廣東省茂名市電白區(qū)第一中學2023-2024學年高一下學期4月月考數(shù)學試題（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

考試時間：120分鐘滿分：150分
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．設(shè)集合，則（）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．在中，若，則的形狀為（）
A．等邊三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．三個數(shù)的大小順序是（）
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．，D．，
6．若兩個正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．或
C．D．或
7．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）（附：）
A．48%B．37%C．28%D．15%
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分.）
9．下列化簡正確的是（）
A．B．
C．D．
10．已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則向量在上的投影向量為
D．若，則向量與的夾角為銳角
11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有( )
A．
B．若，則函數(shù)的最小正周期為；
C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解
D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12．函數(shù)的定義域為．
13．若，且，則 .
14．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．已知角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知，，.
(1)求與的夾角；
(2)若，求實數(shù)的值；
(3)設(shè)，，若與共線，求實數(shù)的值.
17．已知關(guān)于的不等式．
(1)若不等式的解集是，求的值;
(2)若，，求此不等式的解集．
18．已知函數(shù)
(1)化簡的表達式.
(2)若的最小正周期為π，求，的單調(diào)區(qū)間與值域.
(3)將（2）中的函數(shù)圖像上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)，且圖像關(guān)于x=0對稱.若對于任意的實數(shù)a，函數(shù)，與y=1的公共點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求正實數(shù)的取值范圍.
19．已知定義域為的函數(shù).當時，若（，）是增函數(shù)，則稱是一個“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)（）是否為函數(shù)，并說明理由；
(2)若定義域為的函數(shù)滿足，解關(guān)于的不等式；
(3)設(shè)是滿足下列條件的定義域為的函數(shù)組成的集合：①對任意，都是函數(shù)；②，. 若對一切和所有成立，求實數(shù)的最大值.
1．B
【分析】根據(jù)交集定義運算即可
【詳解】因為，所以,
故選：B.
【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解.
2．A
【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐標公式得出，從而得出答案.
【詳解】若，則，所以；
若，則，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
3．A
【分析】根據(jù)向量的減法法則可得，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以，
所以為等邊三角形．
故選：A
4．A
【分析】根據(jù)題意，由，即可得到結(jié)果.
【詳解】由三個數(shù)，
可知其大小關(guān)系為.
故選：A
5．D
【分析】根據(jù)題意，由余弦型函數(shù)的單調(diào)性，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，令，
解得，，
令，則，
令，，
又，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.
故選：D
6．A
【分析】由題意，利用基本不等式求出的最小值，問題等價于，求出不等式的解集即可．
【詳解】若兩個正實數(shù)，滿足，則，
，當且僅當時取得等號，
不等式恒成立，等價為，
則，解得．
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式恒成立問題和利用基本不等式求最值問題，難度不大，正確轉(zhuǎn)化恒成立為求最值問題是解決此題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象平移與伸縮變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象先判斷，根據(jù)正弦型圖象的零點，列出不等式組，解出的范圍即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得，
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，可得的圖象，
因為，周期，函數(shù)在上沒有零點，
則，所以，
因為，所以，
又在上沒有零點，所以，解得，
又因為，，，所以或，
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個，一是利用圖象變換能準確求出變換后的函數(shù)解析式；二是利用區(qū)間內(nèi)沒有零點列出限制條件.
8．A
【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和5000時的比值即可求解.
【詳解】由題意可得，當時，，
當時，，
所以
，
所以的增長率約為.
故選：A
9．BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進行求解即可.
【詳解】A：因為，
所以本選項不正確；
B：因為，
所以本選項正確；
C：因為
所以本選項正確；
D：因為，
所以本選項正確，
故選：BCD
10．BC
【分析】根據(jù)向量線性運算即數(shù)量積公式可判斷AB選項，根據(jù)投影向量定義可得判斷C選項，由可得，但此時向量與的夾角可以為零角并非銳角，可得D錯誤.
【詳解】解：已知平面向量，，，
對于A，若，可得，即，解得，所以A選項錯誤；
對于B，若，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)，可得，即，所以B選項正確；
對于C，若，則，
由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，
所以C選項正確；
對于D，若，則，所以；
但當時，，
此時向量與的夾角為，所以D選項錯誤；
故選：BC.
11．ABD
【分析】A：在上單調(diào)，，，故；
B：求出區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對稱軸，根據(jù)對稱軸和對稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；
C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個完整周期只有一個最高點即可求解；
D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，據(jù)此即可求ω的范圍.
【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；
B，區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合，得，即，故k＝0，，故B正確.
C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個完整的周期，而在1個完整周期內(nèi)只有1個解，故關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)解，故C錯誤.
D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，結(jié)合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】本題綜合考察的周期、單調(diào)性、對稱中心、對稱軸等特性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)對稱軸，對稱中心的位置特征，掌握正弦型函數(shù)單調(diào)性與周期的關(guān)系.常用結(jié)論：(1)單調(diào)區(qū)間的長度最長為半個周期；(2)一個完整周期內(nèi)只有一個最值點；(3)對稱軸和對稱中心之間的距離為周期的倍.
12．
【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解.
【詳解】解：由，得且，
所以函數(shù)的定義域為，
故答案為：
13．
【分析】由，結(jié)合誘導公式求解.
【詳解】因為
所以，
故答案為：.
14．
【分析】因為，所以或，結(jié)合圖象可得的圖象與直線有3個交點，據(jù)此即可求解.
【詳解】因為，
所以或，
因為關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，
所以的圖象與直線和直線有6個不同的交點，
如圖的圖象與直線有3個交點，
所以只需的圖象與直線有3個交點，且，
所以.
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義計算作答.
（2）利用誘導公式化簡，結(jié)合（1）的結(jié)論，用齊次式法計算作答.
【詳解】（1）角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
16．(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算，直接代入計算即可得到與的夾角；
（2）根據(jù)題意，將向量模長平方，然后代入計算，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，且，
即，
所以，
解得，即與的夾角為.
（2）因為，則，
所以，
即，解得或.
所以的值為或.
（3）由（1）可得不共線，且，，
則必存在實數(shù)，使得，即，
解得，所以.
17．(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）由題意可知1和5是方程的兩個根，且，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程可求得結(jié)果；
（2）分，，和四種情況求解一元二次不等式.
【詳解】（1）因為關(guān)于的不等式的解集為，
所以1和5是方程的兩個根，且，
所以，解得，
所以；
（2）當時，可化為，
所以，
由（），得或，
當時，由，得或，
當，即時，由，得，
當，即時，不等式的解集為，
當，即時，由，得，
綜上，當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.
18．(1)；
(2)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，值域為；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定函數(shù)，利用二倍角公式、輔助角公式化簡即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.
（3）由（2）及已知求出函數(shù)的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
【詳解】（1）依題意，，.
（2）由（1）知，，解得，則，
當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由得：，由得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，
所以在上的值域為.
（3）由（2）及已知，，因圖像關(guān)于x=0對稱，
則，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，而函數(shù)的周期，
依題意，對于，在上均有不少于6個且不多于10個根，
則有，即，解得，
所以正實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】思路點睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.
19．(1)是，理由見解析
(2)
(3)
【分析】（1）將代入解析式，根據(jù)整理表達式，判斷是否為增函數(shù)即可；
（2）由函數(shù)可知是上的增函數(shù)，有意義，需滿足，顯然時不等式不成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化不等式為，結(jié)合單調(diào)性即可判斷；
（3）由題可知是函數(shù)，也是函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)值及函數(shù)單調(diào)性，可得當，或當時，，再討論當，結(jié)合可判斷，即滿足當時，對一切成立.另證明任意均不滿足要求：任意，定義函數(shù)滿足條件②，滿足條件①時符合，即可證明.
【詳解】（1）是，理由：由題，
（，）為增函數(shù)，
故（）是函數(shù).
（2）因為是函數(shù)，且，所以是上的增函數(shù)，
因為有意義，所以，顯然，時不等式不成立，下設(shè)，
此時等價于，
由的單調(diào)性得，，即所求不等式的解集為.
（3）由題意，是函數(shù)，故是增函數(shù)，從而當時，，即；而是函數(shù)，故是增函數(shù)，從而當時，，即，
當時，同理可得，且，故且，故.
因此，當時，對一切成立.
下證，任意均不滿足要求，由條件②知，.
另一方面，對任意，定義函數(shù)，容易驗證條件②成立.
對條件①，任取，有，
注意到是增函數(shù)，
而對，當時，；當時，，均單調(diào)不減.
因為，
所以條件①成立.從而.此時，，
故，從而為所求最大值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：靈活利用已知函數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性來處理不等式問題.

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