一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則（ ）
A．B． C． D．
2．若復數(shù)z滿足，則的虛部為（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．運行圖示程序框圖，則輸出A的值為（ ）．
A．170 B．165 C．150 D．92
4．已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3B．6C．7D．9
6．敏感性問題多屬個人隱私．對敏感性問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意作出真實回答又能保守個人秘密．例如為了調(diào)查中學生中的早戀現(xiàn)象，現(xiàn)有如下調(diào)查方案：在某校某年級，被調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨自一人回答問題．被調(diào)查者從一個罐子中隨機抽一只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A；若抽到紅球，則回答問題B．且罐中只有白球和紅球．
問題A：你的生日是否在7月1日之前?（本次調(diào)查中假設(shè)生日在7月1日之前的概率為）
問題B：你是否有早戀現(xiàn)象？
已知一次實際調(diào)查中，罐中放有白球2個，紅球3個，調(diào)查結(jié)束后共收到1585張有效答卷，其中有393張回答“是”，如果以頻率替代概率，則該校該年級學生有早戀現(xiàn)象的概率是（ ）（精確到0.01）
A．0.08B．0.07C．0.06D．0.05
7．若，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．一個信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮時可發(fā)出紅色光?藍色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（ ）
A．60種B．68種C．82種D．108種
9．已知函數(shù)，關(guān)于的命題：①的最小正周期為；②圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為；③圖像的對稱軸方程為；④圖像的對稱中心的坐標為；⑤取最大值時. 則其中正確命題是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③⑤D．①④⑤
10．直線過雙曲線的右焦點，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點，點關(guān)于坐標原點對稱的點為，若，且，則的離心率為（ ）
A．3B．C．2D．
11．如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)存在極小值點，且，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知為偶函數(shù)，則 .
14．已知實數(shù)x，y滿足則的最大值是 ．
15．已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形為菱形，，平面平面，為的中點，為的中點，則三棱錐的外接球的表面積為 .
16．如圖，已知，，為邊上的兩點，且滿足，，則當取最大值時，的面積等于 .
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17．已知為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和,.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為,若對恒成立，求實數(shù)的最大值.
18．2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若此次知識問答的得分X服從，其中近似為參與本次活動的240位居民的平均得分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），求的值；
(2)中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于的居民獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低于的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有的機會抽中一張10元的話費充值卡，有的機會抽中一張20元的話費充值卡，假設(shè)每次抽獎相互獨立，假設(shè)該小區(qū)居民王先生參與本次活動，求王先生獲得的話費充值卡的總金額Y（單位：元）的概率分布列，并估計本次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額（單位：元）
參考數(shù)據(jù)：，，.
19．已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．
(1)若為的中點，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時平面與平面的夾角的余弦值．
(2)在（1）的條件下，設(shè)，，，且四面體的體積為，求的值．
20．已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.
21．已知函數(shù)在點處的切線斜率為1．
(1)求實數(shù)的值并求函數(shù)的極值；
(2)若，證明：．
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；
(2)點分別為曲線與直線上的動點，求的最小值.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知函數(shù)
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)的最小數(shù)為，正數(shù)滿足，求的最小值.
2021級高三下學期第三次模擬試題
理科數(shù)學參考答案：
1．B
【分析】將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】利用復數(shù)除法運算及i的周期性運算即可.
【詳解】因為，所以，
則，故的虛部為1.
故選:C．
3．B
【分析】根據(jù)程序框圖逐步計算即可.
【詳解】因為，
所以執(zhí)行循環(huán)體得，
由不成立，
所以執(zhí)行循環(huán)體得，
由成立，所以，然后輸出.
故選：B
4．A
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷即得.
【詳解】當時，，則，是遞增數(shù)列；
反之，當時，，數(shù)列遞增，因此數(shù)列是遞增數(shù)列時，可以不小于3，
所以“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因為是的外心，為的中點，設(shè)的中點為，連接，

所以，，設(shè)，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.
6．A
【分析】根據(jù)古典概型分別求出抽到紅球的概率和抽到白球的概率，并且計算出回答問題A、B的人數(shù)，從而可分別計算出回答問題A、B的人中答 “是” 的人數(shù)以及比例.
【詳解】從罐子中隨機抽一個球, 抽到紅球的概率為，
抽到白球的概率為，
所以回答問題A的人數(shù)是人
回答問題B的人數(shù)是人，
回答問題A的人中答 “是” 的人數(shù)是，
所以回答問題B的人中答 “是” 的人數(shù)是，
則估計該校該年級學生有早戀現(xiàn)象的概率為，
故選：A
7．B
【分析】利用輔助角公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式、正弦的差角公式計算即可.
【詳解】由題意可知，
因為，所以，
所以，
所以，
而，
所以，
而.
故選：B
8．D
【分析】利用插空法結(jié)合組合數(shù)求解.
【詳解】每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，
所以需把3個亮的發(fā)光原件插入未點亮的元件中，有種方法，
且不同顏色數(shù)有種，
所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有種.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查組合計數(shù)問題，關(guān)鍵是插空法的應(yīng)用.
9．B
【分析】借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得.
【詳解】，
則的最小正周期為，故①正確；
圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，故②錯誤；
令，則，故③正確；
令，則，故④錯誤；
令，則，故⑤正確.
故選：B.
10．B
【分析】借助雙曲線定義與雙曲線的對稱性，結(jié)合題意可得，，利用勾股定理計算即可得解.
【詳解】如圖所示，取雙曲線左焦點，設(shè)，則，
由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點對稱，
故，，，
則，
由，故，故有，
化簡可得，即有，，
由，則有，即，
即.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于找出左焦點，設(shè)，從而借助雙曲線定義將其它邊表示出來，結(jié)合勾股定理計算出各邊長，從而可列出與、有關(guān)的齊次式，得到離心率.
11．B
【分析】設(shè)的中點為，即可證明，從而得到，再將平面與平面展開并攤平，在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，利用余弦定理計算可得.
【詳解】

設(shè)的中點為，連接（不與點重合），，，，
所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，
在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周長的最小值為．
故選：B．
12．D
【分析】
根據(jù)給定條件，利用導數(shù)結(jié)合零點存在性定理探討極小值點，并求出極小值，利用導數(shù)求出的解集，再利用導數(shù)求出的范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
，則存在，使得，
當時，，遞增，當時，，遞減，
函數(shù)在取得極大值，無極小值，不符合題意；
當時，令，求導得，顯然在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，
于是，
當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，
當時，，而，
存在，使得，當時，，函數(shù)遞增，
當時，，函數(shù)遞減，函數(shù)在取得極大值，
又，令，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，
存在，使得，當時，，函數(shù)遞減，
當時，，函數(shù)遞增，函數(shù)在取得極小值，因此，
由，得，，
即有，令，求導得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即有，于是，
顯然，令，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減
因此，即，又，則，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D
【點睛】結(jié)論點睛：可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號不同．
13．
【分析】法一：先利用求得，然后代入驗證；法二：利用偶函數(shù)的定義建立方程求解即可.
【詳解】法一：特殊值法：因為為偶函數(shù)，所以，
所以，解得，
經(jīng)檢驗，當時，為偶函數(shù)，符合題意.
法二：定義法：因為為偶函數(shù)，所以，
所以，化簡得，
所以，解得.
故答案為：
14．
【分析】
先依據(jù)題意作出可行域，將目標式轉(zhuǎn)化為截距問題求解即可.
【詳解】令，即求中截距的最大值即可，如圖作出可行域，
易知當過點時，該直線截距最大，取得最大值，
聯(lián)立方程組，，解得，，故，
將代入中，得，解得，
即的最大值是.
故答案為：
15．
【分析】解法一 連接，，記，確定為外接圓的圓心，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，利用球的性質(zhì)建立方程求解外接球的半徑，代入球的表面積公式求解即可；
解法二 連接，，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，建立空間直角坐標系，先求出的外接圓圓心，然后計算出球心的坐標，即可求出球的半徑，代入球的表面積公式求解即可.
【詳解】解法一 連接，，記，則.
連接，，則，故為外接圓的圓心.
取的中點，連接，則，所以點在的外接圓上．
連接，因為為等邊三角形，所以，.
由平面平面，知平面平面，
又平面平面，平面，所以平面.
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，
故三棱錐的外接球的表面積為.

解法二 連接，，則為正三角形，，故，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

得，，，，，，
由為等邊三角形，則的外接圓圓心為.
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，，，
則平面，又平面，所以.
設(shè)，由，可得，
解得，因此球心，故外接球半徑，
故三棱錐的外接球的表面積.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求幾何體外接球的半徑，可以根據(jù)題意先畫出圖形，確定球心的位置，進而得到關(guān)于球的半徑的式子，解題時要注意球心在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂點的距離相等.在確定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半徑，此類問題對空間想象能力和運算求解能力要求較高，難度比較大.
16．/
【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時的三角形邊長，由面積公式即可求得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,
則①②
由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.
設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當且僅當時，等號成立，
此時，因，故，取得最大值，此時的面積等于.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：對條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長和角即得.
17．(1)；
(2)1.
【分析】（1）先求得的值，然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列為等差數(shù)列，由此求得的通項公式；
（2）首先結(jié)合（1）求的表達式，然后用裂項法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．
【詳解】（1）當時，由題設(shè)得，即，又，解得.
由知：.
兩式相減得：，即.
由于，可得，即，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以.
（2）由得：
.
因為，
所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以，故實數(shù)的最大值是.
18．(1)
(2)分布列見解析，總金額為元
【分析】（1）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式求出，再由正態(tài)分布對稱性即可求得的值；
（2）求出Y的所有可能取值及其對應(yīng)概率，即可得出分布列，求得，即可求出本次活動中需要準備的話費充值卡的總金額.
【詳解】（1）依題意，，
所以，
故
．
（2）參與活動的每位居民得分低于74分的概率為，得分不低于74分的概率為．
Y的所有可能取值分別為10，20，30，40．
，，
，，
所以Y的概率分布為
所以，
所以本次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額為元．
19．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)二面角可知，可證平面，建系，根據(jù)題意利用空間求點的坐標，進而求面面夾角；
（2）根據(jù)題意關(guān)系結(jié)合點到面距離的向量求法運算求解.
【詳解】（1）由題意知，，，
，，平面，可得平面，
且為二面角的平面角，即，
連接，而，則為正三角形，取的中點，
連接，則，由平面，平面，
所以平面平面，
而平面平面，平面，
可得平面，
取的中點，連接，由矩形得，
以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則點，
可得，
設(shè)點， 則，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，，可得，
因為直線與平面所成的角為，
則，解得或（舍，
即，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，可得，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
（2）因為，，可知，分別為，的中點，
又因為為的中點，則，
可得， ，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，則，，可得，
因為，，，
由余弦定理得，
可知為銳角，可得，
則，
因為四面體的體積為，設(shè)點到平面的距離為，
則，解得，
因為，則，可得，
則，解得．
所以的值為
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接寫出圓心符合的等量關(guān)系式，進而得到曲線的方程；
（2）先用點差法求出方程，再聯(lián)立曲線，用弦長公式求，根據(jù)垂直，同理可求，再表示面積即可求出實數(shù)的值.
【詳解】（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，
則，
又圓與直線相切，故，
于是，化簡得，
所以曲線的方程為.
（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點，
則，得，
即，所以直線.
聯(lián)立方程，得，得，
由，得，
所以，
所以.
設(shè)，因為互相垂直，易知直線，
聯(lián)立方程，得，
得，
由，得，
所以，
所以.
則四邊形的面積為.
令，
化簡得，
解得（舍）或，符合，所以.
21．(1)，的極小值為，無極大值.
(2)證明見解析.
【分析】（1）由已知，求出，根據(jù)點處的切線斜率為1，得到，求出，則為已知函數(shù)，利用導數(shù)求出極值.
（2）由，可得，由，然后換元變形，利用導數(shù)的單調(diào)性即可證明出，則原命題得證.
【詳解】（1）由已知，，
因為函數(shù)在點處的切線斜率為1，
所以，
則，定義域為，
，令，解得，
令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在時取得極小值，無極大值.
（2）由已知，令，
則，即，，即，
兩式相減可得，，兩式相加可得，，
消去，得，即，
由于，
因此只需證明即可，
而，
不妨設(shè)，則由可知，
，
令，
，令，則，
在上遞減，故，
在上遞增，，
則原命題得證.
22．(1)曲線為，直線為
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結(jié)合直角坐標與極坐標互化公式進行求解即可；
（2）根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式、余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】（1）因為，
將（為參數(shù)），消去參數(shù)，
可得.
由，得，
因為，所以.
所以曲線的普通方程為，
直線的直角坐標方程為.
（2）由點A在曲線上，設(shè)，
則點A到的距離為：
，
所以當時，，
所以的最小值為.
23．(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，利用零點分段法分類討論，分別計算可得；
（2）由（1）可得，將式子變形為，再由乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】（1）不等式，即，
即，
所以或或，
解得或或，
綜上可得，
所以不等式的解集為；
（2）因為的最小數(shù)為，所以，可得，
所以，解得，
所以
，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為．
Y
10
20
30
40
P

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