命題:浙江省杭州第二中學(xué)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.若全集,集合A,B及其關(guān)系如圖所示,則圖中陰影部分表示的集合是( )
A.B.C.D.
2.已知,且,則與的夾角的余弦值為( )
A.B.C.D.
3.設(shè)b,c表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則
4.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),則( )
A.B.C.D.
5.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,則“”是“為等比數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足,且,則的最小值為( )
A.B.8C.D.
7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn),以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點(diǎn),且,則該雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
8.在等邊三角形ABC的三邊上各取一點(diǎn)D,E,F,滿(mǎn)足,則三角形ABC的面積的最大值是( )
A.B.C.D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.在學(xué)校組織的《青春如火,初心如炬》主題演講比賽中,有8位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)行評(píng)分(評(píng)分互不相同),將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.剩下評(píng)分的平均值變大B.剩下評(píng)分的極差變小
C.剩下評(píng)分的方差變小D.剩下評(píng)分的中位數(shù)變大
10.在三棱錐中,已知,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，則( )
A.MN⊥ADB.異面直線AN,CM所成的角的余弦值是
C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球的表面積為
11.已知函數(shù),則( )
A.的零點(diǎn)為
B.的單調(diào)遞增區(qū)間為
C.當(dāng)時(shí),若恒成立,則
D.當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作的圖象的所有切線,則所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.直線的一個(gè)方向向量是 .
13.甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍,比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進(jìn)行了三局的概率為 .
14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,記,若均為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則 .
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本小題滿(mǎn)分13分)如圖,斜三棱柱的底面是直角三角形,,點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn),且.
(I)求證:平面平面;
(II)若斜棱柱的高為,求平面與平面夾角的余弦值.
16.(本小題滿(mǎn)分15分)己知函數(shù),其中.
(I)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的值;
(II)是否存在實(shí)數(shù),使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
17.(本小題滿(mǎn)分15分)記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.重復(fù)次這樣的構(gòu)造,可得到個(gè)復(fù)數(shù),將它們的乘積記為.
已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性質(zhì):,其中.
(I)當(dāng)時(shí),記的取值為,求的分布列;
(II)當(dāng)時(shí),求滿(mǎn)足的概率;
(III)求的概率.
18.(本小題滿(mǎn)分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我們把點(diǎn)稱(chēng)為自然點(diǎn).按如圖所示的規(guī)則,將每個(gè)自然點(diǎn)進(jìn)行賦值記為,例如,.
(I)求;
(II)求證:;
(III)如果滿(mǎn)足方程,求的值.
19.(本小題滿(mǎn)分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn)在第一象限).
(I)當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(II)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)(異于點(diǎn)O,M,N),
(i)證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;
(ii)求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.
參考答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(答案不唯一)13.14.-6
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本小題滿(mǎn)分13分)(第I問(wèn),6分;第II問(wèn),7分)
解:(I)取BC中點(diǎn)為,連接在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn),
平面ABC,又平面,
又,
平面平面,
又平面平面平面.
(II)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,
,
,
設(shè)平面的法向量為,
則有,令,則,
設(shè)平面的法向量為,
則有,令則,
,
平面與平面夾角的余弦值為.
16.(本小題滿(mǎn)分15分)(第I問(wèn),6分;第II問(wèn),9分)
(I),則,
故曲線在處的切線為,
即,
當(dāng)時(shí),此時(shí)切線為,不符合要求
當(dāng)時(shí),令,有,
令,有,故,即,故
(II),
①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
的最大值是,解得,舍去;
②當(dāng)時(shí),由,得,
當(dāng),即時(shí),時(shí),時(shí),,
的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,
又在上的最大值為;
當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,,
解得,舍去.綜上,存在符合題意,此時(shí)
17.(本小題滿(mǎn)分15分)(第I問(wèn),6分;第II問(wèn),4分;第III問(wèn),5分)
(I)由題意可知,可構(gòu)成的復(fù)數(shù)為,
的可能取值為,
，
，
所以分布列為:
(II)共有種,
滿(mǎn)足的情況有:
①3個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,共有種;
②3個(gè)復(fù)數(shù)中,2個(gè)模長(zhǎng)均為1,1個(gè)模長(zhǎng)為或者2,共有種;
所以.
(III)當(dāng)或2時(shí),顯然都滿(mǎn)足,此時(shí);
當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足共有三種情況:
①個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,則共有;
②個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余1個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有;
③個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余2個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有.
故,
此時(shí)當(dāng)均成立.
所以.
18.(本小題滿(mǎn)分17分)(第I問(wèn),4分;第II問(wèn),7分;第III問(wèn),6分)
解:(I)根據(jù)圖形可知,
(II)固定,則為一個(gè)高階等差數(shù)列,且滿(mǎn)足
所以
所以,,所以
P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024
等價(jià)于,
等價(jià)于
即,
化簡(jiǎn)得,
由于增大,也增大,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
故當(dāng)時(shí),,即
19.(本小題滿(mǎn)分17分)(第I問(wèn),4分;第II問(wèn),5分;第III問(wèn),8分)
解:(I)設(shè)直線
聯(lián)立,消去,得,
所以,
,則
,則,又由題意,
直線的方程是;
(II)(i)方法1:設(shè)
因?yàn)镺,M,D,N四點(diǎn)共圓,設(shè)該圓的方程為,
聯(lián)立,消去,得,
即，
所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根,
則,
因?yàn)?
由的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得,,所以的重心的縱坐標(biāo)為0.
方法2:設(shè),則,
因?yàn)镺,M,C,N四點(diǎn)共圓,所以,即,
化簡(jiǎn)可得:,
所以的重心的縱坐標(biāo)為0.
(ii)記的面積分別為,由已知得直線MN的斜率不為0設(shè)直線,聯(lián)立,消去,得,所以,
所以,
由(i)得,,
所以,即,
因?yàn)?
點(diǎn)到直線MN的距離,
所以,
所以
在第一象限,即,
依次連接O,M,D,N構(gòu)成凸四邊形OMDN,所以,即,
又因?yàn)?即,即,
所以,即,即,
所以,
設(shè),則,
令,則,
因?yàn)?所以,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,
所以的取值范圍為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
C
A
C
A
題號(hào)
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
X
1
2
3
4

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