數(shù) 學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若當(dāng)時(shí)滿足，則必有（ ）
A.B.
C.D.
2.已知函數(shù)，，，，則（ ）
A.B.
C.D.
3.三棱錐P-ABC中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，，.則三棱錐P-ABC的體積最大為（ ）
A.B.C.D.
4.已知均為鈍角，，且，則（ ）
A.B.C.D.
5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A.120B.80C.60D.40
6.已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個(gè)
A.B.C.D.
7.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
8.若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A.28B.29C.30D.31
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)的最大值為2
B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到
C.函數(shù)的對(duì)稱軸為
D.，，使得且
10.已知曲線C的方程為，則（ ）
A.曲線C可以表示圓
B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
C.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
11.某同學(xué)在研究“有一個(gè)角為的三角形中，如果這個(gè)角的正弦值或余弦值恰好是另外兩個(gè)角的正弦值或余弦值的等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)，那么該三角形是否為等邊三角形”的問題中，得出以下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A.若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形為等邊三角形
B.若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形
C.若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形
D.若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形是等邊三角形
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值________.
13.已知A為圓上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
14.對(duì)于定義在非空集上的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)，有，則稱函數(shù)為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域，則在滿足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”的概率是 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)和.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足，證明：.
16.（15分）所有棱長(zhǎng)均為3的三棱柱中，平面平面，D，E分別在棱，上，滿足，，且.
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
17.（15分）已知橢圓與經(jīng)過左焦點(diǎn)的一條直線交于兩點(diǎn).
(1)若為右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；
(2)若直線的傾斜角為，求線段的長(zhǎng).
18.（17分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，其中.
19.（17分）已知函數(shù)與，其中是偶函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】C
【解析】由，得當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)不單調(diào)遞減，則；
當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)不單調(diào)遞增，則；
由不等式的性質(zhì)得：.
故選：C
2.【答案】B
【解析】由題意，，
故函數(shù)為偶函數(shù)，
且時(shí)，，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
∵，
且，∴.
故選：B
3.【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以P在過C點(diǎn)且與BC垂直的平面上，
過A作l得垂線段交l于點(diǎn)，則，且，因?yàn)?，所以P點(diǎn)在以為底面圓心的圓周上，如圖，且，
由圖可知P到底面ABC的最大高度為，
所以三棱錐體積最大值為：.
故選：C.
4.【答案】C
【解析】，
即，得，由，且均為鈍角，
所以，
，
，
由，所以，所以.
故選：C
5.【答案】A
【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，
而，
對(duì)于，令，易知無整數(shù)解，所以其展開式中無常數(shù)項(xiàng)；
對(duì)于，由，解得，常數(shù)項(xiàng)為；
對(duì)于，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為.
故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：A.
6.【答案】A
【解析】所有有序數(shù)組 中,滿足的
有序數(shù)組 中包含個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在或中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為
故選：A.
7.【答案】B
【解析】由題意數(shù)列滿足，且，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
又，
所以，
所以，而，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，的最小值為5.
故選：B.
8.【答案】A
【解析】由題意，即，
所以，
而，所以，
由題意令，
而是單調(diào)遞增的，
且發(fā)現(xiàn)，，
所以滿足不等式的最大正整數(shù)為28.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最大值為2，A正確，
對(duì)于B，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得，B正確，
對(duì)于C，令,可得，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，取，滿足，，D正確.
故選：ABD
10.【答案】CD
【解析】若曲線C表示圓，則，解得，則曲線C的方程為，無意義，A不正確；
若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，不等式無解，B不正確；
若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，C正確；
若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則解得，D正確.
故選：CD
11.【答案】AD
【解析】不妨設(shè)，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?br>則，
即，且，可得，
則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>所以，
且，可得，
則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>則，
可得，整理得，
且，可得，
則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>則，
可得，整理得，
且，可得，
則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【解析】設(shè)，
，
,即，
化簡(jiǎn)整理可得 ，
復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，
點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為，
故答案為：
13.【答案】
【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則圓關(guān)于對(duì)稱的圓的方程為，
要使的值最小，
則（其中為關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，
且該直線過兩點(diǎn)，其最小值為.
故答案為：
14.【答案】
【解析】若函數(shù)的值域?yàn)?，則有1個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)閱卧氐暮瘮?shù)有3個(gè)，
若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為3,3，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為2,4，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為1,5，則有個(gè)函數(shù)，
則共有個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)殡p元素的函數(shù)共有個(gè)函數(shù)；
若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為1,2,3，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個(gè)函數(shù)，
將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個(gè)函數(shù)，
則共有個(gè)函數(shù)，
綜上可知，共有個(gè)函數(shù)，
其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)值域?yàn)閱卧丶?，?個(gè)函數(shù)，滿足條件，
當(dāng)值域有2個(gè)元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個(gè)函數(shù)，
若值域有3個(gè)元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個(gè)函數(shù)，
綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個(gè)函數(shù)，
所以為增函數(shù)的概率.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）設(shè)，，則，解得，所以.
故，當(dāng)時(shí)，，
又，故作差得，所以，
所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故.
（2）由（1）得，
故
16.（15分）【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，
則由為正三角形可知，，
又平面平面，且為交線，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面.
（2）因?yàn)?，?br>所以，且，又，
所以，即為平面四邊形，
在中，,
作交于，由（1）知，平面，
且，
分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以,
設(shè)平面，平面的法向量分別為，
則，令，則，
由，令，則，
則，
所以二面角的余弦值為.
17.（15分）【答案】(1)8
(2)
【解析】（1）
由題意，由橢圓定義有，
所以的周長(zhǎng)為.
（2）設(shè)，
由題意直線的斜率為，，即，
所以直線的方程為，將它與橢圓方程聯(lián)立得，
消去并化簡(jiǎn)整理得，
顯然，由韋達(dá)定理得，
所以線段的長(zhǎng)為.
18.（17分）【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
(1)由，可得，
兩式相減得，即，
則，
兩式相減得，即，
所以為等差數(shù)列，
又因?yàn)?，解得?br>又由，可得，
所以數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，所以的通項(xiàng)為.
(2)因?yàn)?，所以原不等式可化為，?br>以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①時(shí)，顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則當(dāng)時(shí)，
只需證，只需證，
只需證，只需證，
取，可得，所以在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以成立，所以成?
綜上所述，成立.
19.（17分）【答案】（1）；（2）分類討論，答案見解析；（3）.
【解析】（1）∵是偶函數(shù)，∴，∴，
∴，∴，
即對(duì)一切恒成立，
∴；
（2）要使函數(shù)有意義，需，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?
（3）∵只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
亦即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
令（），則方程有且只有一個(gè)正根，
①當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?不是方程的根，所以方程的兩根異號(hào)或有兩相等正根，
由可得，解得或
若，則不合題意，舍去；
若，則滿足條件；
若方程有兩根異號(hào)，則，∴，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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