一、選擇題
1. “，且”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若，且，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得，且，即必要性成立；
當(dāng)，滿足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分條件.
故選：B
2. 復(fù)數(shù)的實(shí)部為（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】由，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部為3，
故選：.
3. 2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時(shí)間長?譜系完整，是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時(shí)間近4000年的中心性聚落.對認(rèn)識多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價(jià)值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在對該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘，現(xiàn)安排包含甲?乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4個(gè)區(qū)域做考古志愿者，每人去1個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域至少安排1個(gè)人，則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為（ ）
A. 96B. 144C. 240D. 360
【答案】C
【解析】先將6名同學(xué)分成4組，則4個(gè)組的人數(shù)為或，
當(dāng)甲?乙在2人組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法；
當(dāng)甲?乙在3人組，甲?乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組，有種分組方法，
再把4組人分到4個(gè)區(qū)域，所以安排方法種數(shù)為.
故選：C.
4. 若正四面體的棱長為，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，
在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．
在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．
當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．
作，垂足為N，，
為三棱錐的高．
由正四面體的棱長為，易知，
所以，，．
由，設(shè)，則，．
由，得，解得．
．．
故選：A
5. 假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，即求使取最小值時(shí)的的值，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?br>，
上式是關(guān)于的二次函數(shù)，
因此要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐?
故選：A.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以，
令，求導(dǎo)可得，
當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故選：B.
7. 已知圓：，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則，
由，
因直線經(jīng)過點(diǎn)，考慮臨界情況，
當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（此時(shí)），弦長最小，此時(shí)最長，
為，（但此時(shí)直線與軸平行，點(diǎn)不存在）；
當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，最短為0（此時(shí)符合題意）.
故的范圍為.
故選：D
8. 設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
從而，即，
所以，所以，
所以的面積為
，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
綜上所述，面積的最大值為4.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題
9. 指示函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個(gè)條件的成立情況.已知為全集且元素個(gè)數(shù)有限,對于的任意一個(gè)子集,定義集合的指示函數(shù)若，則（ ）
注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】對于A，由于,所以
故，故A錯(cuò)誤，
對于B，若,則，此時(shí)滿足，
若且時(shí)，，
若且時(shí)，，
若且時(shí)，，
綜上可得，故B正確，
對于C，
而，
由于，所以
故,C正確，
,
當(dāng)時(shí)，此時(shí)中至少一個(gè)為1，所以，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)均為0，所以，
故,故D正確，
故選：BCD
10. 已知圓，圓，則（ ）
A. 兩圓的圓心距的最小值為1
B. 若圓與圓相切，則
C. 若圓與圓恰有兩條公切線，則
D. 若圓與圓相交，則公共弦長的最大值為2
【答案】AD
【解析】根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑．
對于A，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；
對于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．
兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．
綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；
對于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，
即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；
對于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長等于，達(dá)到最大值，
因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長的最大值為2，故D項(xiàng)正確．
故選：AD．
11. 已知集合，集合，若有且僅有3個(gè)不同元素，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】由，解得，
故，
由，可得，
，
要使有且僅有3個(gè)不同元素，則，解得，
故選：AB．
三、填空題
12. 在四邊形中，，點(diǎn)是四邊形所在平面上一點(diǎn)，滿足.設(shè)分別為四邊形與的面積，則______.
【答案】
【解析】在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，
記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，顯然，
于是點(diǎn)M，X，Y，N順次共線并且，
顯然，，而，則，
因此點(diǎn)P在線段XY上，且，設(shè)A到MN的距離為h，
由面積公式可知．
故答案為：
13. 若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為__________.
【答案】
【解析】由題意得，，
令，則，
易知單調(diào)遞增，所以.
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以，得.
所以的最大值為.故答案為：
14. 四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為________．
【答案】．
【解析】依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，
交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以?br>又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
所以為平面的一個(gè)法向量，
如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點(diǎn)，所求線面角為，
，
則，，，
由可得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，，∴．
故答案為：.

另解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點(diǎn)，連接，
交點(diǎn)為Q，因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br>又平面，且平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
即面，若平面，則與平面所成的角為.
若過B的直線l與平面相交于點(diǎn)R，
在平面中，過B作直線，與平面相交于點(diǎn)為S，
因?yàn)槊?，且平面，所以?br>又，，且，平面，
所以平面，
故過且與垂直的直線與平面的交點(diǎn)的軌跡為直線，
又平面，所以，又，且，
所以平面，又平面，所以，
又面，所以為在面內(nèi)的射影，
即為直線l與平面所成的角，且，
又，而，
當(dāng)且僅當(dāng)重合等號成立，故，
綜上，，∴．
故答案為：.

四、解答題
15. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．
解：（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以切線斜率為，
故切線方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
令，，
恒成立，則恒成立，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．
綜上所述，，所以的取值范圍為．
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.
（1）求角；
（2）射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.
解：（1），
由正弦定理得，
則，
即
則，
且，，；
（2）由和，可知，
因，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，即，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，
所以，所以的面積的最小值為.
17. 某汽車廠商生產(chǎn)某型號具有自動(dòng)駕駛功能的汽車，該型號汽車配備兩個(gè)相互獨(dú)立的自動(dòng)駕駛系統(tǒng)（記為系統(tǒng)和系統(tǒng)），該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后，先啟動(dòng)這兩個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中的一個(gè)，若一個(gè)出現(xiàn)故障則自動(dòng)切換到另一個(gè)系統(tǒng).為了確定先啟動(dòng)哪一個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對系統(tǒng)和分別進(jìn)行測試試驗(yàn)，一輪的測試結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個(gè)系統(tǒng)少2次時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若系統(tǒng)不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得1分，系統(tǒng)得-1分；若系統(tǒng)出現(xiàn)故障且系統(tǒng)不出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得-1分，系統(tǒng)得1分；若兩個(gè)系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩個(gè)系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率分別記為和，一輪試驗(yàn)中系的得分為分.
（1）求的分布列；
（2）若系統(tǒng)和在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予2分，表示“系統(tǒng)的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為系統(tǒng)比系統(tǒng)更穩(wěn)定”的概率，則，，其中.現(xiàn)根據(jù)的值來決定該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)哪個(gè)系統(tǒng)，若，則先啟動(dòng)系統(tǒng)；若，則先啟動(dòng)系統(tǒng)；若，則隨機(jī)啟動(dòng)兩個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)，且先啟動(dòng)系統(tǒng)的概率為.
①證明：；
②若，由①可求得，求該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率.
解：（1）的所有可能取值為.
，
，
所以的分布列為
（2）①由題意，
得，所以
所以，又，
所以
所以
，
所以，
②記“該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)”為事件，“該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)系統(tǒng)”為事件，
因，
所以由題意，得，
，
所以
，
即該型號汽車啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率為0.9988.
18. 雙曲線的焦點(diǎn)為（在下方），虛軸的右端點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)（在第一象限），與直線交于點(diǎn)，記的周長為的周長為．
（1）若的一條漸近線為，求的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，設(shè)為常數(shù)．若為定值，求的最大值．
解：（1）依題意，
，解得，又雙曲線的一條漸近線為，則，即，所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，則雙曲線方程為，設(shè)，
過的直線的方程為，即，令，顯然，
由消去y得，顯然，
由直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，得，
化簡得，代入得，
由直線與雙曲線相切，得，而，于是，
過點(diǎn)T且與垂直的直線的直線斜率為，方程為，
令，得，即，
令，得，即，
設(shè)，由，得，即，
代入得，
依題意，該雙曲線與雙曲線共焦點(diǎn)，則，
化簡得，于是，
，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，所以的最大值為1.
19. 人類對地球形狀的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷程．古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測量所證實(shí)．其實(shí)，之前中國就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測量，發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長越長的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符．地球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面，這說明橢球完全包含在由平面所圍成的長方體內(nèi)，其中按其大小，分別稱為橢球的長半軸、中半軸和短半軸．某橢球面與坐標(biāo)面的截痕是橢圓.
（1）已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為．過橢圓的左焦點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．
（2）我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．當(dāng)時(shí)，橢球面圍成的橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法，運(yùn)用祖暅原理求該橢球的體積．
解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．
當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)兩切線平行無交點(diǎn)，不符合題意，所以直線傾斜角不為,
設(shè)直線,
由,得，
則，
所以
,
又橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，
由，得，
代入，得，所以，
則點(diǎn)到直線的距離，
所以，
設(shè)，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，的面積最小，最小值是；
（2）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長半軸長為，短半軸長為1，
橢球由橢圓及其內(nèi)部繞軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體，
構(gòu)造一個(gè)底面半徑為1，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，
圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體，
當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點(diǎn)距離為時(shí)，設(shè)小圓錐底面半徑為，
則，即，所以新幾何體的截面面積為，
把代入，得，解得，
所以半橢球的截面面積為，
由祖暅原理，得橢球的體積.
-1
0
1

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