一、單選題
1．已知空間兩點(diǎn)，1，，，2，，下列選項(xiàng)中的與共線的是（ ）
A．，0，B．，1，C．，，D．，2，
【答案】D
【分析】由題得，1，，再利用空間向量共線定理判斷得解.
【詳解】解：由點(diǎn)，1，，，2，，
所以，1，，
對(duì)于A，，0，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于B，，1，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于C，，，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于D，，2，，滿足，所以與共線．
故選：D
2．已知直線，直線和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析可得答案.
【詳解】對(duì)于A，若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，過作平面，使得，則，
因?yàn)?，，則，又，則，故C正確；

對(duì)于D，若，，則或或與相交，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．若數(shù)組，1，和，，滿足，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題得，1，，1，，化簡(jiǎn)解方程即得解.
【詳解】解：，
，1，，1，，
，解得．
故選：C．
4．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（ ）
A．B．
C．D．.
【答案】C
【分析】推導(dǎo)出共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C正確，ABD選項(xiàng)向量均不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
【詳解】是空間的一個(gè)基底，故不共面，
A選項(xiàng)，顯然不共面，故可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，
則，無解，
故不共面，故可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，
則，解得，
故共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)，無解，故可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.
故選：C
5．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由空間向量基本定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，，
所以.
故選：B
6．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，現(xiàn)有下列命題：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷作答.
【詳解】因AB為圓O的直徑，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則，又平面，有為銳角，平面，
于是得，又，平面，從而得平面，平面，有，①②④正確；
假定，又，，必有平面，與為的銳角矛盾，③不正確，
所以真命題的個(gè)數(shù)是3.
故選：C
7．已知是兩個(gè)不同的平面，的一個(gè)充要條件是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線平行于
B．存在平面
C．存在平面，且
D．存在直線
【答案】D
【分析】通過舉反例說明A，B，C錯(cuò)誤，根據(jù)線面垂直證明面面平行即可判斷D正確．
【詳解】對(duì)于A，由于內(nèi)有無數(shù)條直線平行于，不一定得到，與也可能相交，如圖所示，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若存在平面，不一定得到，與也可能相交，如圖所示，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，存在平面，且，不一定得到，與也可能相交，如圖所示，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，存在直線，由垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行，可得，故D正確；
故選：D．
8．已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】B
【分析】利用向量模的坐標(biāo)公式求出，即可得到答案.
【詳解】，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：B
9．已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】D
【分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.
【詳解】四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，
則，
因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，
，
所以.
故選：D
10．以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：
①：
②是等邊三角形；
③三棱錐是正三棱錐；
④平面平面．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)判斷①，設(shè)，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可判斷②③，取的中點(diǎn)，連接，，求出二面角的大小即可判斷④，進(jìn)而得出答案．
【詳解】由題意知，，，又平面平面，平面平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?，故①正確；
由①知，
設(shè)，
因?yàn)闉榈妊苯侨切涡边吷系母撸?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，即為等邊三角形，故②③正確；
取的中點(diǎn)，連接，，
則，，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，且?br>所以是二面角的平面角，
由余弦定理得，
所以二面角不為，
即平面與平面不垂直，故④錯(cuò)誤；
所以正確的有3個(gè)，
故選：B．
二、填空題
11．已知點(diǎn)都在直線上，寫出一個(gè)直線的法向量： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】寫出，設(shè)，得到，故可寫出直線的一個(gè)法向量.
【詳解】，設(shè)，
則，
不妨設(shè)，則，故直線的一個(gè)法向量為.
故答案為：
12．直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量為，，，則、、的值依次為 .
【答案】、、
【分析】依題意可得、，即可求出、、的值.
【詳解】因?yàn)椋本€的方向向量為，直線的方向向量為，
所以，則，即，解得，
因?yàn)?，直線的方向向量為，平面的法向量為，
所以，所以，即，所以，解得，
則、、的值依次為、、.
故答案為：、、
13．在如圖所示的正方體中，垂直于平面的平面有 .（寫出兩個(gè)，多寫不加分，寫錯(cuò)扣分）
【答案】平面，平面（答案不唯一）
【分析】證明出線面垂直，得到面面垂直，得到答案.
【詳解】連接，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危浴停?br>因?yàn)椤推矫?，平面?br>所以⊥，
因?yàn)?，平面?br>所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面⊥平面，
同理平面，
所以平面⊥平面，
故垂直于平面的平面有平面，平面
故答案為：平面，平面(答案不唯一)
14．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為 .

【答案】
【詳解】設(shè)球的半徑為r,
則,
，
，
所以，
故答案為.
【解析】圓柱，圓錐，球的體積公式.
點(diǎn)評(píng)：圓柱，圓錐，球的體積公式分別為.
15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；
②直線到平面的距離是；
③存在點(diǎn)，使得；
④面積的最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】①③④
【分析】對(duì)于①，直線與的延長(zhǎng)線分別交于,連接分別交于,連接即可解決；對(duì)于②等體積法解決即可；對(duì)于③④，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得即可.
【詳解】對(duì)于①，如圖直線與的延長(zhǎng)線分別交于,連接分別交于,連接，
則五邊形即為所求的截面圖形，故①正確；
對(duì)于②，由題知，平面，平面，
所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由正方體的棱長(zhǎng)為2可得，
，，
所以，
，
所以由，可得，
所以直線到平面的距離是，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
假設(shè)存在點(diǎn)使得，
所以，
整理得，
所以（舍去），或，
所以存在點(diǎn)使得，故③正確；
對(duì)于④，由③知，
所以點(diǎn)在的射影為，
所以點(diǎn)到的距離為
，
當(dāng)時(shí)，，
所以面積的最小值是，故④正確；
故答案為：①③④
三、解答題
16．已知向量．
(1)求；
(2)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）先表示出，再根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零列出方程求解即可．
【詳解】（1）由已知得，，
所以．
（2）由已知得，，
因?yàn)椋?br>所以，解得．
17．如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：∥平面;
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則由三角形中位線定理得∥，∥，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得∥，則∥平面，由理∥平面，從而可證得平面∥平面，進(jìn)而可證得結(jié)論；
（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結(jié)合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論.
【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
，分別是和的中點(diǎn)，∥，∥．
又四邊形為正方形，
∥，從而∥．
平面，平面，
∥平面，
同理∥平面，又，平面，
平面∥平面，
平面，則∥平面;

（2）為正方形，．
又平面平面，且平面平面，面，
平面，
∵平面，∴，
設(shè)，，
，
∴，∴．
又，，平面，
平面，而平面，
∴平面平面．
四、未知
18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求平面與平面所成二面角D（銳角）的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求出，即可證明結(jié)論；
（2）求出平面與平面的法向量，即可求出兩平面所成二面角D（銳角）的余弦值.
【詳解】（1）由題意，
在正方形中，,
在四棱錐中，平面，
∵，面，面，，
∴，
∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
設(shè)，
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
則,
,
∴,
∴，
∴.
（2）由題意及（1）得，，
在面中，設(shè)法向量為，
即，解得：，
當(dāng)時(shí)，，
在面中，其一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成二面角D（銳角）為，
.
五、解答題
19．如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）參考解析；（2）
【詳解】試題分析：（1）直線與平面垂直的證明，對(duì)于理科生來說主要是以建立空間直角坐標(biāo)系為主要方法，所以根據(jù)題意建立坐標(biāo)系后，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)向量證明向量與平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量的數(shù)量積為零即可.
（2）證明直線與平面所成的角的正弦值，主要是通過求出平面的法向量與該直線的夾角的余弦值，再通過兩角的互余關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦值.
試題解析：（1）證明:因?yàn)槭侵比庵?br>所以，
又，
即.
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,，
所以 ，，
.
又因?yàn)?，，
所以 ，，平面.
（2）解：由（1）知，是平面的法向量，
，
則 .
設(shè)直線與平面所成的角為， 則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【解析】1.線面垂直.2.線面所成的角.3.空間直角坐標(biāo)系的解決線面問題.
20．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若，二面角的大小為，再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.求的長(zhǎng).
條件①：；條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)證明見解析
(2)12
【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；
（2）由題意可建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)分別求出平面和平面的法向量，由二面角公式代入解方程即可求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng).
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.

在中，分別為的中點(diǎn)，所以.
在菱形中，因?yàn)椋?br>所以.
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）選擇條件①：
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以.
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，又平面，
所以，
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

連接，因?yàn)?，所以，又為中點(diǎn)，所以，
所以為正三角形.因?yàn)椋?
設(shè)，
則，
根據(jù)條件，可得平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
取，則，所以，
由題意，二面角的大小為，
所以，解得（舍負(fù)）.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長(zhǎng)為12.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
選擇條件②：
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以.
連接，因?yàn)?，且?br>所以，在菱形中，，即為正三角形.
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

又因?yàn)?
因?yàn)闉檎切吻?，所?
設(shè)，
則，
根據(jù)條件，可得平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
取，則，所以，
由題意，二面角的大小為，
所以，解得（舍負(fù)）.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長(zhǎng)為12.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
21．記所有非零向量構(gòu)成的集合為，對(duì)于，定義，
(1)若，求出集合中的三個(gè)元素；
(2)若，其中，求證：一定存在實(shí)數(shù)，且，使得.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)集合新定義設(shè)，列式化簡(jiǎn)可得，即可得答案；
（2）先證明中向量都是共線向量，設(shè)，根據(jù)集合新定義推出，，可得，結(jié)合為共線向量，推得，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，由得，
即，不妨令n取1，2，3，則m取3，6，9，
故中的三個(gè)元素為；
（2）先證明中向量都是共線向量，
不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以中至少有一個(gè)不為0，
若，記，
顯然，即，故，
任取，因?yàn)?，所以?br>故，則，
故，則，則問題得證；
若，同理可證明，其中；
故綜合上述中向量都是共線向量，
因?yàn)?，所以不妨設(shè)，
則由定義知，即，同理，
故，則，
同理可得，故為共線向量，
即存在實(shí)數(shù)，使，即，
因?yàn)椋?，所以?br>記，則，
即一定存在實(shí)數(shù)，且，使得.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了集合的新定義問題，解答時(shí)要注意理解新定義，并能根據(jù)該定義去解決問題，難點(diǎn)在于第二問的證明，解答時(shí)要首先證明中向量都是共線向量，然后推出，結(jié)合為共線向量，推得，即可證明結(jié)論.

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