數(shù)學（文科）
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?座位號和準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復數(shù)，則（ ）
A. B. C.2 D.
3.某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.
若將圖中10個點中去掉點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A.決定系數(shù)變小
B.殘差平方和變小
C.相關(guān)系數(shù)的值變小
D.解釋變量與預報變量相關(guān)性變?nèi)?br>4.已知分別為的邊的中點，若，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列滿足，則（ ）
A.-3 B. C. D.2
6.已知平面區(qū)域則的最大值為（ ）
A.8 B.4 C.3 D.2
7.在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則使得的概率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（ ）
A.的最小值為-1
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.的最小正周期為
D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到
9.如圖，菱形的對角線與交于點是的中位線，與交于點，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，且平面.給出下列結(jié)論：
①平面；
②平面平面；
③“直線直線”始終不成立.
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
10.已知函數(shù)，給出下列4個圖象：（ ）
其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個數(shù)為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知分別是雙曲線的左右焦點，若過的直線與圓相切，與在第一象限交于點，且軸，則的離心率為（ ）
A. B.3 C. D.
12.已知均為正數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知函數(shù)則的值為__________.
14.已知，則曲線在點處的切線方程為__________.
15.已知數(shù)列的前項和為，且，則__________.
16.一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為__________.
三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）
某校在課外活動期間設置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：
（1）通過計算判斷，有沒有的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？
（2）為收集學生對課外活動建議，在參加文化藝術(shù)類活動的學生中按性別用分層抽樣的方法抽取了6名同學.若在這6名同學中隨機抽取2名，求所抽取的2名同學中至少有1名女生的概率.
附表及公式：
其中.
18.（12分）
如圖，在三棱錐中，為邊上的一點，.
（1）證明：平面；
（2）設點為邊的中點，試判斷三棱錐的體積是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.
19.（12分）
已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求角；
（2）若是的角平分線，的面積為，求的值.
20.（12分）
在直角坐標系中，設為拋物線的焦點，為上位于第一象限內(nèi)一點.當時，的面積為1.
（1）求的方程；
（2）當時，如果直線與拋物線交于兩點，直線的斜率滿足.證明直線是恒過定點，并求出定點坐標.
21.（12分）
已知函數(shù).
（1）若存在極值，求的取值范圍；
（2）若，證明：.
（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.[選修：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.
（1）求的普通方程和的直角坐標方程；
（2）設直線與軸相交于點，動點在上，點滿足，點的軌跡為，試判斷曲線與曲線是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知均為正數(shù)，且.
（1）是否存在，使得，說明理由；
（2）證明：.
文科數(shù)學參考答案及評分細則
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.
1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.B 10.D 11.D 12.B
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.
17.【解析】1，
因此，有的把握認為該校學生選擇課外活動類別與性別有關(guān)系.
（2）這6名同學中女生有2名，記為，男生有4名，記為.
從這6名同學中隨機抽取2名的所有基本事件有：，，，共15個.
其中，至少有1名女生的基本事件有9個.
所以，所抽取的2名同學中至少有1名女生的概率為即.
18.【解析】（1）證明：因為在中，，
所以.
又因為，所以，
所以.
在中，由余弦定理可得，
所以.
因此，，即.
又，
所以平面.
（2）因為點為邊的中點，
所以.
由（1）知平面，
而平面，所以平面平面.
又平面平面，
過點作平面于點，則點必在直線上.
于是，當點與點重合時，點到平面的距離最大，
且最大距離為.
因為，
所以，
故，
所以三棱錐的體積有最大值，最大值為.
19.【解析】（1）由得，
根據(jù)正弦定理可得，
因為，
所以，
因為，所以，
所以，
由，
所以.
（2）由，
所以，
又，
因為為角平分線，所以，又，
所以有，
所以，
由余弦定理得
，
所以.
20.【解析】（1）由題意得.
由，得.
從而的面積，則.
所以，拋物線的方程為.
（2）設，則.
由，得，即.
所以，此時.
由題意可知，斜率必不等于0，于是可設.
由可得.
上述方程的判別式滿足，即.
設.
根據(jù)韋達定理有：.
因為，
所以，
于是.
所以，，即.
故直線的方程為，即，
所以直線恒過定點.
21.【解析】（1）由，得，
當時，，則單調(diào)遞增，不存在極值.
當時，令，則，
若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.
所以是的極小值點.
所以，當時，存在極值，
綜上所述，存在極值時，的取值范圍是.
（2）欲證不等式在時恒成立，
只需證明在時恒成立.
設，
則，
令，則.
可知，時，，
則即單調(diào)遞增，
所以.
因為，所以，
故，則單調(diào)遞增.
所以，
即時，不等式恒成立.
選考題
22.【解析】（1）由知，
則曲線的普通方程為.
因為直線的方程為，即.
由可得.
所以直線的直角坐標方程為.
（2）由（1）可知，點的坐標為.
因為，所以是線段的中點.
由題意，可設，
則
即
代入曲線的方程，可得
，即.
解之可得，.
此時，.
由此可知，兩曲線有兩個公共點，其直角坐標為.
23.【解析】（1）不存在，使得.理由如下：
因為都是正數(shù)，且，所以，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
即的最小值為，
所以，不存在，使得.
（2）【證明】
.
當且僅當時等號成立，
所以.文化藝術(shù)類
體育鍛煉類
合計
男
100
300
400
女
50
100
150
合計
150
400
550
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

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