題型八函數(shù)的實際應(yīng)用類型四拋物線型問題16題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分沖刺題型突破（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？
【答案】(1)，球不能射進(jìn)球門；(2)當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門
【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點式，代入A點坐標(biāo)求出a的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點代入即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
把點代入，得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
∴球不能射進(jìn)球門；
（2）設(shè)小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，
把點代入得，
解得（舍去），，
∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
2.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根據(jù)題意知，A，B兩點的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點的橫坐標(biāo)，從而可解決問題．
(1)
依題意，頂點，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將代入，得．解之，得．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
(2)
令，得．
解之，得．
∴．
【點睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機(jī)．通過實驗，收集了飛機(jī)相對于出發(fā)點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數(shù)據(jù)如下表．
探究發(fā)現(xiàn)：與，與之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述．直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上處設(shè)置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．

（1）若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機(jī)落到安全線時飛行的水平距離；
（2）在安全線上設(shè)置回收區(qū)域．若飛機(jī)落到內(nèi)（不包括端點），求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．
【答案】探索發(fā)現(xiàn)：；問題解決：（1）；（2）大于且小于
【分析】探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
問題解決：（1）令二次函數(shù)代入函數(shù)解析式即可求解；
（2）設(shè)發(fā)射平臺相對于安全線的高度為，則飛機(jī)相對于安全線的飛行高度．結(jié)合，即可求解.
【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：x與t是一次函數(shù)關(guān)系，y與t是二次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)，，
由題意得：，，
解得：，
∴．
問題解決（1）解：依題總，得．
解得，（舍），，
當(dāng)時，．
答：飛機(jī)落到安全線時飛行的水平距離為．
（2）解：設(shè)發(fā)射平臺相對于安全線的高度為，飛機(jī)相對于安全線的飛行高度．
，
，
，
在中，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
．
答：發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于且小于．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是把實際問題分析轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型．
4.甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．
（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；
（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8
【分析】
（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到對應(yīng)的y值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而即可得到m的范圍．
【詳解】
（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：y= (x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；
（3）由題意得：當(dāng)0≤x≤8時，新函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x，
當(dāng)x＜0或x＞8時，新函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x，
∴新函數(shù)表達(dá)式為：，
∵將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，
根據(jù)圖像可知：當(dāng)m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數(shù)圖象在時，的值隨值的增大而減?。?br>【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點處將沙包（看成點）拋出，并運(yùn)動路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動路線為拋物線的一部分．

(1)寫出的最高點坐標(biāo)，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點A水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．
【答案】(1)的最高點坐標(biāo)為，，；(2)符合條件的n的整數(shù)值為4和5
【分析】（1）利用頂點式即可得到最高點坐標(biāo)；點在拋物線上，利用待定系數(shù)法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得點A的坐標(biāo)范圍為，求得n的取值范圍，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
∴的最高點坐標(biāo)為，
∵點在拋物線上，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為，令，則；
（2）解：∵到點A水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到沙包，
∴點A的坐標(biāo)范圍為，
當(dāng)經(jīng)過時，，
解得；
當(dāng)經(jīng)過時，，
解得；
∴
∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，聯(lián)系實際，讀懂題意，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
6.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運(yùn)動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運(yùn)動員從點正上方米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動．
（1）當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到離處的水平距離為米時，離水平線的高度為米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動水平線的水平距離為多少米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為米？
（3）當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）12米；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)題意可知：點A（0，4）點B（4，8），利用待定系數(shù)法代入拋物線即可求解；
（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；
（3）由拋物線可知坡頂坐標(biāo)為，此時即當(dāng)時，運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方，若與坡頂距離超過米，即，由此即可求出b的取值范圍．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意可知：點A（0，4），點B（4，8）代入拋物線得，
，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)解析式；
（2）∵運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為米，
∴，
解得：（不合題意，舍去），，
故當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動水平線的水平距離為12米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為米；
（3）∵點A（0，4），
∴拋物線，
∵拋物線，
∴坡頂坐標(biāo)為，
∵當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，
∴，
解得：．
【點睛】
本題屬二次函數(shù)應(yīng)用中的難題.解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4) 還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題．
7．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．

(1)求點P的坐標(biāo)和a的值．
(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．
【答案】(1)，；(2)選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近
【分析】（1）在一次函數(shù)上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由題意可知，令，分別求得，，即可求得落地點到點的距離，即可判斷誰更近．
【詳解】（1）解：在一次函數(shù)，
令時，，
∴，
將代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
選擇扣球，則令，即：，解得：，
即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
選擇吊球，則令，即：，解得：（負(fù)值舍去），
即：落地點距離點距離為，
∴落地點到C點的距離為，
∵，
∴選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，求得函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．
8.如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為軸，高度dm．現(xiàn)計劃將此余料進(jìn)行切割：
(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；
(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；
(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請說明理由．
【答案】(1) ；
(2)20dm；
(3)能切得半徑為3dm的圓．
【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長為2m，表示在二次函數(shù)上點的坐標(biāo)，代入即可得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；
（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的周長求最大值即可；
（3）為了保證盡可能截取圓，應(yīng)保證圓心H坐標(biāo)為（0，3），表示出圓心H到二次函數(shù)上個點之間的距離與半徑3進(jìn)行比較即可．
(1)
由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，
∵對稱軸為y軸，
∴b=0，將A、C代入得，a=，c=8
則二次函數(shù)解析式為，
如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長為2m，
則P點坐標(biāo)可以表示為（m，2m）
代入二次函數(shù)解析式得，
，解得（舍去），
∴2m=，
則正方形的面積為；
(2)
如下如所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）
將x=n代入二次函數(shù)解析式，得
，
則EF=，
矩形DEFG的周長為：2（DE+EF）=2（2n+）=，
當(dāng)n=2時，矩形的周長最大，最大周長為20dm；
(3)
如下圖所示，為了保證盡可能截取圓，應(yīng)保證圓心H坐標(biāo)為（0，3），
則圓心H到二次函數(shù)上個點之間的距離為，
∴能切得半徑為3dm的圓．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽(yù)為中國國球．2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運(yùn)動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象；
(2)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點時，與球臺之間的距離是__________，當(dāng)乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；
②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
【答案】(1)見解析；(2)①；；②；(3)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為
【分析】（1）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可求解；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時，；
②待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，根據(jù)題意當(dāng)時，，代入進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當(dāng)和時，函數(shù)值相等，則對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，
又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是，
當(dāng)時，，
∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是；
故答案為：；．
②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（3）∵當(dāng)時，拋物線的解析式為，
設(shè)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為，則平移距離為，
∴平移后的拋物線的解析式為，
依題意，當(dāng)時，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10.跳臺滑雪運(yùn)動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運(yùn)動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度為，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為，高度為（h為定值）．設(shè)運(yùn)動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．
(1)c的值為__________；
(2)①若運(yùn)動員落地點恰好到達(dá)K點，且此時，求基準(zhǔn)點K的高度h；
②若時，運(yùn)動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；
(3)若運(yùn)動員飛行的水平距離為時，恰好達(dá)到最大高度，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．
【答案】(1)66
(2)①基準(zhǔn)點K的高度h為21m；②b＞；
(3)他的落地點能超過K點，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)起跳臺的高度OA為66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根據(jù)基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，即得基準(zhǔn)點K的高度h為21m；
②運(yùn)動員落地點要超過K點，即是x＝75時，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）運(yùn)動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，即是拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當(dāng)x＝75時，y＝36，從而可知他的落地點能超過K點．
(1)
解：∵起跳臺的高度OA為66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案為：66；
(2)
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基準(zhǔn)點K的高度h為21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵運(yùn)動員落地點要超過K點，
∴當(dāng)x＝75時，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案為：b＞；
(3)
解：他的落地點能超過K點，理由如下：
∵運(yùn)動員飛行的水平距離為25m時，恰好達(dá)到最大高度76m，
∴拋物線的頂點為（25，76），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，
當(dāng)x＝75時，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地點能超過K點．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
11.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O(shè)點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
請回答下列問題：
(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；
(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個正方形裝置的間距的長；
(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為，求的長．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為，求出點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出時對應(yīng)的自變量的值，得到的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；
（3）求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出過點的光線解析式為，利用光線與拋物線相切，求出的值，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，即可得出的長．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，
設(shè)拋物線的解析式為，
∵四邊形為矩形，為的中垂線，
∴，，
∵，
∴點，代入，得：
，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵四邊形，四邊形均為正方形，，
∴，
延長交于點，延長交于點，則四邊形，四邊形均為矩形，
∴，
∴，
∵，當(dāng)時，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
則：，解得：，
∴，
∵太陽光為平行光，
設(shè)過點平行于的光線的解析式為，
由題意，得：與拋物線相切，
聯(lián)立，整理得：，
則：，解得：；
∴，當(dāng)時，，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用．讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
12.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？
素材1
圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．
素材2
為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．
問題解決
任務(wù)1
確定橋拱形狀
在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
探究懸掛范圍
在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．
任務(wù)3
擬定設(shè)計方案
給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)．
【答案】任務(wù)一：見解析，；任務(wù)二：懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是；；任務(wù)三：兩種方案，見解析
【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)的范圍；
任務(wù)三：有兩種設(shè)計方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠；方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為，根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解．
【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，
則頂點為，且經(jīng)過點．
設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為，
則，
∴，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是．
任務(wù)二：∵水位再上漲達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少，燈籠長，
∴懸掛點的縱坐標(biāo)，
∴懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是．
當(dāng)時，，解得或，
∴懸掛點的橫坐標(biāo)的取值范圍是．
任務(wù)三：有兩種設(shè)計方案
方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠．
∵，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為，
∴若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則，
若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則，
∴頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠．
∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，
∴共可掛7盞燈籠．
∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是．
方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為，
∵若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則，
若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則，
∴頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠．
∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，
∴共可掛8盞燈籠．
∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13.如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體處，另一端固定在離地面高2米的墻體處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知大棚上某處離地面的高度（米）與其離墻體的水平距離（米）之間的關(guān)系滿足，現(xiàn)測得，兩墻體之間的水平距離為6米．
圖2
（1）直接寫出，的值；
（2）求大棚的最高處到地面的距離；
（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？
【答案】（1），；（2）米；（3）352
【分析】
（1）根據(jù)題意，可直接寫出點A點B坐標(biāo)，代入，求出b、c即可；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式直接求頂點坐標(biāo)即可；
（3根據(jù)，先求得大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬，再求得需搭建支架的面積，最后根據(jù)每平方米需要4根竹竿計算即可．
【詳解】
解：（1）由題意知點A坐標(biāo)為，點B坐標(biāo)為，
將A、B坐標(biāo)代入得：
解得：，
故，；
（2）由，
可得當(dāng)時，有最大值，
即大棚最高處到地面的距離為米；
（3）由，解得，，
又因為，
可知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬為（米），
又大棚的長為16米，故需要搭建支架部分的土地面積為（平方米）
共需要（根）竹竿．
【點睛】
本題主要考查根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求頂點坐標(biāo)，以及根據(jù)函數(shù)值確定自變量取值范圍，掌握此題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．
14.如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橋拱項部O離水面的距離．
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．
【答案】（1）6m；（2）①；②2m
【分析】
（1）設(shè)，由題意得，求出拋物線圖像解析式，求當(dāng)x=12或x=-12時y1的值即可；
（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，設(shè)，將點H代入求值即可；
②設(shè)彩帶長度為h，則，代入求值即可．
【詳解】
解（1）設(shè)，由題意得，
，
，
，
當(dāng)時，，
橋拱頂部離水面高度為6m．
（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，
設(shè)，
，
，
，
，
(左邊拋物線表達(dá)式：)
②設(shè)彩帶長度為h，
則，
當(dāng)時，，
答：彩帶長度的最小值是2m ．
【點睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)最值得求解方法，結(jié)合題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想設(shè)出二次函數(shù)的頂點式方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2021·浙江金華市·中考真題）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標(biāo)系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．
【答案】（1）；（2）22米；（3）不會
【分析】
（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距離，再根據(jù)對稱性求的長；
（3）利用，計算出的函數(shù)值，再與的長進(jìn)行比較可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）由題意得，A點在圖象上．
當(dāng)時，
．
（2）由題意得，D點在圖象上．
令，得．
解得：（不合題意，舍去）．
（3）當(dāng)時，，
，
∴不會碰到水柱．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及圖像關(guān)于軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是：掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
16．（2021·山東臨沂市·中考真題）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．
（1）當(dāng)甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？
（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？
【答案】（1）87.5m；（2）6秒時兩車相距最近，最近距離是2米
【分析】
（1）根據(jù)圖像分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出當(dāng)v=10m/s時，兩車之間距離最小，代入計算即可．
【詳解】
解：（1）由圖可知：二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點，
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為，一次函數(shù)表達(dá)式為，
∵一次函數(shù)經(jīng)過（0，16），（8，8），
則，解得：，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為，
令v=9，則t=7，
∴當(dāng)t=7時，速度為9m/s，
∵二次函數(shù)經(jīng)過（2，30），（4，56），
則，解得：，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為，
令t=7，則s==87.5，
∴當(dāng)甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是87.5m；
（2）∵當(dāng)t=0時，甲車的速度為16m/s，
∴當(dāng)10＜v＜16時，兩車之間的距離逐漸變小，
當(dāng)0＜v＜10時，兩車之間的距離逐漸變大，
∴當(dāng)v=10m/s時，兩車之間距離最小，
將v=10代入中，得t=6，
將t=6代入中，得，
此時兩車之間的距離為：10×6+20-78=2m，
∴6秒時兩車相距最近，最近距離是2米．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意，讀懂函數(shù)圖像，求出表達(dá)式是解題的基本前提．
飛行時間
0
2
4
6
8
…
飛行水平距離
0
10
20
30
40
…
飛行高度
0
22
40
54
64
…
水平距離x/
豎直高度y/

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