第Ⅰ卷的注釋
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(共8題；共40分)
1. 已知集合 ， 則（ ）
A . B . C . D .
2. 若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ， 則（ ）
A . B . C . D .
3. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列，則為（ ）
A . 245 B . 244 C . 242 D . 241
4. 洪崖洞是具有重慶特色的吊腳樓式建筑，它的屋頂可近似看作一個多面體，右圖是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，和是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角 ， ， 則該屋頂?shù)膫?cè)面積為（ ）

A . 80 B . C . 160 D .
5. 數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為 ， 若以原點(diǎn)為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為 ， 直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（ ）
A . B . C . D .
6. 在不等式組所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到此三角形的三個頂點(diǎn)的距離均大于1的概率是（ ）
A . B . C . D .
7. 已知與都是非零有理數(shù)，則在 ， ， 中，一定是有理數(shù)的有（ ）個.
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
8. 定義 ， 對于任意實(shí)數(shù) ， 則的值是（ ）
A . B . C . D .
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。(共3題；共18分)
9. 已知 ， ， 且 ， 則（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， ， 則（ ）
A . 函數(shù)在上的最大值為3 B . ， C . 函數(shù)在上沒有零點(diǎn) D . 函數(shù)的極值點(diǎn)有2個
11. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ， 左、右頂點(diǎn)分別為 ， ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線的右支于 ， 兩點(diǎn)（不同于右頂點(diǎn)），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于 ， 兩點(diǎn)，則（ ）
A . 為定值 B . C . 點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和的最小值為 D . 不存在直線使
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。(共3題；共15分)
12. 已知正三角形的邊長為2，點(diǎn)滿足 ， 且 ， ， ， 則的取值范圍是.
13. (2024高三下·武漢模擬) 從教學(xué)樓一樓到二樓共有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級， ， 第11級），學(xué)生甲一步能上1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是．
14. 若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(共5題；共77分)
15. (2024高二下·潮陽期中) 如圖，在圓錐DO中，D為圓錐頂點(diǎn)，AB為圓錐底面的直徑，O為底面圓的圓心，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形OAED為矩形．
（1） 求證：平面BCD⊥平面ACE；
（2） 若 ， ， ， 求平面ADE和平面CDE夾角的余弦值
16. 已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).
（1） 求函數(shù)的表達(dá)式；
（2） 對任意實(shí)數(shù) ， 不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
17. 三峽之巔景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．
（1） 若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．
（2） 記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A ， 否則該組標(biāo)為B ， 記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p ．
（i）試用含m的代數(shù)式表示p；
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．
18. 已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為 ， 直線的斜率為 ， 直線與橢圓交于另一點(diǎn) ， 且點(diǎn)到軸的距離為 ．
（1） 求橢圓的方程．
（2） 若點(diǎn)是上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn) ．
①設(shè)直線的斜率分別為 ， 求的取值范圍．
②判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．
19. 重慶江北國際機(jī)場T3B航站樓預(yù)計于今年完工，該建筑的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段 ， 其弧長為 ， 當(dāng)動點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動到B點(diǎn)時，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點(diǎn)的切線 ， 記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A ， 即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義曲線在點(diǎn)處的曲率計算公式為 ， 其中 ．

（1） 求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；
（2） 已知函數(shù) ， 求曲線的曲率的最大值；
（3） 已知函數(shù) ， 若曲率為0時x的最小值分別為 ， 求證： ．
難度系數(shù)：0.55
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。
9 10 11
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12 13 14
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15 16 17 18 19
第Ⅱ卷

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