湖南省岳陽市臨湘市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題．（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下面的圖形中，是中心對稱圖形的是（）
A. 等邊三角形B. 平行四邊形C. 直角三角形D. 等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【詳解】解：A、等邊三角形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、平行四邊形是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、直角三角形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、等腰梯形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B
2. 直角三角形的斜邊長為10，則斜邊上的中線長為（）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得．
【詳解】解：直角三角形的斜邊長為10，
斜邊上的中線長為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．
3. 滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的是（）
A. AB，BC＝4，AC＝5B. AB：BC：AC＝3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5D. ∠A∠B∠C
【答案】C
【解析】
【分析】依據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A．∵52+42＝25+16＝41＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不合題意；
B．∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不合題意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C180°＝75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，符合題意；
D．∵∠A∠B∠C，
∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴△ABC是直角三角形，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
4. 關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是（）
A. 若AB⊥BC，則?ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，則?ABCD是正方形
C. 若AC=BD，則?ABCD是矩形D. 若AB=AD，則?ABCD是正方形
【答案】C
【解析】
【詳解】解：A、若AB⊥BC，則?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、若AC⊥BD，則?ABCD是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、若AC=BD，則?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、若AB=AD，則?ABCD是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C
5. 如圖，在中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)，即可．
【詳解】∵在中，
∴，，
∵AD//BC，
∴，
無法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正確，D錯(cuò)誤，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對邊互相平行且相等，對角線互相平分，是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，分別以線段AB的兩端點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點(diǎn)O．在直線EF上任取一點(diǎn)P（不與O重合），連接PA，PB，則下列結(jié)論不一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依據(jù)分別以線段AB的兩端點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交AB于點(diǎn)O，即可得到EF垂直平分AB，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】由作圖可知，EF垂直平分AB，
，故A選項(xiàng)正確；
，故B選項(xiàng)正確；
，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故D選項(xiàng)正確，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查不基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解決問題．
7. 如圖，矩形中，交于點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．若，則的長為（）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知，即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是矩形，交于點(diǎn)，，
，
，即，
，
分別為的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，解題的關(guān)鍵是找到線段間的倍分關(guān)系．
8. 如圖所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，則△DEB的周長為（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先利用“角角邊”證明△ACD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC＝AE，CD＝DE，然后求出BD+DE＝AE，進(jìn)而可得△DEB的周長．
【詳解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE，
BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，
∴△DEB的周長為8．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ACD≌△AED．
9. 如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】過D點(diǎn)作于G點(diǎn)，通過，DE⊥DF，可得，進(jìn)而有，，即可得，易證得，即可求解．
【詳解】解：過D點(diǎn)作于G點(diǎn)，如圖，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，，
在中，有，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行的相關(guān)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)等知識，利用角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易得第二個(gè)矩形的面積為（）2，第三個(gè)矩形的面積為（）4，依此類推，第n個(gè)矩形的面積為（）2n-2．
【詳解】已知第一個(gè)矩形的面積為1；
第二個(gè)矩形的面積為原來的（）2×2-2=；
第三個(gè)矩形的面積是（）2×3-2=；
…
故第n個(gè)矩形的面積為：= ．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理及矩形、菱形的性質(zhì)，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．
二、填空題．（本題共8小題，每小題3分，滿分24分）
11. 在中，，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】Rt△ABC 中，∠A與∠B互余，∠A=50°，則∠B=90°-∠A=40°．
【詳解】解：在Rt△ABC 中，，
∵∠A與∠B互余，
∴∠B=90°-∠A=40°，
故答案為：40°
【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形中兩銳角互余，熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，禁令標(biāo)志是交通標(biāo)志中的一種，是對車輛加以禁止或限制的標(biāo)志，如禁止通行、禁止停車、禁止左轉(zhuǎn)彎、禁止鳴喇叭、限制速度、限制重量等．如圖，該禁令標(biāo)志的內(nèi)角和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)公式可得到正多邊形的內(nèi)角和，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖可得，該標(biāo)志為正八邊形，
即，
故答案為：．
13. 在中，若，則的度數(shù)為______度．
【答案】65
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形鄰角互補(bǔ)求解即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案為：．
14. 如圖，，要根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是________.
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“”所需要的條件即可得到答案．
【詳解】解：和有一條公共直角邊，
根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是．
故答案為：．
15. 如圖，在平行四邊形中，，，，則的長為________．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、用勾股定理解三角形，先根據(jù)已知條件得到的各個(gè)邊長，滿足勾股定理，即為直角三角形，即可得到，即可得到結(jié)果，得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵在平行四邊形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案為：5．
16. 矩形的一條對角線長為，兩條對角線組成的對頂角中，有一組是，則矩形的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由兩條對角線相交所成的鈍角為，證得是等邊三角形，即可求得的長，然后由勾股定理求得，最后求這個(gè)矩形的面積即可．
【詳解】解：如圖，矩形中，，

∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
17. 如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_____°．
【答案】135
【解析】
【分析】由正方形性質(zhì)可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案為：135．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
18. 如圖：是邊長為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)t為________時(shí)，是直角三角形．
【答案】1或2##2或1
【解析】
【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵；分兩種情況：；．然后在直角三角形中根據(jù)的表達(dá)式和的度數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：在，
根據(jù)題意得：，，
若是直角三角形，則或，
當(dāng)時(shí)，，
即，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴．
∴當(dāng)或時(shí)，是直角三角形．
故答案為：1或2．
三、解答題．（本題共8小題，滿分66分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19. 已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和的4倍還多，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【答案】11
【解析】
【分析】考查了多邊形內(nèi)角與外角，任何多邊形的外角和都是360度，不隨邊數(shù)的變化而變化．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意得，解方程即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意得，
，
，
，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是11．
20. 如圖連接四邊形的對角線，已知，，，，．

（1）求證：是直角三角形；
（2）求四邊形面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再利用勾股定理的逆定理證明即可；
（2）利用四邊形的面積是兩個(gè)三角形的面積之和求解即可．
【小問1詳解】
證明：，，，
，
，，
，
是直角三角形，；
【小問2詳解】
解：由（1）知，，，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和勾股定理逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答．
21. 如圖，是的中位線，延長至點(diǎn) ，使，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）若，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）見解析（2）為直角三角形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理求出，可得，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【小問1詳解】
證明：是的中位線，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：為直角三角形；
理由：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是的中位線，
．
，
∴，，
∵，
∴，即，
為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，把邊長為的等邊三角形繞邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到．
（1）四邊形是什么樣的四邊形？說明理由．
（2）求四邊形兩條對角線的長度．
（3）求四邊形的面積．
【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析
（2），．
（3）
【解析】
【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理．
（1）直接利用中心對稱的性質(zhì)，結(jié)合菱形的判定方法得出答案；
（2）直接利用中心對稱的性質(zhì)利用勾股定理得出答案；
（3）直接利用菱形面積對角線乘積的一半得出答案．
【小問1詳解】
解：四邊形是菱形，
理由：把邊長為的等邊繞邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，
，
，
四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：把邊長為的等邊繞邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
，
，
四邊形的兩條對角線的長度分別為和；
【小問3詳解】
解：四邊形的面積為：．
23. 如圖，一艘輪船航行到B處時(shí)，測得小島A在船的北偏東60°的方向，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行20海里到達(dá)C處時(shí)，測得小島A在船的北偏東30°的方向.(參考數(shù)據(jù)：≈1.732.)
(1)若小島A到這艘輪船航行路線BC的距離是AD，求AD的長；
(2)已知在小島周圍17海里內(nèi)有暗礁，若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，試問輪船有無觸礁的危險(xiǎn)?
【答案】（1）AD≈17.32（海里）；（2）輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，輪船無觸礁的危險(xiǎn)．
【解析】
【分析】（1）如圖，直角△ACD和直角△ABD有公共邊AD，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用AD表示出CD與BD，根據(jù)CB＝BD﹣CD即可列方程，從而求得AD的長；（2）利用（1）中所求，與17海里比較，確定輪船繼續(xù)向前行駛，有無觸礁危險(xiǎn)．
【詳解】（1）如圖所示．
則有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝20海里．在Rt△ACD中，設(shè)CD＝x海里，
則AC＝2x，AD＝x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，
BD＝＝3x，
又∵BD＝BC+CD，
∴3x＝20+x，
∴x＝10．
∴AD＝x＝10≈17.32（海里）；
（2）∵17.32海里＞17海里，
∴輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，輪船無觸礁的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、直角三角形的計(jì)算，一般的三角形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計(jì)算，計(jì)算時(shí)首先計(jì)算直角三角形的公共邊是常用的思路．
24. 如圖，是的角平分線，、分別是和的高．
（1）求證：垂直平分；
（2）若，，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）先利用角平分線的性質(zhì)得，利用“”證明得到，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定方法即可得到結(jié)論．
（2）先利用三角形面積和可求得的長，根據(jù)（1）中的全等可得，可得的長．
【詳解】（1）∵是的角平分線，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴垂直平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了直角三角形全等的判定方法、線段垂直平分線的判定、直角三角形30°角的性質(zhì)．
25. 如圖，中，點(diǎn)O為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線，設(shè)交的外角平分線于點(diǎn)F，交內(nèi)角平分線于E．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論；
（3）若邊上存在點(diǎn)O，使四邊形是正方形，猜想的形狀并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）見解析（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形；理由見解析
（3）是直角三角形，且時(shí)，四邊形是正方形；證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)，可得四邊形平行四邊形，再證明利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性質(zhì)得出，再利用平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案；
【小問1詳解】
證明：∵交的平分線于點(diǎn) E，交的外角平分線于點(diǎn)F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
【小問2詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)O在邊運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形．
證明：當(dāng)O為的中點(diǎn)時(shí)，，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，
∴四邊形是矩形．
【小問3詳解】
解：是直角三角形，且時(shí)，四邊形是正方形．
理由：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判斷和矩形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，需要知道平行線的特征和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 【問題呈現(xiàn)】
如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)、（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【問題初探】
（1）愛動(dòng)腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過證明兩個(gè)三角形全等，可以得到結(jié)論．請你寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【問題引申】
（2）如圖2，將圖1中的正方形改為的菱形，，其他條件不變，請你幫小悅得出此時(shí)線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；
【問題解決】
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)菱形的邊長為8，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至與A點(diǎn)距離恰好為7的位置，且旋轉(zhuǎn)至?xí)r，的長度為．
【答案】（1），見解析；（2）；（3）4或2
【解析】
【分析】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形及菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與線段之間的等量關(guān)系．
（1）利用正方形性質(zhì)得出角與線段的關(guān)系，易證得，可得出，即可得出結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)，連接，利用菱形的性質(zhì)，可得出是等邊三角形，易證，得出，由，即可得出；
（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作于，連接，作交于．解直角三角形求出，，可得結(jié)論．如圖中，當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，同法可求．
【詳解】解：（1）結(jié)論：．
理由：如圖1中，
正方形對角線，交于點(diǎn)，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）（1）中的結(jié)論變?yōu)?，理由如下?br>如圖2中，取的中點(diǎn)，連接，
四邊形為的菱形，
，，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作于，連接，作交于．
是等邊三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
．
如圖中，當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，同法可得，，
，
綜上所述，滿足條件的的值為4或2．
故答案為：4或2．

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