安徽省皖東南初中四校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題 (本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分)
1. 下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式即可解答．
【詳解】解：∵是最簡(jiǎn)二次根式，
∴與不是同類(lèi)二次根式，
故項(xiàng)不符合題意；
∵，
∴與是同類(lèi)二次根式，
∴與是同類(lèi)二次根式，
故項(xiàng)符合題意；
∵，
∴與不是同類(lèi)二次根式，
∴與不是同類(lèi)二次根式，
故項(xiàng)不符合題意；
∵，
∴與不是同類(lèi)二次根式，
∴與不是同類(lèi)二次根式，
故項(xiàng)不符合題意；
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式的定義：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式，理解同類(lèi)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 下列各式中，正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的概念即可求出答案．
【詳解】解：A、3，故A不符合題意；
B、3，故B不符合題意；
C、3，故C不符合題意；
D、2，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、立方根，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3. 用配方法解方程時(shí)．變形結(jié)果正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先給方程兩邊同除2，然后再根據(jù)完全平方公式和等式的性質(zhì)配方即可．
【詳解】解：
．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；③把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；④等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
4. 滿(mǎn)足下列條件的三角形中，是直角三角形的是（）
A. 三邊的邊長(zhǎng)比為B. 三邊邊長(zhǎng)的平方比為
C. 三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為D. 三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為
【答案】A
【解析】
【分析】由比的意義及勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理，即可完成解答．
【詳解】解：A、設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，由，此三角形是直角三角形；
B、由題意，設(shè)三邊的平方分別為，而，此三角形不是直角三角形；
C、由題意知，最大內(nèi)角為：，故不是直角三角形；
D、由題意知，最大內(nèi)角為：，故不是直角三角形；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
5. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定a，b的大小，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：由數(shù)軸可知：b＜-2，1＜a＜2，
∴a?2＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a?2|?|a＋b|，
=?（a?2）＋（a＋b）
＝?a＋2＋a＋b
＝2＋b，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
6. 將一個(gè)容積為的長(zhǎng)方體包裝盒剪開(kāi)、鋪平，紙樣如圖所示，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意表示出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而表示出長(zhǎng)方體的體積即可．
【詳解】解：由題意可得：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為：15，寬為：(30-2x)÷2=15-x，
則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15(15-x)x=600
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確表示出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，在中，將折疊，使點(diǎn) B 恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)未知數(shù)利用勾股定理列方程求解即可．
【詳解】∵在中，
∴
∵將折疊，使點(diǎn) B 恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，
∴，
∴
設(shè)，則
∴在中，
即，解得
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列出方程．
8. 關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）
A. a＞﹣1且a≠0B. a＜1且a≠0C. a＜1D. a＞﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到一元二次方程根的判別式大于0，求出a的范圍即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，Δ=（-2）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞-1且a≠0．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，該圖由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為．若，大正方形面積為，則小正方形邊長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)直角三角形的面積和正方形的面積可建立關(guān)于的等量關(guān)系式，求解即可．
【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為，
∵每一個(gè)直角三角形的面積為：，
從圖形中可得，大正方形的面積是個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，且大正方形面積為，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等積變換，求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根的應(yīng)用．根據(jù)題意建立等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且BD＝2，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先確定DC′＝DP＋PC′＝DP＋CP的值最小，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算．
詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，延長(zhǎng)CM到C′，使MC′＝MC，連接DC′，交AB于P，連接CP，如圖：
此時(shí)DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最?。?br>∵∠ABC＝30°，
∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等邊三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根據(jù)勾股定理可得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了在三角形中的兩邊之和的最小值的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：利用等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)等量代換，再根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)距離最短，最后利用勾股定理建立等式求解．
二、填空題 (本大題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分)
11. 要使式子有意義，則應(yīng)滿(mǎn)足的條件是______
【答案】且##且
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件，分式的有意義的條件可知不等式組進(jìn)而即可解答．
【詳解】解：∵要使式子有意義，則必須有
，
解得：且，
∴要使式子有意義，則應(yīng)滿(mǎn)足的條件是且,
故答案為且．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的有意義的條件，分式的有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
12. 若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為4，則方程的另外一個(gè)根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義求出的值，然后解該一元二次方程即可獲得答案．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為4，
∴，解得，
∴，
解得，，
∴該方程的另外一個(gè)根是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的定義以及解一元二次方程，理解一元二次方程的根的定義是解題關(guān)鍵．
13. 2021年“房住不炒”第三次出現(xiàn)在政府報(bào)告中，明確了要穩(wěn)地價(jià)、穩(wěn)房?jī)r(jià)、穩(wěn)預(yù)期．為響應(yīng)中央“房住不炒”的基本政策，某房企業(yè)連續(xù)降價(jià)兩次后的平均價(jià)格是降價(jià)之前的，則平均每次降價(jià)的百分率為_(kāi)____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，利用經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格=原價(jià)平均每次降價(jià)的百分率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，
依題意得：，
解得：(不合題意，舍去)．
故答案為：．
14. 在中，，高，則的周長(zhǎng)是 _____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)高在的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)高在的外部時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)高在的內(nèi)部時(shí)，如圖，
在中，，
在中，，
∴，
此時(shí)的周長(zhǎng)是；
當(dāng)高在外部時(shí)，如圖，
在中，，
在中，，
∴，
此時(shí)的周長(zhǎng)是；
綜上所述，的周長(zhǎng)是或．
故答案為：或
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識(shí)，在解本題時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏解，同學(xué)們思考問(wèn)題一定要全面，有一定難度．
15. 如圖，，，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接，過(guò)點(diǎn)A作且，連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)____________．
【答案】
【解析】
【分析】題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，理解等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
在中由勾股定理求出的長(zhǎng)；連接，先證，再利用“”判定和全等，從而得出，進(jìn)而可得，然后在中由勾股定理即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：在中，，，
由勾股定理得：，
連接，如圖所示：
∵，為等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴為直角三角形，
∵，，
，
在中，，
由勾股定理得：．
故答案為：．
三、（本大題共2小題，每小題5分，滿(mǎn)分10分）
16. 計(jì)算：．
【答案】12
【解析】
【分析】先根據(jù)完全平方公式和二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
17. 解方程
【答案】，
【解析】
【分析】先將原方程化為一般形式，然后用公式法解方程即可．
【詳解】解：，
將原方程化為一般形式：
∵，
∴，
即，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式．
四、（本大題共3小題，每小題8分，滿(mǎn)分24分）
18. 觀察下列等式：
；；；
（1）寫(xiě)出式第個(gè)等式：______；
（2）寫(xiě)出第個(gè)等式，并證明．
【答案】（1）；
（2），證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】（1）觀察等式的規(guī)律即可得出答案；
（2）寫(xiě)出等式，將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開(kāi)，化簡(jiǎn)，根據(jù)即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
第個(gè)等式為：，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
，
證明：

．
【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為5的正方形．
（2）①在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為、2、，②求此三角形最長(zhǎng)邊上的高．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①見(jiàn)解析；②
【解析】
【分析】（1）先求出正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖形即可；
（2）①根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖形即可；
②求出三角形的面積，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
如圖1，正方形ABCD即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
①如圖2，△ABC即為所求．
②S△ABC＝，
∵，
∴AC邊上的高．
【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
20. 已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，，求m的值．
【答案】（1）m≤0 （2）m的值為-2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，然后解關(guān)于m的不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，利用整體代入的方法得到，然后解關(guān)于m的方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意得：，
解得，
∴m的取值范圍是m≤0．
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意得，，
∵，
∴，即，
解得，（舍去）．
故m值為-2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．
五、（本大題共1小題，滿(mǎn)分10分）
21. 2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛(ài)，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開(kāi)幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷(xiāo)售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元．
（1）商店老板計(jì)劃首月銷(xiāo)售330盒，經(jīng)過(guò)首月試銷(xiāo)售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價(jià)每增長(zhǎng)1元，月銷(xiāo)量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷(xiāo)量不低于270盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？
（2）實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，售價(jià)比（1）中的最高售價(jià)減少了2a元，月銷(xiāo)量比（1）中最低銷(xiāo)量270盒增加了60a盒，于是月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到了1650元，求a的值．
【答案】（1）每盒售價(jià)最高為15元；
（2）1．
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)每盒“冰墩墩”售價(jià)的為x元，
，
解得，
故每盒售價(jià)最高為15元．
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意可得方程：
，
，
，（舍去）
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出一元一次不等式和一元二次方程．
六、（本大題共1小題，滿(mǎn)分11分）
22. 若一個(gè)三角形存在兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形為直角三角形．現(xiàn)在，我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．例如圖1，在中，，則為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高．
特例感知
（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)“是”或者“不是” ）；
深入探究
（2）如圖2，已知為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
推廣應(yīng)用
（3）如圖3，等腰為勾股高三角形，其中，是邊上的高，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．若，試求線段的長(zhǎng)度．
【答案】（1）是；（2），證明詳見(jiàn)解析；（3）．
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，
（1）根據(jù)勾股高三角形的定義，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理，以及勾股高三角形的定義，可得，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)勾股高三角形的定義，可得，再證明，可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)可得，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，是等腰直角三角形，，

∵，且是邊上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案為：是；
（2），證明如下：
∵為勾股高三角形，是邊上的高，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，

∵為勾股高三角形，是邊上的高，，
∴，
由（2）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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