第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1. 已知復(fù)數(shù)：滿足（為虛數(shù)單位），則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可【詳解】故選：A2. 下列問(wèn)題中最適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法的是（    ）A. 某學(xué)校有學(xué)生1 320人，衛(wèi)生部門(mén)為了了解學(xué)生身體發(fā)育情況，準(zhǔn)備從中抽取一個(gè)容量為300的樣本B. 為了準(zhǔn)備省政協(xié)會(huì)議，某政協(xié)委員計(jì)劃從1 135個(gè)村莊中抽取50個(gè)進(jìn)行收入調(diào)查C. 從全班30名學(xué)生中，任意選取5名進(jìn)行家訪D. 為了解某地區(qū)癌癥的發(fā)病情況，從該地區(qū)的5 000人中抽取200人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的意義逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，不同年級(jí)的學(xué)生身體發(fā)育情況差別較大，適合用分層抽樣，A不是；對(duì)于B，總體容量較大，并且各村莊人口、地域、發(fā)展等方面的差異，不宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，B不是；對(duì)于C，總體容量較小，個(gè)體之間無(wú)明顯差異，適宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；對(duì)于D，總體容量較大，不同年齡的人癌癥的發(fā)病情況不同，不宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，D不是.故選：C3. 2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)青少年學(xué)生的愛(ài)國(guó)、愛(ài)黨熱情，引導(dǎo)青少年學(xué)生深入地了解黨的光輝歷史，加強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義教育，甲、乙兩所學(xué)校均計(jì)劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動(dòng)．據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映．甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用古典概型概率公式即得.【詳解】分別用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》，由題可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16種，其中甲、乙兩校選擇不同電影有：，，，，，，，，，，，，共有12種，所以甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是.故選：D．4. 如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是A.  B. 1 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】以 作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【詳解】∵分別是的中點(diǎn)，∴.又，∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．5. 光明學(xué)校為了解男生身體發(fā)育情況，從2000名男生中抽查了100名男生的體重情況，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（    ）A. 樣本的眾數(shù)約為 B. 樣本的中位數(shù)約為C. 樣本的平均值約為66 D. 體重超過(guò)75kg的學(xué)生頻數(shù)約為200人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合眾數(shù)，中位數(shù)，平均值公式，分別求得眾數(shù)，中位數(shù)，平均值，可判斷A,B,C;根據(jù)頻率與頻數(shù)的關(guān)系，求得體重超過(guò)75kg的學(xué)生頻數(shù)，判斷D,即得答案．【詳解】對(duì)于，樣本的眾數(shù)為，故正確，對(duì)于，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，解得，故正確，對(duì)于，由直方圖估計(jì)樣本平均值可得：，故錯(cuò)誤，對(duì)于，2000名男生中體重超過(guò)的人數(shù)大約為，故正確．故選：．6. 有5個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（    ）A. 甲與丙相互獨(dú)立 B. 丙與丁相互獨(dú)立 C. 甲與丁相互獨(dú)立 D. 乙與丙相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出各個(gè)事件的概率，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷作答.【詳解】甲、乙、丙、丁事件分別記為，則有，，對(duì)于A，顯然甲丙不可能同時(shí)發(fā)生，即，A不正確；對(duì)于B，顯然丙丁不可能同時(shí)發(fā)生，即，B不正確；對(duì)于C，，甲與丁相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，，D不正確.故選：C7. 如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（    ）A. 存在最大值，最大值為 B. 存在最小值，最小值為C. 為定值 D. 不確定，與，的位置有關(guān)【答案】C【解析】【分析】通過(guò)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換，確定三棱錐的底和高的變化情況，即可確定答案.【詳解】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.故選：C8. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意，都存在，使得，則的值可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判斷值域的包含關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)排除即可【詳解】由題，，又對(duì)任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又當(dāng)時(shí)，，即在上的值域包含.又當(dāng)時(shí)， ，且有解，故區(qū)間包含，排除AB；又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，故不包含不合題意排除D；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故，故此時(shí)在上的值域包含滿足條件.綜上所述滿足條件故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分9. 一種新冠病毒變種在多個(gè)國(guó)家和地區(qū)蔓延擴(kuò)散，令全球再度人心惶惶．據(jù)悉，新冠病毒變種被世界衛(wèi)生組織定義為“關(guān)切變異株”，被命名為奧密克戎（Omicron）．根據(jù)初步研究發(fā)現(xiàn)，奧密克戎變異株比貝塔（Beta）變異株和德?tīng)査?/span>Delta）變異株具有更多突變，下圖是某地區(qū)奧密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）隨時(shí)間變化的對(duì)比圖，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A. 奧密克戎變異株感染的病例不到天占據(jù)新增病例的多B. 德?tīng)査儺愔暧昧?/span>天占據(jù)該地區(qū)約的新增病例C. 貝塔變異株的傳染性比德?tīng)査儺愔甑膫魅拘詮?qiáng)D. 德?tīng)査儺愔旮腥镜牟±夹略霾±?/span>用了約天【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，奧密克戎變異株感染的病例不到天占據(jù)新增病例的多，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，德?tīng)査儺愔暧昧私?/span>天占據(jù)該地區(qū)約的新增病例，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，德?tīng)査儺愔旮腥镜牟±夹略霾±?/span>用了近天左右，而貝塔變異株感染的病例占新增病例的所用時(shí)間超過(guò)了天，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，德?tīng)査儺愔旮腥镜牟±夹略霾±?/span>用了約天，D對(duì).故選：AD.10. （多選題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，記事件“選中的2人都是女同學(xué)”的概率為；事件“選中2人都是男同學(xué)”的概率為；事件“選中1名男同學(xué)1名女同學(xué)”的概率．則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意列出基本事件，根據(jù)古典概型概率公式分別求出，，，然后結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】將2名男同學(xué)分別記為，，3名女同學(xué)分別記為，，，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有，，，，，，，，，共10種，則，，，因此，，，，故選：BC.11. 《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 四棱錐為“陽(yáng)馬”B. 四面體為“鱉臑”C. 四棱錐體積最大為D. 過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽(yáng)馬”，對(duì)；B選項(xiàng)，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，對(duì)；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，錯(cuò)；D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>平面，則，且，則平面，∴，又且，則平面，所以則，對(duì)；故選：ABD．12. 在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過(guò)人”，過(guò)去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：中位數(shù)為，極差為；乙地：平均數(shù)為，眾數(shù)為；丙地：平均數(shù)為，中位數(shù)為；丁地：平均數(shù)為，方差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（    ）A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地【答案】ACD【解析】【分析】計(jì)算出甲地每天新增疑似病數(shù)的最大值，可判斷A；利用特例法可判斷B；利用反證法可判斷CD.【詳解】甲地的中位數(shù)為，極差為，所以，最大值不大于，故A符合；若乙地過(guò)去天每天新增疑似病例人數(shù)分別為、、、、、、、、、，則滿足平均數(shù)為，眾數(shù)為，但不滿足每天新增疑似病例不超過(guò)人，故B不符合；假設(shè)丙地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過(guò)人，由中位數(shù)為可得平均數(shù)的最小值為，與題意矛盾，故C符合；假設(shè)至少有一天新增疑似病例超過(guò)人，則方差的最小值為，與題意矛盾，故D符合．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 北京時(shí)間2月20日，北京冬奧會(huì)比賽日收官，中國(guó)代表團(tuán)最終以9枚金牌4枚銀牌2枚銅共15枚獎(jiǎng)牌的總成績(jī)，排名獎(jiǎng)牌榜第三，創(chuàng)造新的歷史．據(jù)統(tǒng)計(jì)某高校共有本科生1600人，碩士生600人，博士生200人申請(qǐng)報(bào)名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為____________．【答案】360【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)得出該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù).【詳解】因?yàn)?/span>，用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，所以本科生、碩士生抽取的人數(shù)分別為人、人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為.故答案為：36014. 我國(guó)古代認(rèn)為構(gòu)成宇宙萬(wàn)物的基本要素是金、木、水、火、土這五種物質(zhì)，稱(chēng)為“五行”.古人構(gòu)建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理論，隨機(jī)任取“兩行”，則取出的“兩行”相生的概率是_______【答案】##0.5【解析】【分析】寫(xiě)出隨機(jī)任取 “兩行”共有多少種，再寫(xiě)出“兩行”相生的可能情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算求得答案.【詳解】由題意得，隨機(jī)任取“兩行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10種，其中取出的“兩行”相生的情況有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5種，所以取出的“兩行”相生的概率,故答案為：15. 在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個(gè)數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析求出極差，再由極差與中位數(shù)之和為61，列方程即可求解.【詳解】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可得：極差為48-20=28.因?yàn)闃O差與中位數(shù)之和為61，所以中位數(shù)為33.設(shè)被污染的數(shù)字為a，則，解得：a=2.故答案為：216. 如圖，在中，D為邊上一點(diǎn)，，若的面積為，則的余弦值為_________．【答案】【解析】【分析】先由的面積求得，再由余弦定理求得，最后利用余弦定理求出的余弦值即可.【詳解】易知，，解得，故，，又，故，,，即，故，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 某單位為了了解退休職工生活情況，對(duì)50名退休職工做了一次問(wèn)卷調(diào)查，滿分100分，并從中隨機(jī)抽取了10名退休職工的問(wèn)卷，得分情況統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)77798184889293人數(shù)1113211試回答以下問(wèn)題：（1）求抽取的10名退休職工問(wèn)卷得分的均值和方差.（2）10名退休職工問(wèn)卷得分在與之間有多少人？這些人占10名退休職工的百分比為多少？【答案】（1），    （2）6人，占【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式直接求解即可，（2）由（1）直接計(jì)算和，再找在這之間的人數(shù)，從而可求出百分比【小問(wèn)1詳解】抽取的10名退休職工問(wèn)卷得分的均值為，抽取的10名退休職工問(wèn)卷得分的方差為【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，，所以10名退休職工問(wèn)卷得分在與之間有6人，占百分比為18. 2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”落下帷幕，中國(guó)代表團(tuán)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī).北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛(ài)上了冰雪運(yùn)動(dòng).某學(xué)校組織了一次冰雪運(yùn)動(dòng)趣味知識(shí)競(jìng)賽，100名喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生參賽，現(xiàn)將成績(jī)分成，，，，（成績(jī)均在區(qū)間上）共五組并制成如下頻率分布直方圖.學(xué)校決定對(duì)成績(jī)前15名的參賽學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)品為冬奧吉祥物冰墩墩玩偶.（1）試求參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)及受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值；（2）從受獎(jiǎng)勵(lì)15名學(xué)生中按上述成績(jī)分組并利用分層抽樣抽取5人.現(xiàn)從這5人中抽取2人，試求這2人成績(jī)恰有一個(gè)不低于90分的概率.【答案】（1）眾數(shù)為75，受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為85    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)求法，可得眾數(shù)；先求得成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)，分析可得受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線在內(nèi)，且設(shè)為x，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.（2）由（1）可得成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為9，成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為6，利用分層抽樣，分別求得兩層人數(shù)，且記作，，， ，，分別列出總可能情況和滿足條件情況，根據(jù)古典概型概率公式，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為75，競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為，競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線在內(nèi).設(shè)受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)為，則，解得，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為85.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，受獎(jiǎng)勵(lì)的15人，成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為9，成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為6，利用分層抽樣，可知成績(jī)?cè)?/span>的抽取3人，記作，，，成績(jī)?cè)?/span>的抽取2人，記作，，現(xiàn)從這5人中抽取2人，所有的可能情況有，，，，，，，，，共10種，滿足條件的情況有，，，，，共6種，故所求的概率為.19. 已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間的值域.【答案】（1）最小正周期為，增區(qū)間為，    （2）【解析】【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，由，可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）由，得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其值域【小問(wèn)1詳解】∵，∴，即最小正周期.由，解得，∴增區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，∴，∴值域?yàn)?/span>.20. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若b=4，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；    （2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，結(jié)合正弦定理，化簡(jiǎn)計(jì)算作答.（2）利用余弦定理，結(jié)合均值不等式求出a+c的最大值【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，則，在中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】中，由余弦定理得：，即，而，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取“=”，因此，當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，所以周長(zhǎng)的最大值為12.21. 大力開(kāi)展體育運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一.我校開(kāi)展體能測(cè)試，A、B、C三名男生準(zhǔn)備在跳遠(yuǎn)測(cè)試中挑戰(zhàn)2.80米的遠(yuǎn)度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，若第一跳成功，則等級(jí)為“優(yōu)秀”，挑戰(zhàn)結(jié)束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級(jí)也為“優(yōu)秀”，若第二跳失敗，則等級(jí)為“良好”，挑戰(zhàn)結(jié)束.已知A、B、C三名男生成功跳過(guò)2.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨(dú)立.（1）求A，B，C三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中共跳5次的概率；（2）分別求A，B，C三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得“優(yōu)秀”的概率【答案】（1）    （2）A，B，C三名男生獲得“優(yōu)秀”的概率分別為，，【解析】【分析】（1）A，B，C三名男生共跳5次，則可知有1人第一跳成功，其余2人第一跳失敗，然后利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解即可，（2）根據(jù)題意獲得優(yōu)秀可分為兩個(gè)互斥事件：第一次成功，第一次失敗第二次成功，由此分別計(jì)算即可【小問(wèn)1詳解】記“A，B，C三名男生第跳成功分別為事件，則由題意可知,A，B，C三名男生共跳5次，則有1人第一跳成功，其余2人第一跳失敗，記“A，B，C三名男生共跳5次”為事件，則【小問(wèn)2詳解】由題意得男生跳高的等級(jí)為“優(yōu)秀”的概率為 ,男生跳高的等級(jí)為“優(yōu)秀”的概率為 男生跳高的等級(jí)為“優(yōu)秀”的概率為 22. 如圖所示，矩形中，，.、分別在線段和上，，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.（1）求證：平面；（2）若，求證：；（3）求四面體體積的最大值【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）證明見(jiàn)解析    （3）2【解析】【分析】(1)要證線面平行，先證線線平行，先證四邊形是平行四邊形，即可.(2)要證線線垂直，先證線面垂直，先證平面即可.(3) 設(shè),四面體的體積為,即可求最值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形，都是矩形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，    ∴，∵平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】證明：連接，設(shè)，∵平面平面，且，∴平面，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，             ∴平面，又平面，∴，【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，則，其中，由（1）得平面，∴四面體的體積為：  ，        時(shí)，四面體的體積最大，其最大值為.
 
 

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