(1)求拋物線解析式及，兩點坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，，；(2)或或；(3)
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對角線時，根據(jù)中點坐標(biāo)即可求解；
（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點，為的中點，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形
當(dāng)為對角線時，
解得：，
∴；
當(dāng)為對角線時，
解得：
∴
當(dāng)為對角線時，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點，為的中點，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；
（3）分，，分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
設(shè)直線，
則：，解得：，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
作點關(guān)于軸的對稱點，連接，
則：，，
∴當(dāng)三點共線時，有最小值為的長，

∵，，
∴，
即：的最小值為：；
（3）解：存在；
∵，
∴對稱軸為直線，
設(shè)，，
當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：
①為對角線時：，

∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴；
②當(dāng)為對角線時：，

∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴；
③當(dāng)為對角線時：，

∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴；
綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．
【答案】(1)；(2)點Q坐標(biāo)，或或；(3)時，有最大值，最大值為
【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）由二次函數(shù)，求得點，設(shè)點，點，分類討論：當(dāng)為邊，為對角線時，當(dāng)為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；
（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，
可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線 解析式；設(shè)點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．
【詳解】（1）將，代入，得
，解得
∴拋物線解析式為：
（2）二次函數(shù)，當(dāng)時，
∴點
設(shè)點，點，
當(dāng)為邊，為對角線時，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
點Q坐標(biāo)；
當(dāng)為邊，為對角線時，
同理得，
解得，或，
∴
∴點Q坐標(biāo)或
綜上，點Q坐標(biāo)，或或；
（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
設(shè)直線的解析式為：
則，解得
∴直線：
同理由點，，可求得直線 ：
設(shè)點，，
則，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴時，，有最大值，最大值為．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負(fù)半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）根據(jù)，確定點坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．
【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴點，點，
設(shè)拋物線的解析式為，
把點，點代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，
∴，
當(dāng)四邊形是平行四邊形時，，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
∴直線的解析式為，
又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，
∴
∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴點E為線段的中點，
∴點E的橫坐標(biāo)為，
∵點E在直線上，
∴，
把代入中，可得，
解得（不合題意，舍去），．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．
5．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，
，解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，，
；
②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上圖，根據(jù)對稱性：，
③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標(biāo)仍為；
綜上所述：的坐標(biāo)為或或．
（3）解：是定值，
理由：如圖，直線經(jīng)過，
可設(shè)直線的解析式為，
、在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，
當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
當(dāng)與對調(diào)位置后，同理可求；
故的定值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且．在y軸上是否存在點F，使得為等腰三角形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見詳解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）設(shè)拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，從而求出線段PQ長度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）過點Q作QM⊥y軸，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，交于點N，推出，從而得，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線，
∴B（4，0），C（0，4），
設(shè)拋物線，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴當(dāng)x=2時，線段PQ長度最大=4，
∴此時，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四邊形OCPQ是平行四邊形；
（3）過點Q作QM⊥y軸，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，交于點N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中點，
∴D（0，2），
∵QN∥y軸，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
設(shè)E（x，），則，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
設(shè)F（0，y），則，
，，
①當(dāng)BF=EF時，，解得：，
②當(dāng)BF=BE時，，解得：或，
③當(dāng)EF=BE時，，無解，
綜上所述：點F的坐標(biāo)為：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點的坐標(biāo)特征，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
7.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關(guān)于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應(yīng)點，點F為的對稱軸上任意一點，在上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo)，并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過程見解析
【分析】
（1）將，的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設(shè)P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；
（3）通過平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】
解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，解得：，
∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，
（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為
∵點D與點C關(guān)于直線l對稱，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；
∴，解得：，
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
設(shè)P（m，m2-3m-4），
作PE∥y軸交直線AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴，
∴，
∴當(dāng)m=1時，的面積最大，最大值為：8
（3）∵直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴拋物線沿射線AD方向平移平移個單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個單位，再向下平移4個單位，
∵，，平移后的坐標(biāo)分別為（3，-4），（8，-4），
設(shè)平移后的拋物線的解析式為
則，解得：，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴拋物線y1的對稱軸為：，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：
設(shè)G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），
①當(dāng)DE為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
②當(dāng)EF為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
③當(dāng)EG為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
∴或或
【點睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．
8.（2022·四川眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且點的坐標(biāo)為．
(1)求點的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或
【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；
（2）過作于點，過點作軸交于點，證明 是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時，最大，，運用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對角線三種情況討論求解即可．
(1)
（1）∵點在拋物線的圖象上，
∴
∴，
∴點的坐標(biāo)為；
(2)過作于點，過點作軸交于點，如圖：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵軸，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴當(dāng)最大時，最大，
設(shè)直線解析式為，
將代入得，
∴，
∴直線解析式為，
設(shè)，，則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，最大為，
∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；
(3)存在．∵
∴拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)點N的坐標(biāo)為（-2，m），點M的坐標(biāo)為（x，）
分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴點M的坐標(biāo)為（3，-16）
②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，
方法同①可得，，
∴
∴點M的坐標(biāo)為（-7，-16）；
③當(dāng)AC為對角線時，如圖，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴線段AC的中點H的坐標(biāo)為，即H（）
∴，解得，。
∴
∴點M的坐標(biāo)為（-3，8）
綜上，點的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
9.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點．過點P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PDE的周長取得最大值時，求點P的坐標(biāo)和△PDE周長的最大值；
（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點P．M是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標(biāo)，并把求其中一個點M的坐標(biāo)的過程寫出來．
【答案】（1）；（2）t=2時，△PDE周長取得最大值，最大值為， 點P的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過程見解析
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）先求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式和點C坐標(biāo)，設(shè)P，其中0

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