一、單選題(本大題共10小題,每小題4分)
1.下列各式成立的是( )
A.B.C.D.
2.下列各組數(shù)中,不能做為直角三角形的三邊長的是( )
A.1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15
3.下列四組條件中,不能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A.,B.,
C.,D.,
4.下列算式:(1);(2);(3)=;(4),其中正確的是( )
A.(1)和(3)B.(2)和(4)C.(3)和(4)D.(1)和(4)
5.如圖,一棵高為16m的大樹被臺風刮數(shù)斷,若樹在地面6m處折斷,則樹頂端落在離樹底部( )處

A.5mB.7mC.8mD.10m
6.下列說法正確的是( )
A.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B.一組鄰邊相等,對角線互相垂直的四邊形是菱形
C.矩形對角線相等且平分一組對角
D.正方形面積等于對角線乘積的一半
7.如圖,矩形的對角線相交于O, ,.若,則四邊形的周長為( )

A.4B.6C.8D.10
8.實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡的結(jié)果是( )

A.B.C.D.0
9.如圖,在等邊中,D是邊上一點,連接,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,若,.則下列四個結(jié)論:①;②;③是等邊三角形;④的周長是17,其中正確的結(jié)論是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
10.已知,將的整數(shù)部分加上的小數(shù)部分的倒數(shù)得到,再將的整數(shù)部分加上的小數(shù)部分的倒數(shù)得到,以此類推可得到,,…,.如的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為.所.根據(jù)以上信息,下列說法正確的有( )
①;②的小數(shù)部分為;③;

A.1個B.2個C.3個D.4個
二、填空題(本大題共8小題,每小題4分)
11.已知,且n為正整數(shù),則 .
12.命題“等邊對等角”的逆命題是 (填“真命題”或“假命題”).
13. .
14.如圖所示,在中,M是的中點,平分于N點,且,則 .
15.如圖,在正方形中,為對角線、的交點,、分別為邊、上一點,且,連接.若,,則的長為 .
16.若關(guān)于x的不等式組的解集為,且關(guān)于y的分式方程有非負整數(shù)解,則所有滿足條件的整數(shù)m的值的和是 .
17.如圖,在矩形紙片中,,,邊上有一點E,,將該紙片折疊,使點A與點E重合,折痕交于點M,交于點N,則線段的長是 .

18.若一個四位自然數(shù)A千位上的數(shù)字的2倍等于百位、十位、個位上的數(shù)字之和,則稱A為“和數(shù)”,那么最小的“和數(shù)”為 .已知一個四位自然數(shù)(其中a,b,c,d均為整數(shù),,且,)是“和數(shù)”,且能被6整除,將B的千位數(shù)字的4倍與百位數(shù)字的2倍的差記為,個位數(shù)字的2倍與十位數(shù)字的和記為,則滿足條件的的最小值為 .
三、解答題(本大題共8小題,其中第19題8分,20—26題每題10分)
19.計算.
(1);
(2).
20.如圖,在中,點為邊上的中點,連接.
(1)尺規(guī)作圖:在下方作射線,使得,且射線交的延長線于點(不要求寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)所作的圖中,連接,若,求證:四邊形是菱形.(請補全下面的證明過程)
證明:∵點為邊上的中點,
∴,在和中,

∴ ______,
∴ ______,
∵,
∴ ______.
∴四邊形是平行四邊形.
又∵______,
∴平行四邊形是菱形.
21.先化簡,再求值:,其中,.
22.如圖,已知直線OP表示一艘輪船東西方向的航行路線,在O處的北偏東60°方向上有一燈塔A,燈塔A到O處的距離為200海里.(參考數(shù)據(jù):)
(1)求燈塔A到航線OP的距離;
(2)在航線OP上有一點B,且,已知一輪船的航速為50海里/時,求該輪船沿航行路線OP從O處航行到B處所用的時間.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)
23.如圖,在菱形中,點E、F分別是上一點,連接,且,.
(1)求證:;
(2)若,點G是線段的中點,連接.求證:.
24.閱讀下列解題過程
例:若代數(shù)式的值是,求的取值范圍.
解:原式=
當時,原式,解得 (舍去);
當時,原式,符合條件;
當時,原式,解得 (舍去).
所以,的取值范圍是
上述解題過程主要運用了分類討論的方法,請你根據(jù)上述理解,解答下列問題:
當時,化簡:
若等式成立,則的取值范圍是
若,求的取值.
25.如圖,△ABC中,,AB=5cm,BC=3cm,若點P從點A出發(fā),以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動,設(shè)運動時間為t秒(t>0).
(1)若點P在AC上,且滿足PA=PB時,求出此時t的值;
(2)若點P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(3)在運動過程中,直接寫出當t為何值時,△BCP為等腰三角形.
26.在和中,,點D是延長線上一動點,點E在線段上,連接與交于點F.
(1)如圖1,若,求的長.
(2)如圖2,若,求證:.
(3)如圖3,移動點D,使得點F是線段的中點時,,點分別是線段上的動點,且,連接,請直接寫出的最小值.
參考答案與解析
1.B
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案.
【解答】解:A、,原式計算錯誤,故本選項不符合題意;
B、,原式計算正確,故本選項符合題意;
C、,原式計算錯誤,故本選項不符合題意;
D、,原式計算錯誤,故本選項不符合題意;
故選:B.
【點撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.
2.A
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形判定則可.
【解答】解:A、1.52+22≠32,不能構(gòu)成直角三角形,故符合題意;
B、72+242=252,能構(gòu)成直角三角形,故不符合題意;
C、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形,故不符合題意;
D、92+122=152,能構(gòu)成直角三角形,故不符合題意.
故選:A.
【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理,在應(yīng)用勾股定理的逆定理時,應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,進而作出判斷.
3.C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可.
【解答】解:A.∵,,
∴四邊形是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形),故該選項不符合題意;
B.∵,
∴四邊形是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形),故該選項不符合題意;
C.∵,,
∴一組對邊平行,另一組對邊相等,不能判定四邊形是平行四邊形,故該選項符合題意;
D.∵,,
四邊形是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),故該選項不符合題意;
故選:C.
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定條件是解題的關(guān)鍵.
4.B
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的加法運算,分別進行判斷,即可得到答案.
【解答】(1)和不是同類項,不能合并,錯誤;
(2),正確;
(3)=,錯誤;
(4),正確;
故選:B.
【點撥】本題考查了二次根式的加法運算,二次根式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進行解題.
5.C
【分析】首先設(shè)樹頂端落在離樹底部x米,根據(jù)勾股定理可得62+x2=(16-6)2,再解即可.
【解答】設(shè)樹頂端落在離樹底部x米,由題意得:

解得:x=8.
故選C.
【點撥】考查勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.
6.D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定依次進行分析即可.
【解答】解:A、一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形也可能是等腰梯形,所以A錯誤;
B、如圖所示,四邊形ABCD中AB=AD,AC⊥BD,但四邊形ABCD不是菱形,所以B錯誤;
C、矩形(不是正方形)的對角線相等,但不平分一組對角,所以C錯誤;
D、正方形是特殊的菱形,菱形面積公式(對角線乘積的一半)在正方形中同樣適用,所以D正確.
故選:D.
【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì),解決這類問題要從圖形的形成過程入手,能結(jié)合條件畫圖去證明或舉反例說明問題.
7.C
【分析】此題考查了矩形的性質(zhì),以及菱形的判定與性質(zhì),由四邊形為矩形,得到對角線互相平分且相等,得到,再利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形為平行四邊形,利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形為菱形,根據(jù)的長求出的長,即可確定出其周長,熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
【解答】解:四邊形為矩形,
,,且,
,
,,
四邊形為平行四邊形,
,
四邊形為菱形,
,
則四邊形的周長為,
故選:C.
8.A
【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸,二次根式的性質(zhì)與化簡,掌握二次根式的化簡方法是關(guān)鍵.先根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b和的符號,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求值即可.
【解答】解:由數(shù)軸知:,
∴,

=,
故選:A.
9.C
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)等知識,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出,,即可判斷③;證明,得出,即可判斷①;利用等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可判定④,利用三角形外角的性質(zhì)即可判斷②.
【解答】解∶∵將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到,
∴,,
∴是等邊三角形,故③正確;
∵是等邊三角形,
∴,,
∴,
又,
∴,
∴,,
∴,故①正確;
∵、是等邊三角形, ,,
∴,,
∴的周長是,故④正確;
∵,,
∴,
故②不正確,
故選:C.
10.C
【分析】根據(jù)定義總結(jié)的規(guī)律,再利用無理數(shù)的估算和二次根式的混合運算進行判斷即可.
【解答】解:由題意得,,整數(shù)部分為6,小數(shù)部分為,
,整數(shù)部分為10,小數(shù)部分為,
,整數(shù)部分為14,小數(shù)部分為,
,整數(shù)部分為18,小數(shù)部分為,
,整數(shù)部分為22,小數(shù)部分為,
,整數(shù)部分為26,小數(shù)部分為,
∴,小數(shù)部分是,
∴①,正確;
②的小數(shù)部分為,正確;
③,錯誤;

,正確;
故選:C.
【點撥】本題考查數(shù)字規(guī)律型、估算無理數(shù)的大小、二次根式的混合運算,根據(jù)定義總結(jié)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
11.2
【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算即可得.
【解答】解:,
,
為正整數(shù),且,
,
故答案為:2.
【點撥】本題考查了無理數(shù)的估算,熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵.
12.真命題
【分析】本題考查了逆命題,判斷真假命題,等腰三角形的性質(zhì)與判定;先寫出其逆命題,再判定即可.
【解答】解: “等邊對等角”的逆命題是“等角對等邊”,在同一個三角形內(nèi)成立,故是真命題.
故答案為:真命題.
13.7
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì),負整數(shù)指數(shù)冪,零指數(shù)冪,先根據(jù)二次根式的性質(zhì),負整數(shù)指數(shù)冪,零指數(shù)冪化簡,再計算,即可求解.
【解答】解:,
故答案為:.
14.3
【分析】延長交于點D,易得,利用全等三角形的性質(zhì)可得,N是的中點,則可得是的中位線,從而可求出的長.
【解答】解:如圖,延長交于點D.
∵,平分,
∴,.
又∵,
∴,
∴,,
∴N是的中點.
∵M是的中點,
∴是的中位線,
∴.
故答案是:3.
【點撥】本題考查了三角形中位線定理和全等三角形的判定與性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.
15.
【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,含的直角三角形的三邊關(guān)系,全等三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識;由題意證明,所以,則是等腰直角三角形,即可得到;過點F作,求出,得到,推出是等腰直角三角形,則,進而即可求解.
【解答】解:在正方形中,和為對角線,
∴,,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
過點F作,如圖,

∴,
∵,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
又,
∴,


故答案為:.
16.
【分析】先解一元一次不等式組,根據(jù)解集為得到m的取值范圍;再解分式方程,根據(jù)解是非負正數(shù)解且不是增根得到m的最終范圍,然后再確定在這個范圍內(nèi)能使y是整數(shù)的m的值,最后求和即可.
【解答】解:關(guān)于x的不等式組整理得到:
,
∵不等式組的解集為,
∴;
分式方程兩邊都乘以得:,即.
∵y有非負解且,
∴且,解得:且.
∴且,
∴整數(shù)m為:它們的和為.
故答案為:.
【點撥】本題主要考查解分式方程、解一元一次不等式組等知識,熟練掌握分式方程、一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.
17.
【分析】過M作于H,連接,根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定證明四邊形是矩形,得到,,再根據(jù)對稱性質(zhì)得,,設(shè),則,,由勾股定理求得;設(shè),則,在中,由勾股定理得,解方程得到,則由勾股定理得.
【解答】解:過M作于H,連接,則,

∵四邊形是矩形,,
∴,,
∴四邊形是矩形,
∴,,
由折疊性質(zhì)得,
設(shè),則,,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,
∴;
設(shè),則,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,
∴,
在中,由勾股定理得,
故答案為:.
【點撥】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用,正確作出輔助線求得的長是解答的關(guān)鍵.
18.
【分析】根據(jù)“和數(shù)”的定義,得到最小“和數(shù)”百位、十位、個位上的數(shù)字之和最小且為2的正整數(shù)倍,故可得百位、十位、個位上的數(shù)字之和為2,則該自然數(shù)千位上的數(shù)字為1,即可解答;根據(jù)題意可得自然數(shù)的千位數(shù)字為,百位數(shù)字是,十位數(shù)字是,個位數(shù)字是,則為,為,再利用能被6整除的數(shù)的特征,即可解答.
【解答】解:根據(jù)“和數(shù)”的定義,得到最小“和數(shù)”百位、十位、個位上的數(shù)字之和最小且為2的正整數(shù)倍,
百位、十位、個位上的數(shù)字之和為2,
該自然數(shù)千位上的數(shù)字為1,
最小的“和數(shù)”為;
根據(jù)題意可得自然數(shù)的千位數(shù)字為,百位數(shù)字是,十位數(shù)字是,個位數(shù)字是,
為,為,
,
根據(jù)“和數(shù)”定義可得,
該“和數(shù)”能被6整除,
該“和數(shù)”為偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和為3的倍數(shù),
,為偶數(shù),
或6,
①當時,,

令,則,原式,
當時,原式取到最小值為;
②當時,,
,
令,則,原式,
當時,原式取到最小值為;
綜上所述,的最小值為,
故答案為:;.
【點撥】本題考查了新定義的理解與運用,解題的關(guān)鍵在于對“和數(shù)”理解上,且進行分類討論.
19.(1)
(2)
【分析】本題考查的是二次根式的混合運算,熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.
(1)先算乘除,再算加減即可;
(2)先算完全平方公式,再去括號,合并同類二次根式即可.
【解答】(1)解:
;
(2)解:

20.(1)見解析;
(2),,,.
【分析】(1)根據(jù)題意即可完成作圖;
(2)結(jié)合(1)根據(jù)菱形的判定即可完成證明.
【解答】(1)解:如圖,射線即為所求;
(2)證明:∵點為邊上的中點,
∴,在和中,

∴,

∵,

∴四邊形是平行四邊形.
又∵,
∴平行四邊形是菱形.
故答案為:,,,.
【點撥】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖.全等三角形的判定與性質(zhì).平行四邊形的判定與性質(zhì).菱形的判定.解題關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.
21.,1
【分析】本題主要考查分式的化簡求值,先根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡原式,再將、的值代入計算可得.
【解答】解:原式

當,時,
原式

22.(1)100海里
(2)1.5小時
【分析】(1)過點A作,垂足為C,根據(jù)題意可得,然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC長.
(2)在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求OC長,再利用三角形的外角求得,然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長,進行計算即可.
【解答】(1)如圖所示,過點A作AC⊥OP ,垂足為C,
由題意得:
,
在中,OA=200海里,
∴=100海里
∴燈塔A到航線OP的距離為100海里.
(2)在中,OA=200海里,
∴海里

在中,AC=100海里,
海里
海里
∴該輪船沿航行路線OP從O處航行到B處所用的時間小時
【點撥】本題考查解直角三角形的方向角問題,根據(jù)已知條件并結(jié)合實際圖形添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.
23.(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)的運用,線段的中點的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時運用菱形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵.
(1)欲證明,只需證得,所以利用全等三角形的性質(zhì)來推知即可;
(2)如圖,延長到點,使,連接、.構(gòu)建全等三角形、、,利用全等三角形的對應(yīng)角相等來證明,即.
【解答】(1)證明:四邊形是菱形,
∴.
∵,
∴.
在與中,
∴,
∴,
∴,即;
(2)解:如圖,延長到點H,使,連接,
點G是的中點,
∴,
在與中,
∴,
∴,,
∴.
∵四邊形是菱形,
∴.
由(1)知,,且,.
∵,
∴,
是等邊三角形,
∴,
∴.
由上述知,,
∴,.
∵,
∴.
∵,

在中,
∴.
在與中,
∴,
∴.
,
故,即.
24.(1);(2);(3)或.
【分析】(1)根據(jù),得出;再將原式化為去絕對值即可得出答案;
(2)先將原式化為再分,,三種情況解方程,得出符合條件的即可;
(3)先將原式化為,再分,,三種情況解方程,即可求出a的值.
【解答】(1)解:當時,
原式===
(2)原式=
當時,原式,解得(舍去);
當時,原式,符合條件;
當時,原式,解得 (舍去).
所以,的取值范圍是;
(3)原式=
當時,原式,解得符合條件;
當時,原式,次方程無解,不符合條件;
當時,原式,解得 符合條件.
所以,的值是或.
【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,運用了數(shù)形結(jié)合的思想,在解答此類問題時要注意進行分類討論.
25.(1)
(2)滿足條件的t的值為或6.
(3)當,5,或時,△BCP為等腰三角形.
【分析】(1)設(shè)存在點P,使得PA=PB,此時PA=PB=2t,,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;
(2)當點P在∠CAB的平分線上時,如圖1,過點P作PE⊥AB于點E,此時根據(jù)勾股定理列方程,結(jié)合P,A重合即可得到結(jié)論;
(3)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得到AC=4cm,根據(jù)題意得:AP=2t,當P在AC上時,△BCP為等腰三角形,得到PC=BC,即,求得,當P在AB上時,△BCP為等腰三角形,若CP=PB,點P在BC的垂直平分線上,如圖,過P作PE⊥BC于E,求得,若PB=BC,即,解得t=5,③PC=BC,如圖,過C作CF⊥AB于F,利用等面積法與勾股定理求解,即可得到結(jié)論.
【解答】(1)解:如圖,∵

設(shè)存在點P,使得PA=PB,
此時PA=PB=2t,PC=4-2t,
在Rt△PCB中,,
即: ,
解得:,
∴當時,PA=PB;
(2)當點P在∠BAC的平分線上時,如圖,
過點P作PE⊥AB于點E,,
此時


在Rt△BEP中,,
即:, 解得:,
∴當時,P在△ABC的角平分線上,
當點P運動到點A時,也符合題意,此時t=6,
綜上所述,滿足條件的t的值為或6.
(3)在Rt△ABC中,∵AB=5cm,BC=3cm,
∴AC=4cm, 根據(jù)題意得:AP=2t,
當P在AC上時,△BCP為等腰三角形,
∴PC=BC,即,
∴,
當P在AB上時,△BCP為等腰三角形,
①CP=PB,點P在BC的垂直平分線上, 如圖,
過P作PE⊥BC于E,




即,解得:,
②PB=BC,即,
解得:t=5,
③PC=BC,如圖,過C作CF⊥AB于F,
∴,


解得:




∴當,5,或時,△BCP為等腰三角形.
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定,角平分線的性質(zhì),線段的垂直平分線的應(yīng)用,勾股定理的應(yīng)用,三角形的面積,難度適中.利用分類討論的思想是解(3)題的關(guān)鍵.
26.(1);(2)見解析;(3)的最小值為
【分析】(1)作于點,根據(jù)題意證明為等腰直角三角形即可得出結(jié)果;
(2)過點作交于,過點作于點,根據(jù)題意證明,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(3)根據(jù)題意證明,然后根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答.
【解答】解:(1)作于點,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴為等腰直角三角形,
∴;
(2)過點作交于,
過點作于點,
∵為等腰直角三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴為等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴為等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴四邊形為矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
∴,
∵,
∴;
(3)∵為中點,為等腰直角三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴=,
∴,
作關(guān)于的對稱點,連交于點,
則點即為所求點,連接, 設(shè)交于點,過點作于點,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴的最小值為.
【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),軸對稱最短路徑問題,熟練掌握基礎(chǔ)知識,熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

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