A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
則，因此，.
故選：C.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，計(jì)算復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算.
【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，
所以.
故選：A.
3. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，結(jié)合齊次式法求解即得.
【詳解】由，得，解得，又，
所以.
故選：B
4. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，再寫出切線方程.
【詳解】由題知，切線方程為，即，
故選：B.
5. 向量在向量上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選：C
6. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，再由函數(shù)也是偶函數(shù)，變形求得函數(shù)的解析式，并求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解不等式.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，
又因?yàn)楹瘮?shù)也是偶函數(shù)，所以，得，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，
令，得，
所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)，得到，從而求得函數(shù)的解析式.
7. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若成等差數(shù)列，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等式，進(jìn)而求出數(shù)列的公比，將比值中的和、項(xiàng)用基本元來(lái)表示，化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若成等差數(shù)列，可得：，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立，
即為，得，即，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，即為：，其中，
得，得或（舍去），
，
故選：A.
8. 函數(shù)的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先記，化簡(jiǎn)整理，由函數(shù)解析式，判定奇偶性，再判斷時(shí)，，進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】記，
則，
因此函數(shù)是偶函數(shù)；故排除BC；
當(dāng)時(shí)，，，因此；排除D；
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查判定函數(shù)圖像的識(shí)別，熟記函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.
9. 已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】由得，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，
則必有，顯然B正確，A錯(cuò)誤，
而當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故無(wú)法比較，C,D錯(cuò)誤.
故選：B
10. 將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)，代入函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦導(dǎo)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律可知，，
，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，
得.
故選：B
11. 已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與圓的方程求A、B的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求.
【詳解】由題意，聯(lián)立，有，解得，，
∴若，則，則.
故選：C.
12. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．設(shè)線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)．已知的面積為2，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用拋物線的圖象與性質(zhì)、直線方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積公式運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：
如上圖，由題意，拋物線準(zhǔn)線為，可得．
∵直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，∴直線的斜率存在且不為，
∴設(shè)直線方程為，
將其代入，化簡(jiǎn)并整理得：．
由，得．
設(shè)，，則，，
∴．
∵是的中點(diǎn)，∴．過(guò)點(diǎn)平行軸的直線為，
與拋物線交點(diǎn)為知，所以．
又∵，則，
∴的面積．
由已知條件知，∴，解得（滿足），解得：.
∴直線的方程為，即，
∴直線的斜率為．
故選：A．
二．填空題（共20小題）
13已知，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系構(gòu)造齊次分式，再分子分母同時(shí)除以轉(zhuǎn)化為正切的運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
14. 已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】是球面上不同的三點(diǎn)，不共線，故平面截球面得到的是一個(gè)圓，
記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過(guò)球心時(shí)，.
在半徑為的圓中，對(duì)于任意的弦，過(guò)作于,
由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時(shí)，
取最小值，
則的最小值為，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
又的最大值為1，故所求最小值為.
故答案為：
15. 已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得到，代入求解即可.
【詳解】函數(shù)在上是奇函數(shù)，，
.
故答案為：.
16. 設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用所給條件構(gòu)造齊次方程求解離心率即可.
【詳解】
由題意得，，，則，
直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，
可得，而，
故，代入直線中得，故,
可得，由題意得，
可得，化簡(jiǎn)得，
即，化簡(jiǎn)得，
同除得，且，解得.
故答案為：
三．解答題（共90小題）
17. 在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
（1）求證：；
（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理并結(jié)合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡(jiǎn)即可求解.
（2）利用基本不等式求得的最小值時(shí)的取等條件，再結(jié)合余弦定理從而求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：由余弦定理知，又因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
所以，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以或（舍），所以.
【小問(wèn)2詳解】
由題知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又因?yàn)?，所以?br>所以.
18. 2025年我省將實(shí)行的高考模式，其中，“3”為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)，外語(yǔ)3門參加全國(guó)統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門，由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際，首先在物理，歷史中2選1，再?gòu)恼?、地理、化學(xué)、生物中4選2，形成自己的高考選考組合.
（1）若某學(xué)生根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求該生恰好選到“歷政地”組合的概率；
（2）由于物理和歷史兩科必須選擇科，某校想了解高一新生選科的需求.隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)效據(jù)，寫出下列聯(lián)表中的值，并判斷是否有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？
附：.
【答案】（1）
（2），有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”
【解析】
【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得所求概率.
（2）先補(bǔ)全列聯(lián)表，然后計(jì)算的值，從而作出判斷.
【小問(wèn)1詳解】
記物理為，歷史為，政治、地理、化學(xué)、生物分別為，
根據(jù)選科要求，基本事件如下：，
，共種，
其中“歷政地”組合為，
所以該生恰好選到“歷政地”組合的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，
由此補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
所以，
所以有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”.
19. 如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面；
（2）若，平面平面，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求與平面所成角的正弦值．
條件①：；條件②）：；條件③）：．
注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn),連接
由于分別為的中點(diǎn)，所以,
又,所以,
因此四邊形為平行四邊形，
故平面,平面,
故平面
【小問(wèn)2詳解】
由于平面平面，且交線為，又，平面，所以平面，
平面，故
若選①：；
因此，兩兩垂直，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
,
故,
設(shè)平面法向量為，
則，
取，則，
,
設(shè)與平面所成角為，則，
若選擇條件②）：；
，，平面
所以平面平面故，
因此，兩兩垂直，
以下與選擇①相同.
若選擇條件③）：．
因，所以由可以推出，
此時(shí)推不出.此時(shí)三棱柱不唯一，故不可選擇作為已知條件，
20. 已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線，分別與軸交于點(diǎn)M，N，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，把點(diǎn)代入，即可求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計(jì)算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對(duì)稱求解.
【小問(wèn)1詳解】
由于，設(shè)所求橢圓方程為，
把點(diǎn)代入，得，，
橢圓方程為．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線的方程為，
代入橢圓方程，整理得，
設(shè)，
，，，所以,
直線直線斜率為，
直線直線斜率為，
則
所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，
故直線與直線關(guān)于對(duì)稱，
因此．
故
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.
21. 已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）推導(dǎo)出，設(shè)，可知，對(duì)任意的恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)可得出，且，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，
解不等式，有或，令得，
故函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
解：若，則，由可得，由可，
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，且，
當(dāng)時(shí)，由，有恒成立，
所以，必有.
又由，可得.
又由，不等式可化為，
設(shè)，
有，
當(dāng)且時(shí)，，，可得，
當(dāng)且時(shí)，，，可得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故存在正數(shù)使得.
若，有，，有，
與矛盾，可得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
若，必有，
有，
又由，有，
有，有.
又由，有，可得，
有，可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由及可得，可得，
若，則實(shí)數(shù)取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化為得出，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍.
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，），且直線l和曲線C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的普通方程及直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，若，求直線l的普通方程．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）將兩個(gè)方程左右兩邊平方后相加即可消參得到C的普通方程，由可直接得直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）將，代入，得，再結(jié)合韋達(dá)定理以及t的幾何意義即可得值，則直線方程可求.
【小問(wèn)1詳解】
由，將兩個(gè)方程左右兩邊平方后相加，
可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為．
由得，直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【小問(wèn)2詳解】
將，代入，得，
即，設(shè)其兩根為，，
則，
得，即，得，經(jīng)檢驗(yàn)，
故直線l的普通方程為：．
23. 已知函數(shù)的最小值為．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）分類討論x的取值，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，結(jié)合圖形即可求解；
（2）由（1）知，結(jié)合柯西不等式計(jì)算即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，
作出函數(shù)的圖形，如圖，
由圖可知的最小值為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，所以，
根據(jù)柯西不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
選擇物理
選擇歷史
合計(jì)
男生
10
女生
30
合計(jì)
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
選擇物理
選擇歷史
合計(jì)
男生
10
女生
合計(jì)

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