安徽省蚌埠市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．
2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
3．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．
一、選擇題（本大題共10小題、每小題4分，滿分40分）
1. 下列二次根式中，最簡二次根式是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查最簡二次根式的定義，掌握定義是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．逐一驗證每個選項是否符合定義即可．
【詳解】解：A：被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是最簡二次根式，該選項不符合題意；
B：，不是最簡二次根式，該選項不符合題意；
C：，不是最簡二次根式，該選項不符合題意；
D：是最簡二次根式，該選項符合題意；
故選：D
2. 下列各組數(shù)中，可以作為直角三角形三邊長的一組是（）
A. 1，2，B. ，，C. 2，，4D. ，，7
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．
【詳解】解：A、∵，
∴三邊長為1，2，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
B、∵，
∴三邊長為，，可以組成直角三角形，故此選項符合題意；
C、∵，
∴三邊長為2，，4不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
D、∵，
∴三邊長為，，7不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
故選：B．
3. 方程的解是（）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟悉其解法是解決問題的關(guān)鍵．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，即，
，，
故選：D．
4. 下列計算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式加減運算、乘法運算和分母有理化，掌握同類二次根式的定義和二次根式的運算規(guī)則是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的加減運算，乘法運算規(guī)則進行計算即可．
【詳解】解：A：，被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不能進行合并，該選項不符合題意；
B：，該選項不符合題意；
C：，該選項符合題意；
D：，該選項不符合題意；
故選：C．
5. 用配方法解方程時，變形正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再把二次項系數(shù)化為1，接著把方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方即可得到答案．
【詳解】解；
，
故選：A．
6. 一元二次方程根的情況是（）
A. 有兩個相等的實根B. 有兩個正根
C. 有兩個負根D. 有一個正根，一個負根
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程（為常數(shù)）的根的判別式與根的個數(shù)．當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．求出，判斷其符號即可得解，也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
【詳解】解：由，得，
，又，
，
該方程有兩個不相等的實根，并設(shè)為，，
∵，
∴兩個根為一個正根，一個負根．
故選：D．
7. 已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則方程的另一個根是（）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程概念、根的意義以及解法，熟悉其相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的一個根是0和一元二次方程的定義，可求出的值，然后解方程即得解．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，
滿足方程，代入得：，即，
，
又為關(guān)于的一元二次方程，則，即，
，
原方程為，即，
方程的另一個根為．
故選：C．
8. 高空物體下落的時間（單位：）和高度（單位：）近似滿足公式：（為重力加速度，）．若一物體從的高空下落，則落到地面的時間大約為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式應(yīng)用，當(dāng)時即可求出的值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡．
【詳解】解：當(dāng)時，，
∴，
∵
∴，
故選：．
9. 如圖是一塊長，寬，高分別是，，的長方體木塊，一只螞蟻從點出發(fā)，沿長方體的表面爬到點吃食物，那么它需要爬行到達點的最短路線長為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了長方體的側(cè)面展開，兩點間的最短距離，勾股定理，分情況討論即可，然后利用勾股定理即可求得最短線段的長，再比較最短的線段即可得到答案，根據(jù)長方體的側(cè)面展開分類討論是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，展開圖，
∴；
如圖，展開圖，
∴；
如圖，展開圖，
∴；
如圖
∴，
綜上可知：∵
∴爬行到達點的最短路線長為，
故選：．
10. 已知，是不為0的實數(shù)，且，若，，則的值為（）
A. 23B. 15C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握解的意義和根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．將，進行變形可知，為方程的兩個不相等實根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，的值,利用完全平方公式對代數(shù)式進行變形即可求得其值．
【詳解】解：，是不為0的實數(shù)，
由，，得，，
又，
，為一元二次方程的兩個不相等實根，
，，
，
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 比較大?。篲_______（填“，或”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，根據(jù)即可得到．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 若，則應(yīng)當(dāng)滿足的條件是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根，熟悉算術(shù)平方根的意義是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的意義得，，由此得解．
【詳解】解：，
，
．
故答案為：．
13. 某食品加工廠第一季度的銷售額為萬元，第三季度的銷售額為萬元，則該食品加工廠第二、三季度銷售額的平均增長率為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)第二、三季度銷售額的平均增長率為，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】解：設(shè)第二、三季度銷售額的平均增長率為，
依題意得，，
解得，或，
∴第二、三季度銷售額的平均增長率為，
故答案為：．
14. 如圖①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分別以AC、BC、AB為邊，向形外作等邊三角形，所得的等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3，請解答以下問題：
（1）S1、S2、S3滿足的數(shù)量關(guān)系是________．
（2）現(xiàn)將△ABF向上翻折，如圖②，若陰影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，則=________．
【答案】 ①. S1+S2=S3 ②. 7
【解析】
【分析】（1）利用等邊三角形的面積公式以及勾股定理即可證明．
（2）設(shè)△ACB面積為S，圖②中兩個白色圖形的面積分別為a，b，根據(jù)（1）得到S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，整理之后即可代值求解．
【詳解】解：（1）在中，∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2，
如圖，在等邊中，邊上的高

同理：S2=BC?，S3=AB?，
∴S1+S2=S3；
（2）設(shè)面積為S，圖②中兩個白色圖形的面積分別為a，b；
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，
∴S甲+ S乙= S丙+S，
∴S=6+5-4=7．
故答案為：（1）S1+S2=S3；（2）7．
【點睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形面積計算．熟練應(yīng)用勾股定理、正確計算等邊三角形面積以及會用割補法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式混合計算，先計算二次根式乘除法，再計算二次根式加減法即可．
【詳解】解：
．
16. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），；
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程的方法，掌握并熟練運用直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法是解題關(guān)鍵．
（1）移項得，利用直接開平方法即可求解；
（2）分解因式得，利用因式分解法即可求解；
【小問1詳解】
解：由
得，
，．
【小問2詳解】
解：由，
得，
，．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 若關(guān)于的方程是一元二次方程．
（1）求的值；
（2）若該方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程（為常數(shù)）的概念，根的判別式與根的個數(shù)．當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
（1）由于是關(guān)于的一元二次方程，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)是2，由此得到，，即得解．
（2）第一問的值已求，根據(jù)有兩個相等實數(shù)根，即可求出的值.
【小問1詳解】
解：關(guān)于的方程是一元二次方程，
，
由①得，，
由②得，或，
．
【小問2詳解】
解：，
關(guān)于的一元二次方程為，
該方程有兩個相等的實數(shù)根，
，解得，
．
18. 已知，，求下列代數(shù)式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值：
（1）先求出，，再根據(jù)進行求解即可；
（2）先求出，，再利用完全平方公式把所求式子變形為，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴，，
∴
；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，，
∴
．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程（為常數(shù)）根的判別式與根的個數(shù)，以及根與系數(shù)的關(guān)系．當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．注意在利用根與系數(shù)的關(guān)系時，不要忽略判別式的取值范圍．
（1）根據(jù)方程有實數(shù)根：，進行計算即可；
（2）根據(jù)方程兩個不相等的實數(shù)根：，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，進行計算即可；
【小問1詳解】
解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
，
解得：．
的取值范圍為：．
【小問2詳解】
解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，
，
解得：．
，即，
，
或，又，
．
20. 某農(nóng)場主承包一片土地，形狀如圖所示，經(jīng)測得，，，，．
（1）為方便種植，農(nóng)場主打算修建一條小路，連接，求的長；
（2）求該四邊形土地的面積．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解決問題的關(guān)鍵．
（1）在中，利用勾股定理求小路的長；
（2）由勾股定理逆定理判斷形狀，由三角形面積公式求得四邊形土地的面積．
【小問1詳解】
解：在中，，利用勾股定理得，
，
．
答：小路的長為．
【小問2詳解】
解：在中，
，，
，
為直角三角形，且，
四邊形土地的面積為：．
答：該四邊形土地的面積為．
六、（本題滿分 12 分）
21. 觀察下列各式：
①，
②，
③，
④，
……
（1）請用含（是正整數(shù)且）的式子寫出你猜想的規(guī)律；
（2）求證：．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了分母有理化，簡單的規(guī)律探索：
（1）觀察所給式子可知，左邊式子化簡的結(jié)果為分母中大數(shù)減小數(shù)，即；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律先把式子左邊裂項化簡得到，再把分母有理化即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
解：①，
②，
③，
④，
……，
以此類推可知；
【小問2詳解】
證明：∵（是正整數(shù)且），
∴
；
，
∴．
七、（本題滿分12分）
22. 如圖，在中，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)，，時，求的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌握和運用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
（1）在和中，分別運用勾股定理可得，，利用邊相等，聯(lián)立兩式移項即得證．
（2）根據(jù)第一問的結(jié)論，可求出的值，利用平方差公式，結(jié)合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【小問1詳解】
證明：，
在和中，根據(jù)勾股定理得，
，，
，
移項得：．
故．
【小問2詳解】
解：，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
八、（本題滿分 14 分）
23. 閱讀材料并回答問題：在學(xué)習(xí)絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義可以得出，一般地，點，在數(shù)軸上，分別表示有理數(shù)，，那么，兩點之間的距離可以表示為，所以在平面直角坐標(biāo)系中，軸上兩點，，則；軸上兩點，，則．
（1）如圖1，求證：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點，間的距離公式為：；
（2）若在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點，，，試判斷的形狀；
（3）如圖2，點，，點是軸上的動點，直接寫出的最小值：________．
【答案】（1）見解析（2）是等腰直角三角形
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，軸對稱最短路徑問題：
（1）過點A作軸，過點B作軸交于C，則，進而得到，再利用勾股定理進行求解即可；
（2）利用（1）所求得到，，，進而得到，則由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形；
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接，則，由軸對稱的性質(zhì)可得，則當(dāng)三點共線時，最小，即此時最小，最小值即為的長，利用（1）的結(jié)論求出的長即可得到答案．
小問1詳解】
證明：如圖所示，過點A作軸，過點B作軸交于C，
∴，
∴，
∴
【小問2詳解】
解：∵，，，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小問3詳解】
解：如圖所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接，則，
由軸對稱的性質(zhì)可得，
∴，
∴當(dāng)三點共線時，最小，即此時最小，最小值即為的長，
∵，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．

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