一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．運(yùn)行圖示程序框圖，則輸出A的值為（ ）．
A．170 B．165 C．150 D．92
4．已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（ ）
A．3B．6C．7D．9
6．已知是拋物線上的點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
7．若，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（ ）
A．3B．C．2D．
9．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
10．已知函數(shù)，關(guān)于的命題：①的最小正周期為；②圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；③圖像的對(duì)稱軸方程為；④圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；⑤取最大值時(shí). 則其中正確命題是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③⑤D．①④⑤
11．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)存在極小值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知為偶函數(shù)，則 .
14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值是 ．
15．如圖，已知正方形的邊長為，且，
連接交于，則
16．如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分.
17．已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
18．為提升學(xué)生身體素質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)，某高中學(xué)校學(xué)生發(fā)展中心隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，并把每天參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，時(shí)間不超過30分鐘的記為“運(yùn)動(dòng)欠佳”，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)與運(yùn)動(dòng)欠佳的人數(shù)比為，運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為，運(yùn)動(dòng)欠佳的男生有5人.
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”是否有關(guān)?
(2)現(xiàn)從“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2人進(jìn)行體能測(cè)試，求選中的2人中恰有一人是女生的概率.
參考公式：，.
19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，.
(1)證明：平面ABCD；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值
20．已知長為的線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，圓經(jīng)過兩點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)且互相垂直的直線分別與曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，四邊形的面積為，求實(shí)數(shù)的值.
21．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1．
(1)求實(shí)數(shù)的值并求函數(shù)的極值；
(2)若，證明：．
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)點(diǎn)分別為曲線與直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知函數(shù)
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)的最小數(shù)為，正數(shù)滿足，求的最小值.
2021級(jí)高三下學(xué)期第三次模擬試題
文科數(shù)學(xué)參考答案
1．B
【分析】將集合化簡，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：B.
2．C
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及i的周期性運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>則，故的虛部為1.
故選:C．
3．B
【分析】根據(jù)程序框圖逐步計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以執(zhí)行循環(huán)體得，
由不成立，
所以執(zhí)行循環(huán)體得，
由成立，所以，然后輸出.
故選：B
4．A
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，是遞增數(shù)列；
反之，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列遞增，因此數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，可以不小于3，
所以“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因?yàn)槭堑耐庑模瑸榈闹悬c(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

所以，，設(shè)，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.
6．A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得的最小值再減去半徑即可.
【詳解】如圖，拋物線上點(diǎn)到圓心的距離為，

因此，當(dāng)最小時(shí)，最小，
而，
當(dāng)時(shí)，，因此的最小值是．
故選：A
7．B
【分析】利用輔助角公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式、正弦的差角公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
而，
所以，
而.
故選：B
8．B
【分析】借助雙曲線定義與雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合題意可得，，利用勾股定理計(jì)算即可得解.
【詳解】如圖所示，取雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，
由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故，，，
則，
由，故，故有，
化簡可得，即有，，
由，則有，即，
即.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于找出左焦點(diǎn)，設(shè)，從而借助雙曲線定義將其它邊表示出來，結(jié)合勾股定理計(jì)算出各邊長，從而可列出與、有關(guān)的齊次式，得到離心率.
9．D
【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，分析得的奇偶性與單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化所求不等式得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】由，得的定義域?yàn)椋?br>又，故為偶函數(shù)，
而當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，
而對(duì)于，在上恒成立，
所以在上也單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
則由，得，解得或.
故選：D.
10．B
【分析】借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得.
【詳解】，
則的最小正周期為，故①正確；
圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，故②錯(cuò)誤；
令，則，故③正確；
令，則，故④錯(cuò)誤；
令，則，故⑤正確.
故選：B.
11．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.
【詳解】依題意，，，
因此，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即.
故選：D
12．D
【分析】
根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理探討極小值點(diǎn)，并求出極小值，利用導(dǎo)數(shù)求出的解集，再利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
，則存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，
函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，
于是，
當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，
當(dāng)時(shí)，，而，
存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，
又，令，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，
存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，
由，得，，
即有，令，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，
顯然，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減
因此，即，又，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同．
13．
【分析】法一：先利用求得，然后代入驗(yàn)證；法二：利用偶函數(shù)的定義建立方程求解即可.
【詳解】法一：特殊值法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.
法二：定義法：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，化簡得，
所以，解得.
故答案為：
14．
【分析】
先依據(jù)題意作出可行域，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為截距問題求解即可.
【詳解】令，即求中截距的最大值即可，如圖作出可行域，
易知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，該直線截距最大，取得最大值，
聯(lián)立方程組，，解得，，故，
將代入中，得，解得，
即的最大值是.
故答案為：
15．
【分析】建系，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，可得，
因?yàn)椋瑒t，可得，
即，解得，即的坐標(biāo)為，
設(shè)，則，，
由可得，解得，
則，，可得
所以．
故答案為：.
16．/
【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時(shí)的三角形邊長，由面積公式即可求得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,
則①②
由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.
設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個(gè)等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長和角即得.
17．(1)；
(2)1.
【分析】（1）先求得的值，然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列為等差數(shù)列，由此求得的通項(xiàng)公式；
（2）首先結(jié)合（1）求的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)得，即，又，解得.
由知：.
兩式相減得：，即.
由于，可得，即，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以.
（2）由得：
.
因?yàn)椋?br>所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以，故實(shí)數(shù)的最大值是.
18．(1)表格見解析，“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無關(guān).
(2)
【分析】（1）由條件完成列聯(lián)表，根據(jù)公式代入計(jì)算可判斷結(jié)果；
（2）先根據(jù)分層抽樣方法抽取，然后由概率公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）2×2列聯(lián)表為：
假設(shè)：運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況與性別無關(guān).
.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
即認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況”與“性別”無關(guān).
（2）已知“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”的男生、女生分別有20人和40人，按分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則男生、女生分別抽到2人和4人，
則選中2人中恰有一人是女生的概率為
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)勾股定理的逆定理可證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；
（2）由（1），建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.
【詳解】（1）連接AO，
，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，，，
為直角三角形，，
則，，
又，平面ABCD，
平面ABCD；
（2）由（1）知平面ABCD，而平面ABCD，
所以，又，
過點(diǎn)D作z軸，使得z軸平面ABCD，則可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
在中，，，則，，
，，，，
則，，，
設(shè)平面SBC法向量為，直線與平面SBC所成角為，
，，得，
所以，
直線AS與平面SBC所成角的正弦值為
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接寫出圓心符合的等量關(guān)系式，進(jìn)而得到曲線的方程；
（2）先用點(diǎn)差法求出方程，再聯(lián)立曲線，用弦長公式求，根據(jù)垂直，同理可求，再表示面積即可求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，
則，
又圓與直線相切，故，
于是，化簡得，
所以曲線的方程為.
（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點(diǎn)，
則，得，
即，所以直線.
聯(lián)立方程，得，得，
由，得，
所以，
所以.
設(shè)，因?yàn)榛ハ啻怪?，易知直線，
聯(lián)立方程，得，
得，
由，得，
所以，
所以.
則四邊形的面積為.
令，
化簡得，
解得（舍）或，符合，所以.
21．(1)，的極小值為，無極大值.
(2)證明見解析.
【分析】（1）由已知，求出，根據(jù)點(diǎn)處的切線斜率為1，得到，求出，則為已知函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出極值.
（2）由，可得，由，然后換元變形，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性即可證明出，則原命題得證.
【詳解】（1）由已知，，
因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為1，
所以，
則，定義域?yàn)椋?br>，令，解得，
令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在時(shí)取得極小值，無極大值.
（2）由已知，令，
則，即，，即，
兩式相減可得，，兩式相加可得，，
消去，得，即，
由于，
因此只需證明即可，
而，
不妨設(shè)，則由可知，
，
令，
，令，則，
在上遞減，故，
在上遞增，，
則原命題得證.
22．(1)曲線為，直線為
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結(jié)合直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式、余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>將（為參數(shù)），消去參數(shù)，
可得.
由，得，
因?yàn)?，所?
所以曲線的普通方程為，
直線的直角坐標(biāo)方程為.
（2）由點(diǎn)A在曲線上，設(shè)，
則點(diǎn)A到的距離為：
，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為.
23．(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，利用零點(diǎn)分段法分類討論，分別計(jì)算可得；
（2）由（1）可得，將式子變形為，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】（1）不等式，即，
即，
所以或或，
解得或或，
綜上可得，
所以不等式的解集為；
（2）因?yàn)榈淖钚?shù)為，所以，可得，
所以，解得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
性別
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況
合計(jì)
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)
運(yùn)動(dòng)欠佳
男生
女生
合計(jì)
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性別
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)情況
合計(jì)
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)
運(yùn)動(dòng)欠佳
男生
20
5
25
女生
40
35
75
合計(jì)
60
40
100

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這是一份四川省眉山市仁壽縣2024屆高三下學(xué)期三診模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試卷（Word版附解析），共11頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

四川省眉山市仁壽縣2024屆高三下學(xué)期三診模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷（Word版附解析）：

這是一份四川省眉山市仁壽縣2024屆高三下學(xué)期三診模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷（Word版附解析），共13頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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