一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 關(guān)于的不等式的解集為空集，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合判別式求得的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，解集為空集，符合題意.
當(dāng)時(shí)，不等式的解集不是空集，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集為空集，
則需，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：C
2. 若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及分段函數(shù)分段處理的原則，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則需滿(mǎn)足，解得，
所以實(shí)數(shù)的范圍為，
所以滿(mǎn)足范圍的選項(xiàng)是選項(xiàng)B.
故選：B．
3. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和中間值比較大小即可.
【詳解】由，則，
由，，則，
由，則.
則.
故選：C
4. 在中，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)積化和差、和差化積公式化簡(jiǎn)，利用輔助角公式求函數(shù)的最值.
詳解】，
，
,
，（其中），
，
，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
的最大值為.
故選：A
5. 在中，，的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D．若，則（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由角平分線(xiàn)定理求得，然后由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可用表示出，從而求得，得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕?br>又是的平分線(xiàn)，所以，，
，
又，所以，
所以．
故選：B．
6. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出輔助線(xiàn)，得到P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，求出軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】直線(xiàn)BP與下底面ABCD所成角等于直線(xiàn)BP與上底面所成角，
連接，因?yàn)椤推矫?，平面?br>所以⊥，故為直線(xiàn)BP與上底面所成角，
則，
因?yàn)?，所以?br>故點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，
故軌跡長(zhǎng)度為.

故選：B
7. 某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全排列與插空法分別求得所需要考試順序種類(lèi)，再利用古典概型即可得解.
【詳解】這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序有種，
先安排語(yǔ)文、政治形成3個(gè)空隙，再將數(shù)學(xué)、物理插入到其中2個(gè)空隙中，
則物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的考試順序共有種，
所以所求概率為.
故選：B.
8. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 28B. 27C. 26D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】解：在等差數(shù)列中，滿(mǎn)足，
所以，
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A. 集合和表示同一個(gè)集合
B. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
C. 若，，則
D. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)
【答案】BC
【解析】
【分析】通過(guò)集合元素不一致判斷A；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B；利用對(duì)數(shù)換底公式判斷C；利用奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的解析式求法判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，集合中元素為數(shù)，集合為點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)解得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，所以C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10. 已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
C. 將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得圖象
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷；根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷；根據(jù)函數(shù)左右平移原則“左加右減”即可判斷；根據(jù)兩角差的正弦可判斷.
【詳解】因?yàn)?，故錯(cuò)誤；
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，得，，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故正確；
由題意知，所將圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得，故正確；
因?yàn)椋?，所以，所以?br>因?yàn)椋?，故正確.
故選：.
11. 正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線(xiàn)與，相交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律結(jié)合正方體的性質(zhì)即得.
【詳解】方法一：，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤；
方法二：
，故A正確；
由正方體的性質(zhì)可知，，，
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：AC．
12. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根據(jù)已知條件，確定公比的取值范圍，然后根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性逐一進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A項(xiàng)，且，而和異號(hào).
由于知，，即，，，故A項(xiàng)正確；
B項(xiàng)，從前面的求解過(guò)程知，，說(shuō)明是單調(diào)遞減的正項(xiàng)等比數(shù)列，
且，所以，那么，故B項(xiàng)正確；
C項(xiàng)，是正項(xiàng)數(shù)列，沒(méi)有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，從前面的分析過(guò)程可知前6項(xiàng)均大于1.從起全部在上.
所以的最大值為，故D項(xiàng)正確，
故選：ABD
三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.
13. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），其共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】
【分析】先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，然后求解，進(jìn)而得出的虛部.
【詳解】解：，
所以，
所以，故的虛部為，
故答案為：.
14. 函數(shù)是冪函數(shù)，則__________．
【答案】2或-1
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】是冪函數(shù)，
，解得，或.
故答案為: 2或-1.
15. 已知公差不為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求和公式及等比中項(xiàng)，列式求值即可.
【詳解】若成等比數(shù)列
故答案為：2
16. 已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，為底面圓周上三點(diǎn)，空間一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理可判斷，，共面，又平面，所以.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，，共面，
又，，為底面圓周上三點(diǎn)，所以點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，
由已知平面，
所以，
又圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，
所以的最小值為，
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值城．
【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
（2）．
【解析】
分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.
【小問(wèn)1詳解】
易知，
設(shè)，且，
則，
又由，則，，，
所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；
【小問(wèn)2詳解】
由上可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
又，
故的值域?yàn)?
18. 已知首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，得出與的關(guān)系，進(jìn)一步變形得出等比數(shù)列；
（2）利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，即，故，
即，又，故數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，即．
數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
故．
19. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，再求出平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)法向量夾角的余弦值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
【小問(wèn)2詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，
由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，
因?yàn)?，，所以?br>令，則，，所以，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
20. 圓：與軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于兩點(diǎn)，是圓與軸垂直非直徑的弦，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求軌跡的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角確定的直線(xiàn)稱(chēng)為定向直線(xiàn)．是否存在不過(guò)點(diǎn)的定向直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)與軌跡交于時(shí)，；若存在，求直線(xiàn)的一個(gè)方向向量；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）設(shè)出后，表示出直線(xiàn)、的方程即可
（2）先討論傾斜角為90°的情況，傾斜角不為90°時(shí)先設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立后結(jié)合韋達(dá)定理和，運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
設(shè)，則
直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為
所以軌跡的方程為
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)定向直線(xiàn)的傾斜角為90°時(shí)，設(shè)，
由得
時(shí)，
所以，矛盾.
當(dāng)定向直線(xiàn)的傾斜角不為90°時(shí)，假設(shè)存在定向直線(xiàn)
由得，
時(shí)，
設(shè)，則
由得即，
故，
，化簡(jiǎn)得，
所以或，
時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，不合題意
綜上所述，當(dāng)即直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為時(shí)，
21. 為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有和兩類(lèi)試題，每類(lèi)試題各10題，其中每答對(duì)1道類(lèi)試題得10分；每答對(duì)1道類(lèi)試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類(lèi)試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)類(lèi)試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道類(lèi)試題的概率均為．
（1）若該同學(xué)只抽取3道類(lèi)試題作答，設(shè)表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求的分布和期望；
（2）若該同學(xué)在類(lèi)試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，
（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，，
，
所以X的分布為
所以
【小問(wèn)2詳解】
記“該同學(xué)僅答對(duì)1道題”為事件M.
這次競(jìng)賽中該同學(xué)僅答對(duì)1道題得概率為.
22. 已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為2.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）設(shè)，方法一：分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)求出的關(guān)系，從而可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.
方法二：可設(shè)直線(xiàn)方程為，由可得，再根據(jù)求出，從而可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，解得，
所以的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，
方法一：
①若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，
，消去可得，
且，
且，
，
整理可得，
，
化簡(jiǎn)得，
即，
因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，所以，
所以，即，
所以直線(xiàn)的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，
②若直線(xiàn)斜率不存在，則，
，
解得，所以直線(xiàn)方程為，過(guò)定點(diǎn)，
綜上，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
.
方法二：
因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)直線(xiàn)方程為，
由可得，
即，
，
得，
等式左右兩邊同時(shí)除以，
得，
，
，解得，
所以直線(xiàn)方程為，
即，恒過(guò)定點(diǎn)，
下同法一.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.
X
0
10
20
30
P

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河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含解析

2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含解析
河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題
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