高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題
命題：嚴(yán)州中學(xué)新安江校區(qū) 劉景紅
審核：嵊州中學(xué) 俞海東 桐廬中學(xué) 王燕萍
校稿：蔣青松
考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘：
2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級?學(xué)號和姓名；座位號寫在指定位置；
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
第I卷
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
3.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（ ）
A. B.
C. D.
4.已知平面向量為單位向量，若，則（ ）
A.0 B.1 C. D.3
5.“”是“直線與圓相切”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A. B. C. D.
7.設(shè)是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，記為事件的對立事件，且，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知直線與動圓，下列說法正確的是A.直線過定點(diǎn)
B.當(dāng)時，若直線與圓相切，則
C.若直線與圓相交截得弦長為定值，則
D.當(dāng)時，直線截圓的最短弦長為
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.的虛部是
B.的共軛復(fù)數(shù)是
C.的模是
D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
10.如圖，已知正方體分別是上底面和側(cè)面的中心，判斷下列結(jié)論正確的是（ ）
A.存在使得
B.任意，使得
C.存在，使得共面
D.任意，使得共面
11.已知曲線的方程，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A.無論實數(shù)取何值，曲線都關(guān)于軸成軸對稱
B.無論實數(shù)取何值，曲線都是封閉圖形
C.當(dāng)時，曲線恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
D.當(dāng)時，曲線所圍成的區(qū)域的面積小于3
第II卷
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知某圓臺上下底面半徑分別為2和5，母線長為5，則該圓臺的體積是__________.
13.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)到直線的距離之和為，則離心率取值范圍是__________.
14.已知正三棱錐的外接球為球是球上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分13分）杭州市某學(xué)校組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請解決下列問題：
（1）若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)：
（2）已知落在成績的平均值為66，方差是7；落在成績的平均值為75，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差；
（3）若該學(xué)校安排甲?乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲?乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率.
16.（本題滿分15分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若
（1）求的大小；
（2）若是線段上一點(diǎn)，且，求的最大值.
17.（本題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與軸相切，且過點(diǎn)
（1）求圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
18.（本題滿分17分）如圖所示，已知四棱錐是以為斜邊的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）若，求四棱錐的體積；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
19.（本題滿分17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，連接，若的周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)軸，求的面積；
（3）若分別記的斜率分別為，求的最大值.
2024學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)
高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟
15.（本題13分）
（1）人，人，不高于50分的抽到人
（2）由題意可知，解得
由圖中可知：落在的學(xué)生人數(shù)為30人，落在的學(xué)生人數(shù)為60人
故，
（3）記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”事件A
則至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為
16.（本題15分）
（1）由題意，根據(jù)正弦定理得，
即，
根據(jù)余弦定理可知.
（2）由題意在邊上一點(diǎn)，且，可得，
，
故
當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，
故的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號
17.（本題滿分15分）
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸相切，
設(shè)圓方程為，又圓過點(diǎn)，
則，
可得，故圓的方程為
（2）顯然當(dāng)直線斜率為0時不合題意，設(shè)直線
將直線與圓聯(lián)立方程組：，整理得，
整理可得，即
可得，
化簡可得，
經(jīng)驗證
所求的直線方程為
18.（本題滿分17分）
（1）取的中點(diǎn)是的中位線，
，又，
四邊形是平行四邊形
，又平面平面
平面.
（2）取的中點(diǎn)是以為斜邊的等腰直角三角形
，
取的中點(diǎn)，底面是等腰梯形，
是二面角的平面角
連接
，
在中，，
在中，
，
二面角的平面角
（3）根據(jù)第（2）題，二面角的平面角，
平面平面，如圖，建系，不妨令，
則
設(shè)平面的法向量是
，令，解得
設(shè)平面的法向量是
，令，解得
設(shè)二面角的平面角大小為
二面角的平面角的余弦值為
19.（本題滿分17分）
（1）由題意：，可得：，
故橢圓方程
（2）設(shè)，當(dāng)時，由在第一象限，可得，
即，故求得直線方程為，
聯(lián)立方程，得，
整理得，
，所以
（3）方法一?設(shè)，因為在橢圓上，故，由題意
故將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，
即
同理：將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，
所以，
即，即，
所以
故
由在第一象限內(nèi)，故的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)在處取到等號
方法二：由方法一可知：也可以先求出由題意，故題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
A
C
D
C
題號
9
10
11
答案
BC
ACD
AC

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