）由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內(nèi)，故平面.
所以直線與平面所成角的正弦值等于.
下面證明一個結(jié)論：在中，若的長分別為，則邊上的中線長為.
證明：設(shè)為的中點，，則由余弦定理，結(jié)合得
.
所以，即，故.
回到原題.
由于平面，而在平面內(nèi)，故，.
從而，這得到，.
而，故根據(jù)之前證明的結(jié)論，我們有，，從而.
這表明，所以直線與平面所成角的正弦值等于.
【小問2詳解】
在平面內(nèi)過作，交于，在平面內(nèi)過作，交于.
由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內(nèi)，故平面. 而在平面內(nèi)，故.
又因為，在平面內(nèi)交于，故平面.
由平面，在平面內(nèi)，知.
由，，且在上，知二面角等于.
從而條件即為，即，即.
設(shè)，則，故，.
同時，.
故條件即為，即.
解得，所以.
綜上，存在滿足條件的點，.
18. 已知拋物線：，點為拋物線外一點（如圖），過點D作的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）求證：直線的方程為；
（2）若在直線上，以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別求出在，兩點處切線方程，再分別代入點即可發(fā)現(xiàn)A，B兩點都在直線上，進而得到直線的方程.
（2）由（1）得直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出線段的中點為，再根據(jù)圓的性質(zhì)所得建立方程進行研究即可.
【小問1詳解】
設(shè)，，由得，
所以在處的切線方程為，
同理在處的切線方程為，
兩條切線都過，所以，，
顯然A，B兩點都在直線上，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
若在直線上，則直線的方程為，
即直線過定點，不妨設(shè)直線的方程，
由，可得，
于是，，
設(shè)為線段的中點，則，
由于，而，與向量平行，
∴，解得或，
當(dāng)時，，所求圓的方程為；
當(dāng)時，，所求圓的方程為.
19. 甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設(shè)從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經(jīng)過次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為.
（1）寫出的分布列并計算；
（2）某人重復(fù)進行了100次操作，記，，求該數(shù)列的前100項和的最大值；
（3）定性分析當(dāng)交換次數(shù)趨向于無窮時，趨向的值.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）50 （3），理由見解析
【解析】
【分析】（1）第一問就是用相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可計算出結(jié)果；
（2）第二問關(guān)鍵是看懂題意，即甲口袋中黑球個數(shù)為0個時，，甲口袋中黑球個數(shù)不為0個時，，所以要想數(shù)列的前100項和最大，則盡最大可能讓甲口袋中黑球個數(shù)為0，從而得到問題的解法及結(jié)果；
（3）第三問關(guān)鍵是找到第次交換球后的概率與第次交換球后的概率關(guān)系，有了第次交換球后的概率分布，就可以計算第次甲口袋中黑球期望與第次的期望關(guān)系，從而構(gòu)造成等比數(shù)列求出，再用極限思想就可以得到結(jié)果.
【小問1詳解】
甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.
從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，
記甲口袋中黑球個數(shù)為，則的可能取值有1，2，3，
則，
，
，
所以的分布列為：
即；
【小問2詳解】
根據(jù)題設(shè)可得不可能同時為1，故，
由于，要使得取到最大值，則使得多出現(xiàn)0個，即甲口袋中的黑球要最快被換成白球，
即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，再第二次還是要從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，
這樣經(jīng)歷次可以得到甲口袋中黑球個數(shù)為0，此時，
之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交換，此時，則，
我們可以再次從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，得到，則，
這樣總可以是間隔一次出現(xiàn)甲口袋中沒有黑球，所以的最大值為50；
【小問3詳解】
設(shè)表示第次交換后甲口袋中黑球有個概率，
則，
，
，
，
所以
，
由上可得期望的遞推關(guān)系：，
變形構(gòu)造為：，由(1)得，所以，
即數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以當(dāng)交換次數(shù)趨向于無窮時，趨向的值為.
【點睛】方法點睛：本題創(chuàng)新在第二問數(shù)列求和的最大值，看似是一個很難很麻煩的問題，但我們能構(gòu)理解題意，找到問題可能發(fā)生的結(jié)果，甚至不用計算，就能得到結(jié)果。關(guān)鍵就是在于問題的分析能力.
而第三問就重在能找到一個遞推關(guān)系，而期望是必須研究甲口袋中的黑球個數(shù)取時的概率分布列，所以由此想找到的是概率遞推關(guān)系，從而就可以不斷深入研究期望的遞推關(guān)系，從而解決問題，這個題的亮點就是與數(shù)列的遞推綜合來解決概率問題.1
2
3

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