（清華附中高22級） 2024.4
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1.設集合，，則集合的元素的個數(shù)為（ ）
A.0B.1C.2D.3
2.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項和為，若，則等于（ ）
A.2B.3C.4D.5
3.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點坐標為，則復數(shù)等于（ ）
A.B.C.D.
4.設，若，則的值為（ ）
A.4B.6C.7D.8
5.已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（ ）
A.B.C.D.
6.若，，，，則，，的大小關系為（ ）
A.B.C.D.
7.已知拋物線的焦點為，準線為直線，橫坐標為3的點在拋物線上，過點作的垂線，垂足為，若，則等于（ ）
A.1B.2C.3D.4
8.已知的外接圓的半徑為1，，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.1
9.已知是公比為的等比數(shù)列.則“，恒成立”是“是的一個最值”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件
10.已知曲線，點在曲線上，給出下列四個結論：
①曲線關于直線對稱：
②當時，點不在直線上：
③當時，；
④當時，曲線所圍成的區(qū)域的面積大于.
其中所有正確結論的有（ ）
A.②③④B.①②③C.①②D.③④
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11.在正方體中，直線與平面所成的角的正弦值為______.
12.已知雙曲線，其焦點到漸近線的距離是其焦距的倍，則雙曲線的離心率為______.
13.已知函數(shù)，若，，使得，則正數(shù)的最小值為______.
14.設，函數(shù)
①若，則______；
②若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為______.
15.訓練師是一種新型的工作，通過向提問，能讓軟件更加準確地回答問題.訓練師需要和數(shù)據(jù)標注員緊密協(xié)作，把控好整個流程的輸入規(guī)則和輸出結果，最終輸出標注準確的數(shù)據(jù).通過訓練師每次提問后，軟件回答問題的正確率可能發(fā)生變化.某軟件初始回答問題的正確率記為，設第次訓練后，可將該軟件回答問題的正確率從改變?yōu)椋渲?，，，，，，…，給出下列四個結論：
①當，若，，時，該軟件無法通過訓練提高正確率；
②若，時，該軟件經(jīng)過第一次訓練提高了正確率：
③當，若，，時，該軟件經(jīng)過5次訓練后，正確率高于：
④當，若，時，該軟件無論怎么訓練，正確率都不高于.
其中，所有正確結論的序號是______.
三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
在中，.
（I）求的值；
（II）以下三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件，并求：
條件①：；
條件②：；
條件③：的面積為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分.
（17）（本小題13分）
如圖，在四棱錐中，，，，和都是等邊三角形，且.
（I）求證：平面；
（II）求平面與平面所成角的余弦值.
（18）（本小題14分）
為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區(qū)隨機調查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：
（I）記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從樣本中第1組和第2組中，任取2戶，求他們月均用電量都不低于的概率；
（II）從該地區(qū)全體居民中隨機抽取3戶，設月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以樣本的頻率估計總體的概率，求的分布列和數(shù)學期望；
（III）用圖中數(shù)據(jù)估計該地區(qū)全體用戶的月均用電量.有人估計該地區(qū)全體用戶的月均用電量低于.請分析這一估計是否正確，說明理由.
（19）（本小題15分）
已知橢圓過點，點是橢圓的右焦點，且.過點作兩條互相垂直的弦，.
（I）求橢圓的方程；
（II）若直線，的斜率都存在，設線段，的中點分別為，.求點到直線的距離的最大值.
（20）（本小題15分）
已知函數(shù)，其中.
（I）判斷曲線在處切線是否與軸平行；
（II）求的單調區(qū)間；
（III）若有兩個極值點，設極大值點為，且，判斷與2的大小關系，并說明理由.
（21）（本小題15分）
已知整數(shù)，集合，，，滿足，對任意的，都有且.記.
（I）若，寫出兩組滿足條件的集合，并寫出相應的；
（II）證明：；
（III）求的所有可能取值.
參考答案
一、
1-5CADBA6-10DBCAA
二、
11.12.13.
14.①2；②或得
15.①
②，不能確定
③，表示首項為，公比為的等比數(shù)列.則.
④，得，，
得.
當變大時，越來越趨近于0，，
則，得
16.解：（I）因為，
所以，即，
因為，所以.
（II）由（I）知，，由余弦定理知，，
所以，而條件①中，所以，
顯然不符合題意，即條件①錯誤；
由條件②，條件③，解得，
由余弦定理知，，所以，
由正弦定理知，，所以.
17.解：（I）法：1：取線段中點為.
由，為等邊三角形知，.
，平面.平面，.
，平面.
法2：求得，得，
得，得.
，平面.
（II）取線段的中點0，連接，則.由平面，知.
作交于.由，，則有，.
則，，兩兩垂直.如圖建立坐標系.
，，，.
，.
平面的一個法向量.
設平面的法向量，，，
則有，，即，令，得.
則.
由于平面與平面所成的角是銳角，則其余弦值為.
18.解：（I）由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，第1組的居民戶數(shù)為
，第2組的居民戶數(shù)為，
從第1組、第2組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300千瓦時的概率為；
（II）該地區(qū)月均用電量在千瓦時之間的用戶所占的頻率為.由題意可知，，；
；
；
，
所以的分布列為：
.
（III）這一推斷是不正確的.由于抽樣的數(shù)據(jù)具有隨機性，當總體的數(shù)據(jù)集中于區(qū)間的左端時，該地區(qū)全體用戶月均用電量為：
千瓦時.
所以這一結論是不正確的.
19.解：（1），，則橢圓的方程為.
（2），斜率均存在，設直線方程為：
，設，，
聯(lián)立：，消去得：
，，
，.
即，將上式中的換成，同理可得：，
①若直線斜率不存在，此時，解得：，直線過點；
②若直線?率存在，則，
直線為，得，
直線過點；綜上，直線恒過定點.
因為，故斜率不為0，設直線，，當時，.
20.解：（I），，，
所以曲線在處切線為，與軸平行.
（II）令，則或.
當時，時，，；時，，.
故，，所以單增區(qū)間為
當時，，則有
所以單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為.
當時，，則有
所以單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為.
（III）由知，則.
若有兩個極值點，則.
當時，，，則有，則.
當時，，即，又得則
設，.，令，得.
故，此時，.
所以當時，；當時，.
21.解：（I）（共6組，任寫2組即可）
，，.，，.
，，.，，.
，，.，，.
（II）若，則，而，，，…，，所以.，所以，，結論成立.
若，則由且，，…，互不相同的正整數(shù)，知，
由和知，所以，結論成立.
（III）設，則，，
兩個中，其中一個取等號，另一個不取等號，所以比中至少個數(shù)大，
因此，即，，…，，而，，…，兩兩不同，
所以，，…，恰好是，…，的一個排列.
再設，則，，…，，，，…，恰好是，…，的一個排列，所以，，…，是，…，的排列，故有：
.0
1
2
3
0
0
0
極大值
極小值
0
0
0
極大值
極小值
0
極大值

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